基于格林函數(shù)正交各向異性切口板自由振動特性分析

楊永育,李騰岳,程長征,趙 航,葛仁余

(1.安徽工程大學 力學重點實驗室,安徽 蕪湖 241000; 2.合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,合肥 230000)

板殼作為工程結構構件基本單元,由于其自身結構小阻尼、低頻模態(tài)密集的振動特性,其固有振動特性分析尤為重要。其中正交異性板因重量輕、承載能力強、施工周期短等優(yōu)點而被廣泛運用。另一方面,由于功能需求、加工工藝限制等原因,存在大量含有拐角的構件,如汽車的后殼、飛機的尾翼等。由于切口會導致局部纖維切斷,降低了其剛度和強度。因此,對正交各向異性切口板的振動特性研究具有重要的工程意義。

近年來,板殼結構的自由振動問題取得了一系列的成果[1-3]。Yin等[4]和Yu等[5]分別基于經(jīng)典薄板理論和一階剪切板理論,利用等幾何分析研究了切口復合材料板的屈曲和自由振動問題。張俊等[6]基于Rayleigh-Ritz法研究了含多開口孔矩形板的自由振動性能。Kwak等[7]利用獨立坐標耦合法,研究了含矩形孔板的振動問題。Sakiyama等[8]將孔視為等效板的極薄部分,延伸出一種近似方法分析了方孔板的自由振動問題。McGee等[9]利用Ritz法結合切口特征角函數(shù)研究了扇形切口板的自由振動問題。對于正交各向異性板的自由振動問題,Xing等[10]提出一種新的分離變量法,給出了固支或簡支邊界條件下的正交矩形薄板自由振動的精確解。Thai等[11]通過將狀態(tài)空間法應用于Levy等式,得到了正交矩形板自由振動的閉式解。Papkov等[12]提出了一種基于強疊加的新方法,獲得了矩形正交各向異性板自由振動的精確解。雖然對于一些簡單的完整矩形正交板存在精確解,但是對于一些含裂紋、孔口或切口模型,其振動分析相對復雜,則需要尋求數(shù)值解。對于含切口結構的正交各向異性板,相關研究鮮有報道。

格林函數(shù)法是研究結構動力學問題的一種高效方法。Kukla等[13]利用格林函數(shù)法研究了軸對稱環(huán)形板的自由振動問題。Zur[14]基于格林函數(shù)法分析了彈性邊界條件下鉆柱系統(tǒng)的振動特性。Fan等[15]基于格林函數(shù)法研究了彈性支撐功能梯度環(huán)形板的自由振動問題。另一方面,近場動力學(peridynamics,PD)作為一種基于空間非局部積分思想分析固體力學問題的新理論,受到計算力學領域相關學者們的廣泛關注[16-17]。最近,Madenci等[18-19]基于PD非局部相互作用的思想,提出近場動力學微分算子(peridynamic differential operator,PDDO)的概念,便于將局部微分轉化為非局部積分形式。李志遠等[20]基于微分算子提出一種用于變截面梁動力特性分析的非局部方法。周保良等[21]利用微分算子建立了正交各向異性板熱傳導的非局部模型。

本文嘗試基于格林函數(shù)法結合近場動力學微分算子,提出一種分析正交各向異性V形切口板的自由振動特性的數(shù)值分析方法。通過格林函數(shù)將振動控制方程中的四階位移函數(shù)轉化為積分形式,利用近場動力學微分算子構造插值函數(shù),建立切口板自由振動的廣義特征方程,求解了正交各向異性V形切口板的無量綱化自由振動頻率以及振型,通過與有限元結果對比驗證了本文方法的準確性,并分析了V形切口幾何參數(shù)對切口板自由振動特性的影響。

1 正交各向異性切口板自由振動控制方程

如圖1所示正交各向異性V形切口板,其中O是圓心,x軸為正交各向異性材料的主方向,切口關于主軸方向對稱,圓的半徑為a,板的厚度為h,切口開口角度為α,切口內(nèi)角φ=2π-α,Γ1和Γ2是V形切口的兩條徑向邊,Γ3是扇形的弧形邊。

圖1 正交各向異性V形切口板模型(固支邊界)

根據(jù)薄板振動理論,正交各向異性板自由振動的控制方程可以表示為

(1)

式中:w為橫向位移;ρ為單位面積質量;h為厚度;ω為振動頻率;D1=E1h3/[12(1-μ1μ2)],D2=E2h3/[12(1-μ1μ2)],D3=D12+2D66,D12=μ1D2=μ2D1,D66=Gh3/12;E1和E2為彈性模量;μ1和μ2分別為1、2方向上的泊松比;G為剪切模量。

將自由振動控制微分方程式(1)轉化成極坐標系下的表達式為

(2)

式中:Dr=Erh3/[12(1-μrμθ)]為徑向彎曲剛度;Dθ=Eθh3/[12(1-μrμθ)]為周向彎曲剛度;Drθ=2Gh3/12為扭曲剛度。

(3)

式中:ω為自由振動頻率;c1=1.0,c2=(2+μθ-ν1μr),c3=(μθ+ν1μr+2ν2),c4=-(2μθ+2ν2),c5=2(μθ+ν2+ν1),c6=-ν1,c7=ν1,這里ν1=Dθ/Dr、ν2=Drθ/Dr。

對于固支V形切口,其邊界條件可以表示為

(4)

(5)

如圖2所示,正交各向異性V形切口板由等距離平行弧線和等角度徑向線劃分成如上網(wǎng)格,令

(6)

圖2 正交各向異性V形切口板網(wǎng)格

(7)

2 V形切口板自由振動頻率的計算

(8)

(9)

利用復化Simpson公式,式(8)可以簡化為以下求和形式

(10)

(11)

(12)

圖3 一維插值輸入輸出點

(13)

(14)

式中,Sn為PDDO插值矩陣系數(shù)。所以式(10)可以用矩陣形式表示為

{wn}=[Gn][α][Sn][kn]=[An]{kn}

(15)

同樣地,在其它等角度徑向線上亦成立,組合可以得到

[A]{k}

(16)

可以簡寫為

{w}=[A]{k}

(17)

{w*}=[B]{l*}

(18)

式中:*為沿著平行弧線上的計算點;[B]為系數(shù)矩陣。這里,自由振動位移列向量{w}以及{w*}中元素只是計算點的位置順序不同,可以通過轉換矩陣[T]將元素置換到相同位置,即

{w*}=[T]{w},{l*}=[T]{l}

(19)

將式(19)代入式(18),可以得到

(20)

{w′}=[A′]{k}

(21)

(22)

根據(jù)式(17)和式(20),式(21)和式(22)可以表示為

{w′}=[A′][A]-1{w}

(23)

(24)

同樣地,位移函數(shù)w其它階次的導數(shù)可以表示為

(25)

(26)

(27)

(28)

將式(25)～式(28)代入式(3),可以得到

(29)

式(29)可以簡寫為

(30)

3 數(shù)值算例

假設彈性模量以及泊松比在徑向和周向相同,即Er=Eθ=E、μr=μθ=μ,正交各向異性切口板退化為各向同性切口板,圖4展示了切口角α=300°時,前四階無量綱化頻率,從圖中可以發(fā)現(xiàn),本文結果與參考文獻[23]通過微分求積法的結果吻合度良好。

圖4 300度V形切口板前四階無量綱化頻率

表1 固支各向同性V形切口板無量綱化頻率的收斂性

(a)

圖6 V形切口板前五階頻率隨切口角α的變化規(guī)律

以α=60°為例,圖7繪制了其前四階橫向位移等高線振型圖,從圖中可以看出,切口板自由振動的第一階、三階振型圖具有對稱性,而第二階和第四階振型圖具有反對稱性,本文結果與有限元結果吻合較好,驗證了本文方法的準確性。

(a) FEM (b) Present

圖8 V形切口板前五階固有頻率隨Er/Eθ的變化規(guī)律

4 結 論

本文基于格林函數(shù)法結合近場動力學微分算子,提出一種分析正交各向異性V形切口板的自由振動問題的方法。

(1) 基于格林函數(shù)和PDDO插值基函數(shù),可以將正交各向異性V形切口板自由振動的高階微分控制方程轉化為求解廣義特征值問題,求解可得正交各向異性V形切口板的自由振動的頻率與振型。

(2) 通過本方法與FEM對正交各向異性V形切口板的自由振動分析,驗證了本方法的準確性和收斂性。數(shù)值研究發(fā)現(xiàn),正交各向異性V形切口板自由振動頻率隨切口角的增加而增加,隨彈性模量比值的增加而降低,且高階頻率下降的程度更顯著。

(3) 通過對切口板的動力特性分析,本方法避免了傳統(tǒng)有限元法在分析切口結構奇異問題時需要大量節(jié)點的網(wǎng)格敏感性問題,大幅節(jié)約了計算成本,說明了本方法在分析奇異結構振動等工程問題方面的潛力。