平行共軸圓線圈互感系數的測量與計算

張克生

（江蘇安全技術職業學院，江蘇 徐州）

引言

互感系數簡稱互感，其單位與自感相同，為亨利，簡稱亨。它的大小取決于兩個線圈的幾何形狀、大小、相對位置、各自的匝數以及他們周圍介質的磁導率。互感系數的計算一般都比較復雜，常通過實驗方法測定。目前已有不少學者對不同幾何形狀線圈的互感系數進行理論計算和實驗測量，其中吳德會等[1]給出了任意兩個平面多邊形螺線線圈間互感系數的解析模型，隗群梅[2]采用LCR 數字電橋測量出同軸等大圓線圈互感系數，鄺向軍等[3]根據諾依曼公式計算兩共軸矩形載流線圈間的互感系數，龔禔[4]給出兩共軸圓線圈間互感系數的簡便計算方法，岑敏銳[5]給出兩個同軸等大方形線圈的互感系數的近似解析式，張星輝等[6]給出了任意兩共軸圓線圈間的互感系數及磁感線的分布。本文在前期研究[7]的基礎上，通過理論模型與數值模擬，計算出兩平行共軸矩形截面圓線圈的互感系數。利用常見的普通物理實驗器材，采用三種實驗方法測量互感系數，可加深對互感系數、感抗、阻抗等概念的理解，再將實驗值與理論計算值進行比較，并進一步分析兩平行共軸圓線圈耦合系數隨距離的變化關系，對設計互感線圈能提供理論參考。

1 兩平行共軸圓線圈的互感系數

如圖1 所示，兩平行共軸圓線圈L1和L2的半徑為r1、r2，兩圓線圈之間的距離為d，根據諾依曼公式，兩平行同軸圓線圈的互感系數為

圖1 兩平行共軸圓線圈

式中:r12為圓線圈上兩微元 dl與 dl之間的距離，利用坐標變換，式(1)可化簡為[8]

2 線圈模型與數值計算

如圖2 所示的兩平行共軸矩形截面圓線圈，其實物原型為杭州精科Fb516 型磁場描繪儀中的亥姆霍茲線圈。根據實際線圈的幾何尺寸及繞制方式，將左右兩個圓線圈分別看成獨立的單匝線圈密繞而成。線圈平均半徑R 為10 cm，線圈導線的半徑a 為0.3 mm，每層10 匝，共10 層密繞，總匝數為100 匝。每個圓線圈可以看成是100 個獨立的單匝圓線圈平行共軸緊密排列，整個線圈繞組的截面為0.6 cm×0.6 cm的正方形。以兩圓線圈的中心軸線為坐標軸，幾何中心位置為坐標原點，兩組線圈之間的距離為d。利用諾依曼公式和數值積分軟件，由式(2)可以計算左右兩側任意兩個單匝線圈之間的互感系數，然后對所有的互感系數累加求和，即可得到兩平行共軸矩形截面圓線圈的互感系數M。

圖2 兩平行共軸矩形截面圓線圈及其截面示意

3 實驗測量

3.1 電感表測量互感系數

兩組線圈自身的電感分別為L1和L2，互感為M12。如圖3 所示，當兩組線圈順接時，總電感為L順，兩組線圈逆接，總電感為L逆。

圖3 兩線圈順接和逆接示意

其中：L順=L1+L2+ 2M，L=L1+L2-2M，可得

如圖4 所示，將兩組平行共軸圓線圈順接或逆接，利用電感表測量不同距離的總自感系數L，利用式(3)可計算出互感系數M。

圖4 電感表測量線圈電感系數實物

3.2 伏安法測量互感系數

由于實際線圈自身具有一定的直流電阻，同時在交流電路中具有感抗，在測量其電感系數前，需要精確測量兩圓線圈串聯時直流電阻R。對于實際使用的線圈，為了測量準確起見，可以采用常用的電橋法進行測量，經過測量得到串聯時兩線圈的總電阻R 為8.92 Ω。如圖5 所示，將兩線圈順接或逆接后兩端接入信號源，信號選擇正弦交流信號，頻率f 設置為400 Hz，利用數字萬用表交流電壓檔測量電壓有效值U，交流電流檔測量回路中的電流有效值I，當整個RL 電路達到穩態時，根據U、I 以及信號源的頻率f，可按式(4)計算兩線圈順接或逆接后電感系數L。

圖5 伏安法測互感系數電路

再根據式(3)計算出互感系數M。

3.3 電磁感應法測量互感系數

如圖6 所示，將兩圓線圈平行共軸放置，距離為d，其中線圈1 接入信號源，輸出信號選擇正弦交流信號，頻率f 設置為400 Hz，串聯一臺數字萬用表，用交流電流檔測電流有效值I，另一臺數字萬用表交流電壓檔測量線圈2 兩端電壓有效值U。當整個電路穩定時，左側回路的正弦交流電流在右側線圈兩端感應出正弦交流電壓，根據電磁感應定律，可得

圖6 感應法測互感系數電路

將兩萬用表測量出的U、I 以及信號源的頻率f 帶入式(5)，即可計算出兩平行共軸圓線圈在距離d 處的互感系數M。

4 結果分析與總結

將理論計算與實驗測量結果進行比較，數據如表1 所示。實驗的誤差主要來自于儀器儀表(數字萬用表、電感表、信號源等)自身的誤差，連接導線的電阻以及接線柱的接觸電阻等。實驗值與計算值之間的相對誤差均低于5%，兩者十分吻合，彼此相互驗證。

表1 理論計算與實驗測量結果對比

根據互感耦合系數K 的定義

利用電感表直接測得單個圓線圈的自感系數L1=L2=4.66 mH，根據(6)式即可得到兩平行共軸圓線圈的耦合系數M。互感系數M 與耦合系數K 隨兩線圈之間距離d 的變化曲線如圖7 所示，由圖可知實驗曲線與理論計算曲線幾乎重合。當d=R=10 cm，即兩線圈之間的距離剛好等于線圈時，兩線圈組成亥姆赫茲線圈，由計算數據可知此處兩線圈的互感耦合系數約為0.1。

圖7 互感系數與耦合系數隨兩線圈之間距離的變化曲線

本文利用大學物理實驗常用的實驗器材，采用三種實驗方法測量了平行共軸圓線圈的互感系數，實驗過程中可以加深相關物理概念的理解，通過實驗測量結果與理論計算值進行比較，實驗與理論計算模型相互驗證，并進一步分析耦合系數隨距離的變化關系，對設計互感線圈能提供理論參考。