基于時間序列ARMA模型的拱橋施工變形預測

張 杰 李慶齡

（1.西華大學建筑與土木工程學院，四川 成都 610039；2.巴中利偉建設工程有限公司成都分公司，四川 成都 610095）

0 引言

鋼管混凝土系桿拱橋具有復雜的結構體系，在施工過程中往往存在多種偏差和誤差。隨著橋梁施工進程的推進，這些偏差和誤差會導致主拱肋標高偏離設計目標，影響橋梁的內力和線形，甚至造成合攏困難。因此，在鋼管混凝土系桿拱橋施工過程中，針對隨時間變化的施工數據進行變形分析和預測，并對過大變形及時采取有效的控制措施，才能確保結構的實際變形符合預期目標[1]。

時間序列分析是一種重要的數學方法，用于處理相互關聯的動態數據集合，它可以對隨時間變化的數據進行分析和預測。時間序列數據具有獨特的特點，即它們隨時間的推移而變化，并能夠反映過去所有的因果關系[2]。因此，時間序列分析能夠揭示數據隨時間變化的規律，幫助建立可預測性模型，以指導決策和規劃。與傳統的統計分析方法不同，時間序列分析更注重時間的因素，將時間作為自變量，從而代替復雜的影響因素和數據缺失等問題[3]。

在工程結構監測領域，時間序列分析的應用較少，這是由于工程結構本身的特點和監測數據的不確定性等因素所致。然而，在房屋結構和隧道變形監測中，時間序列分析已經被廣泛應用，并且在處理監測數據方面具有顯著的優越性[4]。時間序列分析可以有效地處理監測數據，用于橋梁施工監測過程中的變形分析，并且具有很好的應用前景。然而目前國內在橋梁施工監測過程中使用時間序列分析的研究仍然相對較少[5]。基于此，本文利用時間序列ARMA 模型對某特大橋主橋施工監控過程中主拱肋控制點變形數據進行分析，以促進該分析方法在橋梁施工監測中的應用。

1 工程概況與施工變形監測

1.1 工程概況

依托工程為一座飛燕式鋼管混凝土系桿拱橋。橋梁跨徑布置為（30m+120m+30m），橋梁總長180m，橋寬61.3m，設計汽車荷載為-A 級。該大橋的纜索吊裝布置如圖1所示。

圖1 某特大橋纜索吊裝布置圖

1.2 施工變形監測

編制該大橋主橋施工監控方案并采用全站儀及專用棱鏡對拱肋進行變形監測。主拱肋變形測點根據拱肋分段情況和結構變形情況進行布置，每個拱肋分段布設一個監測斷面。為避免梁段焊接影響，監測斷面布置在距離梁段邊緣0.5m 處，共布置7個斷面；每個斷面各布置4 個測點，位于鋼管拱肋頂端，全橋共布置28個測點。

2 建立時間序列模型的基本思想

時間序列分析的核心理念是同一變量在不同時間點上的觀測值之間存在一定的關聯性。這種關聯性意味著過去的觀測值可以用來預測未來的觀測值，雖然在新的時刻仍然可能出現不可預測的情況。因此，可以通過建立一個描述時間序列的模型，來研究和預測這個序列在未來的變化趨勢。具體地說，若記Xt（t=…,-2,-1,0,1,2,…）是一個無限時間序列，那么時間序列模型就是一個用來描述這個序列的數學模型，如公式（1）所示。

3 時間序列ARMA模型的建立及預測分析

3.1 數據預處理

進行平穩性檢驗是時間序列建模的必要前提之一，因為時間序列的平穩性對建模至關重要。確保時間序列的平穩性是為了確保模型的可靠性和準確性。下文對最上游拱肋跨中4號斷面測點（簡稱D4測點）施工階段CS7-CS29 的變形數據進行分析。使用Eviews軟件計算序列r的自相關函數和偏相關函數，相關系數和趨勢見圖2所示。

圖2 序列r的自相關圖與偏相關圖

在本例中，只關注自相關函數，而Eviews提供了自相關函數(AC）和偏自相關函數(PAC)。使用自相關函數圖可以判斷序列的穩定性：如果自相關系數快速趨近于0 并落入隨機區間，則時間序列是平穩的；反之，如果趨勢緩慢或不斷遞增，且在第8 期后數據符號改變，則表明序列r存在趨勢性，是非平穩的。

經過對序列r進行ADF 單位根檢驗，得到的p 值為0.9919，大于顯著性水平0.05。根據顯著性檢驗結果，可以得出結論：序列r是非平穩的。這意味著在時間序列建模中，如果直接使用序列r 進行回歸分析，可能會遇到虛假回歸問題。為了避免這個問題，需要對序列r進行處理，使其變為平穩序列。常用的方法是進行差分操作，通過計算相鄰觀測值之間的差異來獲得差分序列dr。差分序列dr消除了序列中的趨勢和季節性等非平穩因素，使得序列變得平穩。利用差分序列dr 進行進一步的時間序列建模分析，可以得到更可靠的結果，并避免虛假回歸問題的影響。因此，在本例中，將對原始序列r 進行一階差分操作，生成差分序列dr，然后利用差分序列dr 進行時間序列建模分析，以獲得更準確和可靠的結果。觀察序列dr的自相關函數和偏相關函數，相關系數和趨勢見圖3所示。

圖3 序列dr的偏自相關系數

根據觀察，從圖3 中可以發現差分序列dr 的自相關圖和偏相關圖都呈現明顯的截尾現象，這表明差分序列dr 滿足平穩性的條件。為了進一步驗證這一點，對差分序列dr 進行ADF 檢驗。根據檢驗結果的t 統計量，其實際p 值為0.0000，小于設定的顯著水平0.05。因此，經過顯著性檢驗，可以得出結論，序列dr 不存在單位根，表明該序列已經處于平穩狀態。

3.2 模式識別

根據樣本的自相關函數和偏相關函數的截尾性質，可以初步判斷序列為自回歸滑動平均模型（ARMA）中的ARMA(1,2)模型。同時，需要考慮臨近的幾個模型，包括自回歸模型AR(1)和AR(2)，滑動平均模型MA(1)和MA(2)，以及ARMA 混合模型ARMA(1,1)、ARMA(1,3)、ARMA(2,1)和ARMA(2,2)。

3.3 參數估計

本文中使用常用的最小二乘法進行參數估計，得出了各個模型的參數估計值，見表1所示。

表1 模型的參數估計值

3.4 模型定階

各階模型AIC 和BIC 準則值，見表2。從表2 中可以看出：AIC 值較小的有ARMA(1,2)，ARMA(1,3)，ARMA(2,2)和MA(2)模型，SIC 值較小的也是ARMA(1,2)，ARMA(1,3)，ARMA(2,2)和MA(2)模型。根據HQ 準則，ARMA(1,2)、ARMA(1,3)、ARMA(2,2)和MA(2)模型具有較小的HQ 值，因此被認為是較為合適的模型。使用Eviews計算這些模型的統計檢驗量結果見表3。

表2 序列dr的各階模型定階準則值

表3 各模型檢驗量

模型的優選主要依賴于以下幾個評價指標的對比：決定系數R2，其數值范圍為0 至1，越接近1 則代表模型擬合的效果越佳。再者，赤池信息準則(AIC)，其數值越小，表明模型的精度越高。另一項是施瓦茲貝葉斯信息準則(SIC)，其數值越小則表明模型更為精確。最后，Durbin-Watson 統計量，當數值在1.8 到2.1 之間時，表示殘差序列呈現出正態分布且無相關性。

通過表3的比較可得：ARMA(2,2)模型雖然其AIC、SIC 信息量較小，但Prob 值≥0.05，即模型不顯著，不能拒絕原假設，因此不適用于本研究。ARMA(1,2)模型的擬合優度R2最高，同時其AIC、SC 值也最小。綜合考慮，選擇采用ARMA(1,2)模型。

3.5 殘差檢驗

3.5.1 平穩性檢驗

對于ARMA(1,2)模型，自回歸部分特征根為：λ=[1]，絕對值|λ|=[1]；滑動平均部分特征根為：v=[0.83-0.42i,0.83+0.42i]，絕對值 |v|=[0.9405,0.9405]；即 |λi|≤1,|vi|≤1(i= 1,2)，滿足平穩可逆條件，因此，模型是平穩可逆的。

3.5.2 正態性檢驗

對于ARMA(1,2)模型，將估計的參數代入計算，從t=p+1=2開始計算殘差序列at，同時將未知的a值和x值設為零，通過遞推方法求得模型的殘差。然后，使用Eviews 對殘差進行LM 檢驗，得到的LM 檢驗結果為0.9876。根據檢驗結果，P值大于0.05，說明殘差序列呈正態分布。

3.5.3 白噪聲檢驗

為了驗證ARMA(1,2)模型的殘差是否具有白噪聲特性，選定滯后階數k=12，并計算了殘差的自相關函數（ACF）值以及Q 統計量。根據Eviews 計算結果可得出，殘差序列的自相關函數值在Bartlett范圍內，表明殘差序列之間相互獨立。滯后12階的Q 統計量的P 值均大于顯著性水平0.05，表示接受原假設，即殘差序列不相關或相互獨立。對殘差序列進行ADF 單位根檢驗，發現t統計量絕對值大于1%、5%、10%三個顯著性水平的t值，且p值為0.0017，小于這三個顯著性水平。因此，可以拒絕原假設，并得出結論：殘差序列不存在單位根。綜上所述，當假設序列DR 為ARMA(1,2)時，可以認定其殘差序列可以視為白噪聲，即序列的隨機性已經被成功捕捉。

3.6 預測分析

通過差分方程形式進行向前一步預測，可以獲得ARMA(2,1)模型的預測結果，具體為：

代入已知數值和模型的參數估計值，可求出序列dr的預測值為：

得到序列的擬合數據以及預測數據可見圖4的D4測點拱肋變形值預測效果比較圖。

圖4 D4號測點拱肋變形值預測效果比較圖

由圖4 可以看出用ARMA 模型進行預測的最大擬合誤差為12.7mm，最大預測誤差為10.6mm。該模型預測效果較好，具有較高的精度。

4 結束語

（1）時間序列ARMA 模型可以精準擬合與預測拱橋拱肋在建設過程中的變形值，使得鋼管混凝土拱橋的施工控制得到有效保障，鋼管混凝土拱橋的建設過程更加安全與高效。

（2）采用時間序列方法建模時，針對自回歸滑動平均模型的參數估計特征，提出了參數估計的“兩步走”，即“先參數初估計，然后精確估計參數”。本文計算結果表明這樣處理可大大地改善參數的估計精度，提高模型的預測效果。