二三混水平U型設計的平均中心化L2-偏差

韋錦慧，汪政紅

（中南民族大學 數學與統計學學院，武漢 430074）

均勻設計是一種非常強大的試驗設計方法，被廣泛應用于紡織工業、制藥、航空航天等領域，空間填充的均勻性是其最重要、最本質的特征，早期采用Lp-星偏差來衡量均勻性，為了克服Lp-星偏差的弱點，HICKERNELL［1］基于泛函分析中的再生核給出了偏差的統一表達式，同時定義了許多新的偏差，如中心化偏差、可卷偏差、離散偏差等，其中，中心化偏差適用于定距尺度因子，對不同設計的均勻性的區分度合理［2］，因此得到廣泛應用.

尋找偏差的下界是一個不可忽視的課題.下界可用作隨機搜索算法的基準，也可用于比較一些設計的優劣.當一個設計的偏差達到偏差下界時，該設計是均勻設計.文獻［3］首次研究兩水平正規部分因子設計在中心化L2-偏差的下界，文獻［4］在其基礎上擴展到非正規情形.與文獻［3］相比，文獻［5-7］進一步得到了更緊的下界，文獻［8］研究了三水平和四水平設計的中心化L2-偏差的下界，文獻［9］提供了一個針對四水平設計更緊的下界.

文獻［10］考慮所有通過水平置換技術得到的組合同構設計，定義了平均中心化L2-偏差（Average centeredL2-discrepancy，ACD），并推導了三水平設計的平均中心化L2-偏差與它的廣義字長型（Generalized word length pattern，GWP）之間的關系，提出了均勻最小低階混雜的概念.文獻［11］將文獻［10］的結論從三水平推廣至任意q 水平對稱設計.文獻［12］進一步將中心化偏差推廣至一類滿足條件的偏差，含有中心化L2-偏差、可卷偏差、混合偏差與Lee 偏差，得到任意q 水平設計的平均偏差與GWP 之間的解析表達式.由于二三混水平設計在實踐中應用最為廣泛，本文考慮采用水平置換技術，研究二三混水平U型設計的平均中心化L2-偏差.

1 預備知識

1.1 平均中心化L2-偏差

1.2 廣義最小低階混雜準則

其中，0 ≤k1≤s1，0 ≤k2≤s2.

文獻［13］定理4給出了非對稱設計的廣義字長型，定義如下：

1.3 正交性準則

向量B=(B1(d)，B2(d)，…，Bs(d))描述了設計d的正交性程度，序貫最小化向量B，即為正交性準則.

2 ACD與GMA之間的聯系

文獻［10］和文獻［11］分別給出了三水平和q水平對稱設計的ACD 的計算公式及其證明，但關于混水平設計的ACD 計算公式在文獻中未見，本節首先給出二三混水平U 型設計的ACD 公式及詳細證明，然后由此導出ACD與GMA之間的聯系.

給定設計d中的某一試驗點x，考慮所有可能的水平置換，對二水平部分而言，其f1值保持不變，都是；對三水平部分而言，每個s2維數組會重復2s2次，故：

證畢.

偏差是從均勻性刻畫設計的填充特性，Hamming距離分布刻畫了試驗空間中，具有某種距離的試驗點成對的數量，Hamming距離分布與GWP存在緊密的聯系，下述定理刻畫了平均中心化L2-偏差與GMA的聯系.

其中R={(k1，k2)：k1=0，…，s1，k2=0，…，s2，k=k1+k2}.

代入（3）式，即可證得（4）式成立.證畢.

定理2 表明，序貫最小化廣義字長型(A0(d)，A1(d)，…，As(d))，即較小的k且較小的Ak(d)值會得到較小的ACD（d）值，即GMA 設計擁有較小的ACD（d）值，說明了以ACD 度量的均勻性準則與GMA 準則的一致性.

3 ACD與正交性之間的聯系

正交性準則刻畫了設計d與正交設計隨強度遞增時的偏離程度，本節主要討論以ACD 度量的均勻性準則與正交性準則之間的聯系.

定理3對二三混水平設計d∈U(n；)，有：

將（6）式代入，結合Bij(d) 的定義即可證得定理3.證畢.

4 ACD的一個下界

平均中心化L2-偏差精確的下界可以作為尋找均勻設計的基準，在推導下界之前，先給出如下重要引理.

代入（3）式，即可證得結果.證畢.

5 數值例子

例1考慮設計d1∈U(6；24× 32) 與設計d2∈U(6；24× 3)，

根據定理1～定理4，計算可知：[ACD(d1)]2=LBC(6，4，2)=0.2130，e=1，[ACD(d2)]2=LBC(6，4，1)=0.1606，e=1，設計d1、d2都是基于平均中心化L2-偏差的均勻設計.