用于航天器耦合微振動分析的修正動質量法

柴江帥,羅 青

(國防科技大學 空天科學學院,長沙 410073)

高精度空間任務對航天器平臺在軌運行時力學環境的安靜性能要求極高[1]。然而,航天器上存在眾多微振動干擾源,如反作用飛輪、低溫制冷壓縮機、太陽翼驅動機構等[2]。其中,以反作用飛輪的微振動干擾最為顯著[3-5]。微振動源所產生的振動干擾通過平臺結構傳遞至相機等敏感載荷,嚴重降低其工作性能,成為制約高精度航天器發展的關鍵問題。因此,開展航天器微振動分析已成為研制高精度空間裝備的關鍵環節。

微振動地面試驗是分析和預測航天器平臺在軌微振動環境的重要手段。通過在地面模擬航天器在軌運行時的力學環境,評估航天器在軌微振動特性,以便實施有效的振動抑制措施。現有針對微振動源干擾特性的測試方法中,一般是將微振動源固定安裝在地面測試平臺的傳感器上,測試獲取其擾動輸出,并輸入到已建立的航天器結構模型中,得到微振動對敏感載荷的動態影響[6]。然而,微振動源與支撐結構之間存在高度耦合。微振動源的擾動輸出特性不僅取決于其內部的非理想特性,而且還受到其支撐結構動力耦合作用的影響。考慮到地面模擬條件與實際在軌飛行條件存在差異[7],有必要對微振動源與支撐結構的耦合動力學問題開展研究。

國外在航天器微振動方面的研究起步較早,針對微振動源與支撐結構的耦合動力學作用,已經歷了“基本理論研究”、“靜態動質量法”、“考慮陀螺效應的動態動質量法”3個階段[8-13]。Elias等最早研究了微振動源與支撐結構耦合作用。通過 “基本理論研究”方法,即從微振動源與支撐結構的受力平衡關系出發,推導建立兩者的耦合動力學方程,分析耦合作用對微振動源輸出擾動的影響。該方法物理意義明確,是分析耦合擾動問題的基礎。但對于自由度較多的復雜系統,其動力學建模及求解過程較為繁瑣,且難以通過試驗手段獲取分析對象中的精確參數,無法與實際試驗測量手段進行有效結合,因此,該方法實用程度有限。隨后,Elias在耦合擾動分析方法中首次引入動質量的概念,為后續相關研究奠定了大體方向。Elias的研究中未考慮旋轉機構陀螺效應的影響,屬于靜態動質量法。對于反作用飛輪而言,由于轉子的陀螺效應,飛輪工作時的動質量會隨轉速變化,導致耦合擾動輸出特性與靜態時有較大差異。Zhang等[14-16]在靜態動質量法的基礎上,發展了考慮陀螺效應的動態動質量法,并通過理論建模與試驗進行了驗證。總體上,動質量法一直沿用至今,是目前最重要的源與支撐結構的耦合分析方法。張鵬飛等[17-18]提出了一種將動質量測試與理論建模相結合的擾動力測試結果修正方法,并設計了不同剛度的測試平臺進行試驗驗證,該研究沒有針對陀螺效應展開探討。高行素等[19]以控制力矩陀螺為研究對象,采用動態動質量法研究了微振動源與柔性基礎的耦合動力學問題,通過Simulink動力學仿真求得的擾動力在系統固有頻率附近具有較高的準確性。除動質量法外,李雄飛等提出了利用頻域子結構法分析動量輪在彈性邊界的微振動響應,該方法具有較高的分析精度和計算效率,為研究源與彈性邊界的耦合微振動問題提供了新思路。整體而言,當前針對微振動源與支撐結構動力學耦合問題的處理方法仍以動質量法為主,或者直接忽略兩者之間的耦合關系進行分析[20]。然而,本文研究發現,以上處理方式僅在微振動源的質量遠小于支撐結構的情況下能滿足較高的分析精度要求,且在低頻區域存在較大的局限性。

綜上,本文以反作用飛輪為主要研究對象,研究微振動源與支撐結構之間的耦合動力學問題,對比分析傳統動質量法的適用范圍,提出依據機械阻抗理論分析動質量法的本質,并基于此研究考慮陀螺效應的修正動質量法(dynamic mass method,DMM)。

1 微振動源與支撐結構的動力學耦合問題

地面微振動測試一般是利用力傳感器(如Kistler Table)直接測量微振動源對安裝界面的擾動輸出力和力矩,如圖1所示[21-22]。圖中所示系統,采用了低頻空氣彈簧將微振動源與傳感器平臺懸置,為輸出擾動的測量提供類似于“在軌漂浮”的準自由邊界條件,如圖2(a)所示。

圖1 反作用飛輪微振動地面測試系統

(a) 準自由邊界

由于測試平臺與航天器的動態特性存在差異,因此,通過上述地面試驗測量得到的微振動源擾動數據,與實際在軌運行狀態下微振動源的擾動輸出存在差異。主要原因包括:一是在軌航天器處于“自由-自由”的剛體運動狀態,而地面試驗過程無法實現完全理想的自由剛體運動條件;二是航天器平臺內部結構存在彈性振動,地面試驗系統中測試平臺的剛性往往遠大于航天器的結構剛度,如圖2所示。為解決該耦合問題,傳統的動質量法以無耦合條件下的擾振輸出為出發點,通過分析如圖3所示固定邊界條件下微振動源的輸出作為耦合條件的輸入擾動力,建立從固定邊界到耦合邊界的轉換關系,從而為分析微振動源對支撐結構的影響提供輸入接口。

圖3 微振動源固定邊界分析模型示意

2 微振動源與支撐結構耦合建模與分析

以圖2和圖3所示模型為對象[23],分別通過受力平衡關系、傳統動質量法和機械阻抗理論,推導從固定邊界向耦合邊界擾動輸出的轉換關系,分析微振動源與支撐結構的動力學耦合特性。推導過程中,不妨將上述轉換關系定義為固-耦變換函數。

2.1 基于受力平衡的系統動力學模型

利用受力平衡關系推導建立的理論模型,可準確描述微振動源與支撐結構之間的相互耦合作用。

首先對圖3所示固定邊界模型進行受力分析,得到非耦合狀態的動力學方程為

(1)

式中:mw、kw和cw分別為微振動源的質量、安裝剛度和阻尼;xw為微振動源的質量與位移;Fp為微振動源內部因素產生的凈擾動力。

此時,安裝邊界處的擾動為

(2)

對式進行拉氏變換,可得到固定邊界條件下的力傳遞率為

(3)

同理,可以建立圖2(a)所示準自由邊界條件下系統的動力學方程為

(4)

式中:mt、kt和ct分別為測試平臺的質量、支撐剛度與阻尼;xt為測試平臺的位移。

相應地,準自由邊界條件下的擾動輸出為

(5)

對式(4)進行拉氏變換,可得到耦合條件下準自由邊界的力傳遞率

(6)

其中

p(s)=mws2[mts2+(cw+ct)s+kw+kt]+

(cws+kw)(mts2+cts+kt)=

mwmts4+(mwcw+mwct+mtcw)s3+

(mwkw+mwkt+mtkw+cwct)s2+

(cwkt+ctkw)s+kwkt

(7)

聯立式(3)和式(6),可得固定邊界向準自由邊界的擾動輸出固-耦變換函數

(8)

2.2 基于動質量法的微振動傳遞模型

采用傳統的動質量法,建立微振動源與支撐結構之間的耦合動力學模型,如圖4所示。

圖4 微振動源與支撐結構動力學耦合關系

支撐結構一般為連續彈性體,進行離散后可建立多自由度系統的結構動力學方程為

(9)

式中:M、C和K分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;x(t)為系統的廣義位移;f(t)為系統所受的廣義力。

對式(9)進行拉氏變換,得到頻域內的動力學方程

(10)

式中,D(s)為動質量矩陣,即系統加速度向量與所受外載荷之間的傳遞函數矩陣,具體表達式為

D(s)=M+s-1C+s-2K

(11)

(12)

支撐結構的動力學方程為

(13)

聯立式(12)和式(13),得到

(14)

同樣以圖3所示模型為例,可得到微振動源的動質量為

Dw=mw+s-1cw+s-2kw

(15)

支撐結構的動質量為

Dss=mt+s-1ct+s-2kt

(16)

將式(15)和式(16)代入式(14),由此可以得到利用動質量法推導的固-耦變換函數為

(17)

2.3 基于機械阻抗理論的微振動傳遞模型

根據機械阻抗理論,由式(10)分析可知,動質量本質上是加速度阻抗。本文提出采用機械阻抗理論對微振動源的微振動傳遞過程進行建模,如圖5所示。圖中分別給出了固定邊界和準自由邊界條件對應的機械阻抗圖[24]。

(a) 固定邊界

根據機械阻抗的串并聯計算規則,計算得到圖5中各支路的加速度阻抗為

(18)

式中,Zw、Zb和Zc分別表示微振動源自身質量的加速度阻抗、固定邊界輸出擾動支路的加速度阻抗,以及準自由邊界輸出擾動支路的加速度阻抗。

對于固定邊界,輸出擾動對凈擾動的分流為

(19)

對于準自由邊界,輸出擾動對凈擾動的分流為

(20)

聯立式(18)～式(20),得到利用機械阻抗方法推導的固-耦變換函數為

(21)

2.4 建模方法對比與分析

以上利用受力平衡關系、動質量法和機械阻抗法,分別推導建立了微振動源與支撐結構之間耦合微振動擾動的傳遞模型,如式(8)、式(17)和式(21)所示。對比可知,通過動質量法推導建立的固-耦變換函數與其余兩種方法存在明顯差異,即

(22)

分別利用上述三種方法,結合如表1給定的系統參數,計算圖2(a)所示準自由邊界下微振動源與支撐結構之間的耦合擾動力,結果如圖6所示。由圖中結果分析可知,在考察的全頻段范圍內,采用機械阻抗法分析的結果與根據受力平衡關系得到的耦合分析結果具有一致性。因為通過該兩種方法得到的固-耦變換函數是相同的。然而,采用動質量法獲取的耦合擾動力則存在較大差異。總體上,在較低頻段,動質量法與其他兩種方法獲取的耦合擾動力差異較大,而在中高頻段的差異則相對較小。

表1 微振動源與支撐結構簡化模型仿真參數

(a) mw/mt=0.1的計算結果

結果還分析了微振動源與支撐結構的相對質量關系,對采用不同耦合分析方法的影響。對比分析可知,當微振動源相對支撐結構的質量越小時,動質量法與其他兩類方法的差異區間向低頻移動,且在中高頻段,分別通過三種方法獲取的耦合分析結果趨于一致。

動質量法實際上是將微振動源的質量、阻尼和剛度合并成“動質量”,根據機械阻抗原理,其相應的機械阻抗圖如圖7所示。對比圖5和圖7可知,動質量法在對固定邊界下的擾振載荷Fb向耦合邊界進行轉換時,將微振動源的質量、安裝剛度和阻尼進行并聯,合并為“動質量”來共同構成傳遞過程中凈擾動力Fp的耗散支路阻抗,而將支撐結構單獨構成耦合力Fc支路的阻抗。實際上,根據微振動源與支撐結構的耦合關系,對凈擾動力Fp的實際分流過程應為:耦合力Fc支路的阻抗由微振動源的安裝剛度、阻尼,以及支撐結構共同決定;傳遞過程中凈擾動力Fp耗散支路的阻抗由微振動源的質量決定。而當微振動源的質量相對支撐結構非常小且可忽略時,凈擾動力Fp耗散支路的阻抗為小量,此時,利用動質量法獲得的耦合力與其他兩種方法得到的結果趨于一致。以上即為采用動質量法進行耦合分析造成較大差異的主要原因。

圖7 動質量法的機械阻抗原理圖

表2對比總結了三種耦合分析方法的特點。綜合分析可知,動質量法適用于中高頻段的微振動源與支撐結構耦合動力學分析,且當微振動源相對于支撐結構質量較小時,動質量法具有較高的分析精度。

表2 三種微振動耦合分析方法對比

3 基于機械阻抗圖的修正動質量法

3.1 修正方法

本文提出采用機械阻抗方法對傳統的動質量法進行修正。將微振動源的安裝剛度和阻尼特性并入支撐結構的加速度阻抗,研究微振動源自身的運動學特性(如陀螺效應等)與支撐結構的機械阻抗特性對凈擾動力的分流效果,建立新的微振動源與支撐結構動力學耦合關系,如圖8所示。

圖8 基于機械阻抗的微振動源與支撐結構動力學耦合關系

根據機械阻抗理論,分別給出微振動源和支撐結構的動力學方程為

(23)

式中:Zs為支撐結構的加速度阻抗;Zw為微振動源的加速度阻抗。

由上式可得耦合力與凈擾動力之間的關系

Fc(s)=Gpc(s)Fp(s)

(24)

式中,Gpc(s)為微振動源與支撐結構之間耦合力的傳遞矩陣,其具體表達式為

Gpc(s)={I+Zw(s)[Zs(s)]-1}-1

(25)

對于固定邊界,將微振動源的安裝剛度與阻尼并入支撐結構,由式(24)可得固定邊界力為

Fb(s)=Gpb(s)Fp(s)

(26)

式中,Gpb(s)為凈擾動力到微振動源固定邊界力的傳遞矩陣,具體表達式為

Gpb(s)={I+Zw(s)[Zb(s)]-1}-1

(27)

式中,Zb為固定邊界支撐結構(安裝剛度、阻尼)的加速度阻抗。

聯立式(24)～式(27),得到

Fc(s)=Gpc(s)Gpb(s)-1Fb(s)=Gbc(s)Fb(s)

(28)

式中,Gbc(s)為固-耦變換矩陣,具體表達式為

Gbc(s)={I+Zw(s)[Zs(s)]-1}-1{I+

Zw(s)[Zb(s)]-1}

(29)

3.2 反作用飛輪陀螺效應的處理

與其他類型的微振動源不同,反作用飛輪含有高速旋轉的慣量部件,會因陀螺效應而與支撐結構發生動力學耦合,且耦合程度會隨轉速增加而增大。因此,針對反作用飛輪的微振動建模與分析必須考慮陀螺效應。

假設反作用飛輪的轉速為Ω,忽略自轉軸軸向的轉動動力學。此時,對于圖3所示的固定邊界,系統的動力學方程為

(30)

式中,Mw、Kw和Cw分別為反作用飛輪的質量矩陣、安裝剛度矩陣和安裝阻尼矩陣,分別可表示為

Mw=diag(mw,mw,mw,Jr,Jr)

(31)

Kw=diag(kxw,kyw,kzw,kαw,kβw)

(32)

Cw=diag(cxw,cyw,czw,cαw,cβw)

(33)

陀螺矩陣G(Ω)可表示為

(34)

模型中,Fp(s)為飛輪內部非理想因素引起的凈擾振激勵力。該擾振激勵主要以飛輪轉子動、靜不平衡擾動激勵為主[25],忽略軸承缺陷及隨機寬帶噪聲的影響,其時域模型可表示為

(35)

式中:U和φ分別為不平衡量及其初始相位;下標s和d分別表示靜、動不平衡。

傳統動態動質量法將陀螺矩陣視作加速度阻抗并入反作用飛輪的動質量矩陣,即

Dw=Mw+s-1(Cw+G)+s-2Kw

(36)

考慮到陀螺效應為飛輪轉子自身的運動學特性,與支撐結構無關。因此,根據3.1節給出的修正動質量法,本文提出將陀螺效應進行如下處理,得到反作用飛輪加速度阻抗矩陣為

Zw=Mw+s-1G

(37)

于是得到考慮陀螺效應的多維耦合擾動力求解路徑,如圖9所示。具體的計算步驟如下:

圖9 考慮陀螺效應的多維耦合擾動力求解路徑

步驟1計算反作用飛輪的阻抗Zw,由飛輪質量、慣量及轉速信息得到;

步驟2計算固定邊界的支撐阻抗Zb,由飛輪的安裝剛度和阻尼求得;

步驟3計算耦合邊界支撐結構的阻抗Zs,由Zb和飛輪安裝邊界處的阻抗Zp求得;

步驟4計算考慮陀螺效應的固-耦變換矩陣Gbc,由Zw、Zb和Zs求得;

步驟5計算多維耦合擾動力Fc,由Gbc和固定邊界擾動輸出Fb求得。

3.3 微振動對在軌航天器的影響

圖10 反作用飛輪對航天器的微振動激勵

(a) 傳統動質量法耦合分析模型

依據所提出的修正動質量法,給出對應的機械阻抗圖,如圖12所示。

(a) 固定邊界

忽略反作用飛輪的軸向轉動動力學,以及航天器繞飛輪轉軸的自由度,利用圖12給出的阻抗關系,給出系統中各部分加速度阻抗為

(38)

式中,Ms1、Kh和Ch為航天器平臺結構的質量矩陣、等效剛度矩陣和等效阻尼矩陣,分別表示為

Ms1=diag(ms1,ms1,ms1,Jxs1,Jys1)

(39)

Ch=diag(cxh,cyh,czh,cαh,cβh)

(40)

Kh=diag(kxh,kyh,kzh,kαh,kβh)

(41)

航天器附件結構的質量矩陣Ms2可表示為

Ms2=diag(ms2,ms2,ms2,Jxs2,Jys2)

(42)

將式(38)代入式(29),可得到將反作用飛輪在地面固定邊界的擾動力測量值轉換為在軌條件下耦合擾動輸出的固-耦變換矩陣。

4 數值仿真分析

4.1 航天器結構參數

利用所建微振動耦合分析模型,結合表3所示的系統參數,分析反作用飛輪對航天器平臺結構的微振動擾動響應。

表3 反作用飛輪與航天器結構的模型參數

4.2 航天器微振動響應分析

當反作用飛輪的轉速為4 800 r/min時,仿真得到航天器結構的微振動響應曲線如圖13所示。

(a) 徑向平動

對比平動和轉動自由度的仿真結果發現,無擾動源狀態下,以考慮陀螺效應的修正動質量法求得的耦合力為輸入時,航天器平臺結構的加速度響應曲線與有源狀態的真實響應曲線完全重合;以傳統動質量法求得的耦合力為輸入時,與真實結果存在一定誤差。以上仿真結果驗證了修正動質量方法及其陀螺效應處理的正確性,在應用于實際工程的耦合擾動分析時相比傳統動質量法具有更高的準確性。

4.3 陀螺效應的影響

由式(30)可看出,反作用飛輪高速轉動時將產生陀螺效應,會對繞轉子徑向轉動方向的運動特性產生影響。基于修正動質量法,圖14對比了不同飛輪轉速下,繞徑向轉動方向的反作用飛輪凈擾動至耦合擾動的力傳遞關系。由圖分析可知,當飛輪轉動時,系統的共振區與飛輪靜止時的共振區存在明顯區別,且呈現出以靜態共振區為中心,分別向高、低頻范圍發展的趨勢。該趨勢與文獻[14-16]中試驗測試結果給出的規律基本一致。該現象主要是由于飛輪陀螺效應會引起系統的正、逆渦動效應,隨著飛輪轉速增大,陀螺效應更加顯著,對繞徑向的動力學耦合傳遞特性的影響進一步增大,呈現出正渦動頻率增大、逆渦動頻率減小的規律。

圖14 不同轉速下反作用飛輪對航天器的耦合擾動特性

5 結 論

本文主要研究了航天器及其微振動源的耦合動力學關系及理論分析方法。分別通過受力平衡關系、傳統動質量法和機械阻抗方法建立了微振動源與支撐結構微振動耦合傳遞模型,并對比分析了三種方法的特點。從理論模型和仿真分析兩方面討論了采用傳統動質量法進行耦合擾動力分析的適用范圍,并依據機械阻抗理論,指出動質量實質上是將微振動源質量阻抗、剛度阻抗和阻尼阻抗進行并聯,形成所謂的“動質量”,進而造成低頻分析誤差。在此基礎上,提出了基于機械阻抗理論的修正動質量理論方法。依據該理論分析方法,建立了航天器與反作用飛輪的耦合動力學模型,重點給出了采用修正動質量法時對陀螺效應的處理方式。利用所建模型,仿真分析了反作用飛輪微振動對航天器平臺結構動態影響,以及不同轉速條件下陀螺效應對系統特性的影響規律。研究結果表明了修正動質量法在航天器微振動耦合動力學建模與分析方面的簡便性和正確性。