彎管內可控萬向鉸接柔性管動力學特性研究

林志強,羅 敏,王 晶,徐亭亭,李巧珍

(1.東北石油大學 機械科學與工程學院,黑龍江 大慶 163318; 2.東北石油大學 數學與統計學院,黑龍江 大慶 163318)

彎管內可控鉸接柔性管常見于管道機器人[1-3]和超短半徑水平井鉆井[4]等行業,為了能夠通過較大曲率的管道,柔性管被設計成多段鉸接,行進過程中鉸接柔性管存在由機構向結構轉化的過程,柔性梁與外管的隨機動態接觸使得鉸接柔性管的動力學行為尤為復雜,狹長空間內柔性管的動力學特性對柔性管自身的工作狀態和安全性有著不可忽視的影響,研究彎管內可控鉸接柔性管的動力學特性有著重要的工程意義。

鉸接柔性管可以看成一個鏈式多體系統,針對鏈式多體系統,國內外學者開展了相關的力學分析。黃葆華等[5]結合Newton-Raphson迭代法和傳遞矩陣法,提出了求解大運動鏈式多體系統響應的可迭代增量傳遞矩陣法,該方法突破了傳統傳遞矩陣法只能求解線性系統的限制,可用于非線性動力學系統的求解。趙強等[6]在鏈式多體系統結構動力學建模的研究中引入了空間算子代數和子結構分析法,該建模方法提高了精度與計算效率。徐妍等[7]基于柔性多體系統動力學理論,建立了多段鉸接式揚礦硬管系統的拉格朗日動力學方程,通過相似理論實驗驗證了模型的合理性。譚小慧等[8]利用能量變分原理建立了含碰撞行為的非光滑鏈式多體系統動力學方程,對非光滑鏈式多體系統中的接觸過程進行了數值模擬。張軍等[9]將多跨鉸接梁的每段單獨研究,通過梁的振動力學方法,建立了其動力學模型,并進行了實驗驗證。羅敏等[10-11]采用有限元法,建立了管內可控萬向鉸接柔性桿接觸非線性分析的數值計算方法,引入動力松弛法對數值模型進行求解,解決了梁-梁接觸問題中由于剛體位移的產生導致非線性模型不收斂的問題,通過算例驗證了模型的準確性。Kamman等[12]提出了一種基于“零特征值定理”的約束多體系統運動控制方程的建立方法,通過懸掛鏈的實例,驗證了模型的合理性。Wang等[13]采用虛擬彈簧方法,對具有閉合運動鏈機械系統進行了動態仿真。該方法使用虛擬彈簧和阻尼器來包含運動學約束,從而避免了微分代數方程的求解,提高了求解效率。Omar[14]基于空間代數的多體動力學公式,提出了一種高效的鏈式結構的建模方法,采用彈性彈簧阻尼單元模擬鏈輪與鏈環之間的非線性三維接觸力,并考慮了滑動摩擦,該方法可以用來預測鏈之間的接觸力和磨損。Shafei等[15]提出了一種封閉環境下多剛性連桿動力學建模的系統方法,采用Gibbs-Appell遞歸方法推導運動控制方程,該方法建模效率較拉格朗日法高。Igor Mancilla[16]針對鉸接式管道支撐位置受到振蕩運動問題,考慮管道內的流體流動,利用Floquet理論,得到了鉸接式剛性管道非線性運動方程的穩定性圖,該方法計算成本比非線性數學模型的數值積分更低。

綜上所述,在現有研究中,多是針對開放空間內的鏈式多體系統,而針對有限空間內具有動態接觸行為的鏈式多體系統的動力學分析較少,且算法上多是將鏈式多體系統簡化為剛體,算法的計算效率較高,但能考慮多體系統部件的應力和變形,雖然有學者研究了管內的鉸接柔性桿的載荷傳遞規律,但在數值方法上采用大阻尼抑制振動,從而得到靜力結果,方法上使求解收斂性得到了解決,但不能真實反映鉸接柔性桿的動力學特性,且沒有考慮鉆頭與巖石的互作用。因此,本文在前人基礎上,考慮可控鉸接柔性管底端的鉆頭與巖石互作用力模型,建立適用于彎管內可控鉸接柔性管多體系統動態接觸非線性分析的數值計算方法,開展彎管內可控鉸接柔性管動力學特性研究,討論不同施工參數對彎管內可控鉸接柔性管動力學特性的影響規律,為可控鉸接柔性管的結構設計和現場施工提供一定的理論參考。

1 彎管內可控鉸接柔性管動態接觸分析理論

彎管內鉸接柔性管的結構示意圖如圖1所示。將柔性管和外管看做是三維有限應變管單元,柔性管之間通過可控鉸連接,柔性管在外管內的徑向運動受彎管內壁約束,采用管單元、可控鉸接運動約束方程和管-管內接觸模型描述彎管內可控鉸接柔性管隨機動態接觸問題。

圖1 彎管內可控萬向鉸接柔性管結構示意圖

1.1 彎管內鉸接柔性管多體系統接觸非線性模型

1.1.1 可控萬向鉸接柔性管單元模型

(1) 空間管單元

將柔性管離散為空間管單元,單元長度為le,其節點位移示意圖如圖2所示。其中:x軸為管單元的中心軸;y、z軸為管單元截面主軸。

圖2 空間管單元節點位移示意圖

管單元內任意一點位移為

d=[u,v,w,φx,φy,φz]T=Nq

(1)

式中:u、v、w分別為管單元內任一點位移;φx、φy、φz為管單元節點轉角;q為管單元節點位移列陣;N為管單元形函數矩陣[17]。

N=[Nu1,Nv1,Nw1,Nφx1,Nφy1,Nφz1,

Nu2,Nv2,Nw2,Nφx2,Nφy2,Nφz2]

(2)

q=[u1,v1,w1,φx1,φy1,φz1,

u2,v2,w2,φx2,φy2,φz2]T

(3)

根據變分原理

(4)

(5)

δd=Nδq

(6)

根據哈密頓原理推導管單元的動力學方程,哈密頓原理表達式為

(7)

式中:Up為管單元的應變能;Tp為管單元的動能;Wp為管單元的重力勢能。

管單元的彈性應變能Up表示為

(8)

式中:ε為可控鉸接柔性管的應變張量;σ為可控鉸接柔性管的應力張量。

由于可控鉸接柔性管x方向的維度要遠大于其他方向,應變能表達式可以寫為[18]

(9)

式中:εxx、εxy、εxz分別為柔性管x方向的正應變,xy平面、xz平面的切應變;E和G分別為柔性管的彈性模量和剪切模量;κ為剪切系數。

管單元的動能Tp為

(10)

式中:υ為柔性管的速度向量;ω為柔性管角速度向量;I為截面慣性矩矩陣;ρ為柔性管的密度;A為柔性管的截面積。

由于彎管的約束,可控鉸接柔性管的φy和φz較小,可控鉸接柔性管的速度向量υ、角速度向量ω和慣性矩陣I分別為[19]

(11)

式中:Ix為截面極慣性矩;Iy和Iz分別為繞y軸和z軸的轉動慣量。

Ix=?A(z2+y2)dA

(12)

(13)

(14)

式中:Do為柔性管外徑;Di為柔性管內徑。

管單元的重力勢能Wp

(15)

對管單元的彈性應變能Up、動能Tp和外力功Wp進行變分,得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

管單元的阻尼矩陣采用比例阻尼

(22)

式中,α和β為比例常數。

將單元矩陣進行組裝,形成可控鉸接柔性管的總體矩陣

柔性管的整體動力學方程寫為

(23)

(2) 可控萬向鉸的運動約束

可控萬向鉸鉸點矢量示意圖如圖3所示。在節點P、Q上建立可控萬向鉸的坐標系Pixiyizi和Qjxjyjzj,單元ei和單元ej通過P節點和Q節點的運動約束建立聯系,定義固結在單元ei(節點P上)zi軸方向的單位矢量ai和單元ej(節點Q上)xj軸方向的aj2、yj軸方向的aj1以及連接鉸點的矢量hij,可控鉸的運動約束方程可以通過如圖矢量間的運動關系定義。

圖3 可控萬向鉸鉸點矢量示意圖

P點和Q點在任意t時刻相對于整體坐標系原點O的矢徑ri(t)和rj(t)為

(24)

式中:Ti和Tj為單元坐標系的方向余弦陣[20];qi(t)和qj(t)分別為P和Q節點的位移向量;N為管單元的形函數矩陣。

兩柔性管單元重合節點的相對平動約束可以通過限制矢量hij=QP的大小和方向確定

hij=ri(t)-rj(t)=0

(25)

可控鉸的轉動約束為

(26)

鉸點處的約束方程為

(27)

設可控鉸接柔性管整體由S個鉸連接而成,則可控鉸接柔性管的整體鉸接約束方程為

(28)

采用拉格朗日乘子法[21]將約束方程引入到可控鉸接柔性管的整體動力學方程中

(29)

1.1.2 可控鉸接柔性管與彎管接觸分析模型

(1) 內管與外管接觸判定條件

引入間隙函數g(t)定義內管與外管間的接觸狀態,通過內管節點Pm和外管節點Pn確定g(t),如圖4所示。曲線上任意點的位置可以分別由局部坐標系em和en定義。

圖4 可控萬向鉸接柔性管在管內接觸模型

在整體坐標系OXYZ中,曲線上的每個點都與位置向量xm或xn相關聯。由于間隙函數必須始終在當前構型中確定,在增量處理變形過程的每次迭代中,這些向量都對應于當前梁的構型。它們可以表示為初始構型點的位置向量Xm、Xn和位移向量um、un的和,即

xm=Xm+um

xn=Xn+un

(30)

通過節點Pm和節點Pn在全局坐標系中隨時間變化的矢量位置,可以計算出它們之間的距離δ為

δ(t)=|xm-xn|

(31)

在計算出最接近點的距離基礎上,間隙函數g(t)可由幾何關系確定為

g(t)=rt-rc-δ(t)

(32)

式中:rt為外管的內半徑;rc為內管的外半徑。

當g(t)<0時,判定內管與外管發生接觸,內管與外管發生接觸后,采用增廣拉格朗日算法計算法向接觸力

(33)

其中

(34)

當內管與外管接觸時,接觸面有法向接觸壓力,若內管與外管發生相對滑動,有軸向摩擦阻力存在,本文采用庫倫摩擦模型,表示如下

Ff=μFn

(35)

式中:Ff為摩擦力列陣;μ為摩擦因數。

綜合可控鉸接的機構-結構問題及與外管的接觸非線性問題,結合管單元、可控鉸接運動約束和管-管接觸模型,建立彎管內可控鉸接柔性管接觸非線性的整體動力學方程為

(36)

由于方程存在非線性項,單獨的動力學求解算法無法完成求解,采用Newmark法結合Newton-Raphson法[22]對彎管內可控萬向鉸接柔性管的整體動力學方程進行求解。

1.2 模型驗證

采用文獻[23]中的算例,對本文數值計算方法進行驗證。內管彈性模量E=210 GPa,l=1 m,慣性矩I=7.84×10-9m4,內管與外管間隙δ=8 mm,鉸點處的鉸接限制度數χ=1°。外管全固定,內管一端固定約束,一端為可動鉸支約束,中間鉸接處受集中載荷作用F(t)=1 000t(0≤t≤0.08)(單位N)如圖5所示。

圖5 內管與外管結構示意圖

鉸點處的y方向位移Δ的解析解為

(37)

式中:Fr為鉸接處達到轉動限制度數的臨界集中力;F1為內梁與外梁發生接觸的臨界集中力,本算例中Fr=34.48 N,F1=57.49 N。解析解與數值解對比如圖6所示。由圖6可知,最大誤差僅為0.9%,計算模型滿足精度條件。

圖6 鉸點位移解析解與數值解對比

2 工程算例

將彎管內可控鉸接柔性管多體系統非線性動力學模型應用到鉆井工程中,采用文獻[24]中的施工參數,對超短半徑水平井造斜段柔性鉆具進行動力學分析。

2.1 柔性鉆具動力學分析模型的建立

超短半徑水平井造斜段曲率半徑ρ為3.2 m,井斜角為90°,選取柔性鉆桿和導向篩管為研究對象,導向篩管和柔性鉆桿的彈性模量E=210 GPa,泊松比為0.3,密度為7 850 kg/m3。將柔性鉆桿簡化為相應截面尺寸的圓管結構,簡化后的結構如圖7所示。單節柔性鉆桿各截面S1～S5對應的長度分別為33 mm、28 mm、38 mm、32 mm和27 mm,對應的外徑分別為54 mm、84 mm、84 mm、91 mm和69 mm,內徑均為30 mm,鉸接位置位于截面S2和截面S3之間。

圖7 簡化后單節柔性鉆桿結構

柔性鉆具動力學分析模型如圖8所示,柔性鉆桿的截面由x軸(方向垂直平面向里)和y軸(與x軸垂直,方向指向井眼曲率半徑圓心)描述,z軸為柔性鉆桿的軸向。

圖8 柔性鉆具動力學分析模型

柔性鉆具的邊界條件為:導向篩管全固定約束,柔性鉆桿頂端施加三個方向的線位移約束,底端施加x方向與y方向的線位移約束,柔性鉆桿頂端施加轉速(r/min),轉速施加表達式如下

(38)

柔性鉆桿底端施加鉆頭與巖石互作用簡化模型[25]。計算公式如式(39)所示,計算過程中鉆頭與巖石動摩擦因數取0.235,鉆壓為3 t。

(39)

式中:TOB為鉆頭由于摩擦產生的總扭矩;η為鉆頭與巖石間的動摩擦因數;D為鉆頭直徑;WOB為鉆頭上鉆壓。

柔性鉆桿同時承受自重作用,重力加速度取9.8 m/s2,數值模擬計算總時長8 s,其中0～0.4 s為轉速加載階段,0.4～8 s為正常鉆進階段,計算時間步長為0.04 s。

2.2 柔性鉆桿振動特性分析

柔性鉆桿的振動可以分為橫向振動、軸向振動、扭轉振動和渦動四種。美國貝克休斯公司將鉆柱的振動分為三項水平,即橫向振動水平、軸向振動水平和黏滑振動水平,每個振動水平分為0～7級[26],其中,軸向振動水平在4級及以上為劇烈振動,橫向振動水平和黏滑振動水平在5級及以上為劇烈振動,鉆柱易產生破壞。

(1) 柔性鉆桿的橫向振動

柔性鉆桿橫向加速度有效值(計算時長內加速度的均方根值)[27]隨井斜角位置變化曲線如圖9所示。由圖9可知,由于鉸接位置存在結構與機構間的轉換,導致了柔性鉆桿的橫向振動具有不連續的特點,且振動峰值均出現在鉸點位置,x方向的橫向振動和y方向的橫向振動具有極高的相似性,x方向的橫向振動明顯大于y方向的橫向振動,且靠近兩端位置的振動更大,x方向和y方向橫向振動最大值分別為15.25g和7.70g(g為重力加速度),柔性鉆桿x方向橫向振動劇烈位置集中在井斜角38°～86°,y方向橫向振動劇烈位置集中在井斜角49°～59°,x方向橫向加速度值處于劇烈振動區間占比56.28%,y方向為19.89%。由此可知鉸接位置的x方向橫向振動更容易使柔性鉆桿發生失效。

圖9 柔性鉆桿橫向加速度隨井斜角位置變化曲線

(2) 柔性鉆桿的軸向振動

柔性鉆桿的軸向振動加速度有效值曲線如圖10所示。由圖10可知,柔性鉆桿的軸向振動較小,最大值為2.34g,出現在井斜角4.39°位置,達到3級振動水平,其余位置的振動均處在2級振動以下,較為安全。

圖10 柔性鉆桿軸向加速度隨井斜角位置變化曲線

(3) 柔性鉆桿的黏滑振動

黏滑振動由S1和S2兩個指標描述,計算式為

(40)

(41)

式中:Nmax、Nmin和Na為柔性鉆桿底端最高、最低轉速和平均轉速,r/s;tbak為柔性鉆桿反向渦動所占時間;ttotal為總計算時長。

柔細鉆桿頂端與底端轉速對比如圖11所示。

圖11 柔性鉆桿轉速隨時間變化曲線

由圖11可知,正常鉆進階段底端轉速呈現正弦趨勢,底端最高轉速和最低轉速分別為41.93 r/min和38.28 r/min,頂端轉速穩定后底端的平均轉速為39.98 r/min,為了便于代入式(40)和式(41),將上述轉速的單位轉換為r/s,分別為0.70 r/s、0.64 r/s和0.65 r/s。

不同位置柔性鉆桿運動軌跡如圖12所示。由圖12可知,柔性鉆桿兩端的渦動范圍較大,中間渦動范圍相對較小,三個位置繞中點的公轉方向均為逆時針(與頂端轉速施加方向相同),結合柔性鉆桿的轉速對比得出,柔性鉆桿沒有出現反向渦動現象。通過計算得到,S1=0.25,S2=0,柔性鉆桿的黏滑振動處于1級水平。

(a) 頂端

2.3 柔性鉆桿振動特性影響因素

由2.2節可知,造斜段柔性鉆桿的失效最有可能由橫向振動引起,而柔性鉆桿x方向和y方向的橫向振動具有相似性的特點,x方向的橫向振動又明顯大于y方向的橫向振動,因此,本節主要研究轉速和鉆壓對柔性鉆桿x方向橫向振動的影響。

(1) 轉速對柔性鉆桿橫向振動的影響

固定鉆壓為3 t,令轉速分別為40 r/min、50 r/min和60 r/min,不同轉速下柔性鉆桿橫向振動加速度隨井斜角位置變化曲線如圖13所示。由圖13可知,在轉速為40 r/min、50 r/min和60 r/min時,柔性鉆桿x方向橫向振動的最大值分別為15.25g、12.90g和13.82g,產生劇烈振動位置占比分別為56.28%,46.44%和39.89%。從圖中可以看出,在井斜角0°～10°區間內,柔性鉆桿的橫向振動隨著轉速的增加而增大,在區間10°～46°和區間78°～90°,轉速對橫向振動劇烈程度的影響不大,在區間46°～72°,柔性鉆桿的橫向振動隨著轉速的增加而減小,總體上看,增加轉速在一定程度上減小了柔性鉆桿的整體橫向振動劇烈程度。

圖13 不同轉速下柔性鉆桿x方向橫向加速度隨井斜角位置變化曲線

(2) 鉆壓對柔性鉆桿橫向振動的影響

固定轉速為40 r/min,令鉆壓分別為3 t、6 t和9 t,不同鉆壓下柔性鉆桿橫向振動加速度隨井斜角位置變化曲線如圖14所示。由圖14可知,在鉆壓為3 t、6 t和9 t時,柔性鉆桿x方向橫向振動的最大值分別為15.25g、27.22g和23.55g,三種鉆壓下,柔性鉆桿產生劇烈振動位置占比分別56.28%,70.49%和90.00%。從圖14可以看出,鉆壓增大到6 t時,對井斜角10°～20°區間內的柔性鉆桿橫向振動影響不大,由井斜角23°開始柔性鉆桿的橫向振動急劇增加,直到井斜角43°位置達到最大值。鉆壓為9 t時,井斜角3°～15°、17°～86°區間內,柔性鉆桿的橫向振動均達到劇烈振動水平,柔性鉆桿整體基本進入危險狀態。由此可見,增大鉆壓,柔性鉆桿橫向振動急劇增大,不利于安全鉆進。

圖14 不同鉆壓下柔性鉆桿x方向橫向加速度隨井斜角位置變化曲線

3 結 論

本文采用哈密頓原理結合多體系統動力學理論,建立了彎管內可控鉸接柔性管多體系統動態接觸非線性力學模型,通過算例驗證了模型的準確性。以超短半徑水平井柔性鉆具為例,對造斜段柔性鉆具進行動力學分析,得到以下結論:

(1) 在超短半徑水平井造斜鉆進過程中,柔性鉆桿的軸向振動和黏滑振動處于安全水平,橫向振動是導致柔性鉆具可能失效的主要因素。

(2) 增大轉速可以在一定程度上減小柔性鉆桿的橫向振動;增大鉆壓,不利于柔性鉆桿的安全鉆進。