運用數學思想，助力問題解決

文／姜芳芳

方程是表達相等關系的數學模型。笛卡爾說：“一切問題都可以轉化為數學問題，一切數學問題又都可以轉化為方程問題。”由此可見，方程是解決數學問題和現實問題的有力工具。在解題時，通過巧妙構建方程，再靈活運用整體思想、數形結合思想、轉化思想等，可使問題得到巧妙解決。

一、運用整體思想巧妙解題

例1若關于x、y的方程組的解x、y之和為3，則m的值為________。

【解析】本題如果先解方程組求得x、y的值，再代入x+y=3，得到m的方程并求解，我們會發現計算量比較大。而如果讓兩個方程相減，可直接得到2x+2y=-m+3，所以-m+3=6，解得m=-3。

例2若m是方程x2-ax-1=0 的根，且，則a=________。

【解析】由于m是方程x2-ax-1=0 的根，所以m2-am-1=0，即。

【總結】整體思想是指從問題的整體出發，突出對問題整體結構的分析與改造，用“集成”的眼光對代數式進行有目的、有意識的整體處理。這樣可以避免繁雜的計算，使問題得到巧妙解決。

二、運用數形結合思想巧妙解題

例3關于x的一元二次方程ax2-3x-1=0 的兩個不相等的實數根都在-1和0 之間（不包括-1 和0），則a的取值范圍是________。

【解析】首先根據根的判別式可得Δ=（-3）2-4×a×（-1）＞0，解得。令y=ax2-3x-1。當a＞0 時，如圖1。此時，x分別取-1、0 時，對應的函數值都 應大于0。但當x=0 時，y=-1＜0，所以此種情況不存在。

圖1

當a＜0 時，如圖2。此時，x分別取-1、0時，對應的函數值都應小于0，即a+3-1＜0，-1＜0，解得a＜-2。所以＜-2。

圖2

【總結】數與形是數學研究的兩個基本對象，在一定條件下，它們可以互相轉化，以數解形，以形助數，數形結合，相得益彰。

三、運用方程思想巧妙解題

例4小明通過畫圖發現：函數y1=2x2-5x+2 與有三個不同的交點，x=1 是其中一個交點的橫坐標。請你幫他求出另外兩個交點的橫坐標。

【解析】聯立兩個函數表達式，得。化簡，得2x3-5x2+2x+1=0。由題意可知（x-1）是2x3-5x2+2x+1 的一個因式，所以設2x3-5x2+2x+1=（x-1）（2x2+mx-1）=0。展開，得2x3-5x2+2x+1=2x3+（m-2）x2+（-1-m）x+1，所以m-2=-5，解得m=-3，即2x2-3x-1=0。解方程，得x1=。即另外兩個交點的橫坐標分別為

例5求函數的最小值。

【解析】將原函數轉化成關于x的一元二次方程，得（y-3）x2+（2y-1）x+y-2=0。

∵x為實數，∴Δ=（2y-1）2-4（y-3）·（y-2）=16y-23≥0。∴。因此y的最小值為。

【總結】這兩道題都運用化歸思想，把所求問題轉化為一元二次方程有解的問題，體現了知識間的聯系，考查了同學們分析問題、解決問題的能力。