利用LMD-SVD 方法進行GNSS 坐標時間序列降噪

龔旭崢，汪香梅，王凱時

（1. 浙江省測繪科學技術研究院，浙江 杭州 310023；2. 開化縣資源規劃數據中心，浙江 衢州 324300）

隨著全球衛星導航系統（GNSS）的不斷建設與完善，目前全球多地已建立了GNSS 連續跟蹤觀測站。GNSS 測站的建立與衛星數據觀測不僅為全球板塊運動、地殼變形監測等領域研究提供了重要的基礎數據，也為國際地球參考框架的建設提供了有力的技術支撐。受多種外界復雜環境影響，GNSS 測站觀測數據通常包含大量噪聲，嚴重阻礙了GNSS 數據的進一步分析與應用，因此研究如何獲取更“干凈”的GNSS時間序列、構建統一嚴密的GNSS時間序列噪聲模型具有重要意義。王健[1]等研究GNSS 測站數據發現，GNSS 數據中的噪聲主要包括有色噪聲與白噪聲，且在N、E、U 方向上的噪聲特性存在差異。GNSS 測站坐標時間序列包含噪聲的多樣性和復雜性給降噪方法研究提出了更高的要求，目前常用的降噪方法包括奇異值分解（SVD）、經驗模態分解法（EMD）、小波變換法等[2-4]。SVD方法降噪的關鍵在于重構奇異值個數的選取，但對包含趨勢項的信號進行降噪時，奇異值個數選取會受趨勢分量的影響；EMD方法降噪時受端點效應、模態混疊等因素影響，降噪效果受限；小波變換降噪時受分解層次、小波基、閾值的影響較大，降噪效果在參數選取不合適時較差。作為一種能對非線性、非平穩性信號進行自適應分解的降噪方法，局部均值分解（LMD）不會產生如EMD方法一樣的負頻率。LMD方法降噪是通過重構分解得到的低頻乘積函數（PF）分量和余量，剔除高頻分量[5]，由于沒有進一步處理高頻分量，導致高頻分量中包含的有用信息丟失。因此，本文在LMD方法的基礎上，引入SVD方法提取高頻分量中的有用信息，建立了LMD-SVD 組合降噪模型，從而提高有用信息的利用率；并通過5 個IGS 測站坐標時間序列進行實驗分析，以驗證本文方法的有效性與優越性。

1 基本原理與方法

1.1 LMD基本原理

假設存在一原始信號x(t)，其LMD過程為[6-7]：

1）計算原始信號中局部極值點ni和對應極值x(ni)，則局部幅值ai和局部均值mi表示為：

對ai與mi進行處理，得到包絡估計函數a11(t)與局部均值函數m11(t)。

2）將m11(t)從x(t)中剔除，則有：

通過a11(t)解調h11(t)，即

計算得到s11(t)包絡估計函數a12(t)，判斷a12(t)是否為1；若a12(t)不為1，則將s11(t)視為輸入信號，計算s11(t)局部均值函數m12(t)，從s11(t)中剔除m12(t)得到h12(t) ，再利用a12(t) 解調h12(t) ；重復上述步驟，直到得到純調頻信號s1n(t)。

最終包絡信號為：

式中，q為第q次迭代過程。

3）將純調頻信號與包絡信號的乘積表示第一個乘積函數：

4）將x(t) 中剔除PF1(t) ，得到新的信號u1(t) ，由于PF1(t)為原始信號中頻率最高分量，因此剔除PF1(t)分量后得到的u1(t)可表示為原始信號x(t)的平滑版本。重復上述步驟，直至得到一個單調函數uk(t)，停止迭代。

5）x(t)可表示為k個PF與一個殘余分量uk(t)的疊加，即

式中，p為第p個PF 分量，由基于LMD 的信號分解過程可知，LMD 分解的基礎為信號自身極值，不斷迭代得到相應PF，信號最終被分解為殘余信號和部分PF。

1.2 端點效應消除

信號在使用LMD方法進行分解時，信號的分布特征會被信號的突變點、間斷點等端點破壞，從而使分解結果存在誤差，稱之為端點效應[8]。本文使用噪聲輔助法（向原始信號中添加受控高斯白噪聲）降低端點效應，則有：

式中，xi(t)為第i次加噪后信號；di(t)為第i次加入高斯白噪聲；ai為噪聲幅度；q為1、2。

對加噪后信號進行LMD分解得到：

取N次結果的平均值，得到基于噪聲輔助法的LMD分解結果為：

式中， PFk為每個PF 分量平均結果；為每個余項的平均結果。

1.3 LMD-SVD信號降噪方法

SVD方法降噪的關鍵是奇異值個數的確定，本文采用奇異值差分譜準則確定奇異值個數[9]，但該方法受趨勢分量影響較大，因此SVD方法適合對信號中高頻分量進行降噪。高頻分量與低頻分量分界點的確定是實現LMD方法降噪的關鍵。本文通過計算連續均方根誤差（CMSE）方法確定分界點[10]，即

式中，n為PF分量個數；N為信號長度。

第p階PF 分量能量密度同樣可通過式（11）表示，計算得到相鄰PF 分量CMSE 后，定義CMSE 全局極小值為：

將CMSE 全局極小值對應的p值作為高頻分量與低頻分量的分界點，直接剔除高頻分量，保留低頻分量與余量，但會導致高頻分量中有用信息的丟失，因此本文在LMD方法的基礎上引入SVD，構建LMD-SVD方法。該方法實現信號降噪的具體步驟為：①對某一原始信號，使用LMD方法進行分解，得到若干個PF分量與余量；②計算相鄰PF分量之間的CMSE值，CMSE全局極小值即為高頻分量與低頻分量的分界點；③針對高頻分量，使用SVD方法進行分解，得到相應奇異值并根據奇異值差分譜準則確定信號重構奇異值個數；④重構經SVD方法去噪后的高頻分量、低頻分量與余量得到最終降噪信號，并對降噪效果進行定量評價。

2 實例分析

本文選擇IGS 網站中LHAZ、BJFS、SHAO 等5 個IGS 站點2016—2019 年U 方向坐標時間序列進行處理與分析，坐標時間序列采樣間隔為1 d。為降低原始序列中數據缺失以及粗差對后續數據處理與分析的影響，首先對原始坐標時間序列進行插補、粗差剔除等預處理[11]。受篇幅限制，本文僅將SHAO 站U 方向時間序列作為實驗數據。

2.1 LMD方法坐標時間序列降噪

受篇幅限制，本文僅以LHAZ 測站U 方向坐標時間序列為例進行說明，首先通過LMD方法分解時間序列，得到8個PF分量與1個余量；然后計算相鄰PF分量之間的CMSE 值，結果見表1，可以看出，PF 分量在第3 階時出現CMSE 全局極小值，因此可將第3 階PF分量認定為高頻分量與低頻分量的分界點；剔除前3 個高頻PF 分量，對剩余PF 分量和余量進行重構，得到降噪后時間序列（圖1）。

表1 相鄰PF分量之間的CMSE值/10-8

由圖1可知，LHAZ站U方向坐標時間序列降噪后時間序列基本反映了原始時間序列的走勢，但二者之間差異較大。對原始時間序列與降噪后時間序列殘差進行統計，結果見圖2。

圖2 LMD方法降噪后殘差統計

2.2 LMD-SVD坐標時間序列降噪

為進一步提取高頻噪聲中的有用信息，提高原始信號中有用信息的利用率，本文利用SVD方法對前3個PF分量進一步降噪；再將經SVD降噪后得到的有用信息與剩余PF分量、余量進行重構，獲取最終降噪時間序列。構建高頻分量Hankel矩陣并進行SVD，計算前100個奇異值差分譜（圖3），可以看出，在第5個位置出現譜峰值，而后奇異值差分譜值降低，因此選擇前5個奇異值進行重構得到高頻分量降噪后序列。

圖3 LMD-SVD奇異值差分譜

重構降噪后序列、剩余PF 分量和余量得到降噪后U 方向時間序列（圖4），可以看出，LMD-SVD 方法降噪得到的時間序列不僅可以準確反映原始時間序列走勢，更能縮小與原始時間序列差異。統計降噪后序列的殘差（圖5），計算得到殘差振幅平均絕對值為1.7 mm。相較于單一LMD 方法，LMD-SVD 方法降噪結果的殘差平均值明顯降低，能夠進一步提取高頻PF分量中有用信息，得到更好的降噪結果。

2.3 定量分析對比

通過上述方法對LHAZ、BJFS、SHAO等5個IGS站U方向坐標時間序列進行降噪處理，將信噪比、相關系數和均方根誤差作為時間序列降噪效果的評價指標。信噪比反映有用信號與噪聲的比值，值越大，表示降噪效果越好；相關系數反映降噪后信號與原始信號波形的相似度，值越大，表示降噪效果越好；均方根誤差反映降噪前后信號差異，值越小，表示降噪效果越好[12-13]。

信噪比的計算公式為[14]：

相關系數的計算公式為：

均方根誤差的計算公式為：

式中，n為信號長度；σx和σx?分別為x和?的標準差；cov(x'?)為x和x?的協方差；x(i)為真實信號；為降噪后信號。

對各站點U 方向坐標時間序列降噪結果進行統計，結果見表2。由圖1、圖4和表2可知，LMD-SVD方法對各站點坐標時間序列降噪結果的信噪比、相關系數明顯提高，均方根誤差明顯降低。統計5 個測站各評價指標的平均值發現，相較于LMD 方法降噪結果，LMD-SVD 方法的信噪比與相關系數分別提高了34.28%與17.11%；均方根誤差降低了51.31%。綜上所述，本文提出的LMD-SVD 方法的降噪結果優于單一LMD方法。

表2 兩種方法降噪結果統計

3 結 語

本文在LMD方法的基礎上引入了SVD方法，構建了LMD-SVD降噪方法，得到的結論為：

1）LMD-SVD 降噪方法的降噪流程為：①利用LMD 方法對GNSS 測站坐標時間序列進行自適應分解，并通過CMSE 局部極小值確定高低頻分量分界點；②利用SVD方法對包含部分有用信息的高頻分量進行降噪，提取高頻分量中有用信息；③重構低頻分量、余量以及降噪后高頻分量。

2）根據奇異值差分準則，SVD 方法可以自適應選擇重構奇異值個數，實現高頻分量的有效重構與降噪，由于趨勢項通常為低頻分量，使用奇異值差分準則確定高頻分量重構奇異值個數可有效避免趨勢項對奇異值個數選取的影響。

3）相較于單一LMD方法，LMD-SVD降噪方法能更加準確地提取原始時間序列中的有用信息。通過對比5 個IGS 測站U 方向坐標時間序列降噪結果發現，本文方法的信噪比、相關系數均明顯提高，均方根誤差明顯降低，表現出更好的降噪性能。