一種采用B樣條插值的改進能量算子在電梯電機軸承故障診斷中的應用

孫 敏，魏 禹，馬吉祥，周 璇

(1.西安交通工程學院 機械與電氣工程學院，西安 710300；2.西安郵電大學 自動化學院，西安 710121)

0 引言

電梯系統在公共交通和商業設施中扮演著至關重要的角色。其中，電機是維持電梯運行不可或缺的核心組成部分。電梯電機通過將電能轉換為機械能來驅動電梯的運行。當啟動時，電機帶動轎廂旋轉，并借助鋼纜提升貨物或乘客。當到達指定樓層時，停止電機轉動使得電梯停止運行。此外，電梯電機還通過控制系統來控制電梯的速度和方向，確保電梯穩定運行。電梯電機需要定期檢查和維護，以確保其正常運行及附件的穩健性。若出現故障或失靈，將影響電梯系統的正常運轉，不僅危及使用者安全，也會給操作、維修和維護帶來無謂困擾。因此，對于保養和維護電梯電機來說，其重要性不言而喻[1-2]。

軸承作為電梯電機的重要傳動件起到了重要的傳遞作用，但由于其工作環境較為惡劣導致容易損壞，因此對軸承的早期故障檢測非常重要。主軸傳動軸承的好壞對于主要的回轉精度、剛度、熱特性和動態性都有著較大的影響[3-4]。此外，軸承有助于通過減少運動部件之間的摩擦來降低機械能量損失和需求進行維護。摩擦是由兩個物體之間的物理接觸引起的，在電機中，許多運動部件相互摩擦導致發熱。這種熱量會使軸承和其他部件升溫，可能導致電機或其他部件損壞。為了減少摩擦，電機必須使用軸承。軸承幫助通過在運動部件之間減少因摩擦產生的多余熱量和能量損失來延長電機的使用壽命。因此，對于電梯電機中軸承的狀態監測與故障診斷是保證電梯系統正常運轉的重要環節。當軸承內圈或外圈出現缺陷時，當滾珠通過該缺陷時，就會產生表示軸承故障特征的周期性脈沖。當能量被內部阻尼耗盡后，這些脈沖就會以近似于指數包絡線的方式衰減。這種信號被認為是調制信號，其中調制信號的基頻(包絡)就是軸承的故障特征[5-6]。因此，振幅解調產生的包絡信號傳達了更多的故障信息，這是原始信號的傅立葉頻譜分析無法獲得的?？梢哉f，解調技術是為這些調制信號量身定制的處理方法。

近年來，一種流行的解調方法，非線性能量算子技術得到了廣泛應用。該種解調方法可以從原始信號中捕獲調幅-調頻信號。在這些非線性能量算子工具中，最具代表性的是Kaiser[7]設計的Teager能量算子(TEO，teager energy operator)。該算法是一種非線性微分算子，能夠有效地估計任意調制信號的時變包絡。此外，與其他常用解調分析工具相比，如高頻共振解調方法(HFR，high frequency resonance)和希爾伯特變換解調方法(HT，hilbert transform)，它具有以下特點[8-9]：1) 由于TEO可以提供一個小的時間窗，使其成為調制信號局部分析的理想工具，同時具有優越的定位特性；2) TEO只對3個相鄰的信號樣本進行操作，實現非常簡單，占用計算機資源少，計算量少；3) 它是一種無參數方法，從而減輕了參數選擇和重新校準的步驟。基于這些優點，TEO已廣泛應用于機械故障診斷。文獻[6]針對強背景噪聲下滾動軸承振動信號故障特征信息難以提取的問題，提出了結合固有時間尺度分解形態濾波和TEO相結合的軸承故障特征提取方法。文獻[10]針對軸承故障信號中微弱周期性沖擊的特征提取問題，提出參數優化集合經驗模式分解與TEO結合的軸承故障診斷方法。文獻[11]針對軸承故障信號中伴有軸轉頻率和噪聲等問題，提出了基于信號共振稀疏分解與TEO結合的軸承故障診斷方法。文獻[12]針對軸承故障的特征提取和識別問題，提出了一種基于小波各子帶Teager能量熵和模糊c均值的故障診斷方法。文獻[13]提出了一種利用TEO對定子電流進行頻譜分析的解調新方法。文獻[14]提出將軸承振動信號轉換到Teager能量域，并采用統計和基于能量的度量對其進行特征化，從而起到故障特征提取的作用。

然而，TEO方法容易受到噪聲的影響，尤其是在背景噪聲比較強烈的情況下，TEO一般是無法直接從這種噪聲干擾信號中提取有用的故障信息的。電梯運行環境嘈雜，其動力主要由曳引機提供。因此，在電梯運行過程中必然會產生噪聲，尤其是機械動作所致。當曳引機產生動力后，它通過蝸桿傳動減速箱和齒輪傳遞曳引機所產生的力。在傳輸過程中，齒輪之間的相互作用可能導致噪音問題的出現。因此從電梯電機故障軸承中提取的振動信號中可能包含了強烈的背景噪聲。將TEO直接應用于電梯電機故障信號是無法提取故障特征頻率。因此，需要對原始信號進行前處理處理后，才能有效提取軸承故障特征，一般的處理思路是將TEO與不同的濾波方法進行結合，先使用前濾波方法對原始故障信號進行處理，然后將TEO作用于濾波后的信號，這就降低TEO對噪聲的敏感度，從而提取出了軸承故障特征頻率。雖然這種聯合的方法有效，但是這種聯合的方法有一個明顯的不足，就是增加了故障特征提取的步驟，這樣不僅加大了應用的復雜性，同時也加重了算法運行負荷，造成運行耗時過長的問題，這就導致這種方法在實際使用中的局限性。為了克服這個不足，本文采用了一種新穎的基于B樣條插值的能量解調方法[15]。在這個方法中，首先采用B樣條理論設計樣條插值多項式，這種插值多項式一定程度上起到了時變濾波器的作用。但這和之前的所說的聯合方法中真正的濾波器不同，因為它的原理更加簡單，同時它是嵌入TEO之中，沒有繁瑣的濾波步驟，從而使用該方法更加直接，也降低了計算復雜度。該種融合B樣條插值的TEO能量解調方法可以增強其本身的魯棒性，從而更好地應對強背景噪聲的影響。將該方法應用于真實電機軸承故障信號中取得很好的效果，驗證了該方法的實用性。

1 基于B樣條插值的Teager能量算子

很多文獻對于B樣條插值的構建都進行了相關研究，本文中采用文獻[16-17]中的方法進行構建。B樣條插值技術是以較低的速率對信號進行重采樣，并采用抗混疊濾波器實現最小誤差的信號逼近。該方法不僅是一種數據壓縮方法，而且是一種噪聲抑制策略。用滿足特定連續性約束的分段多項式來表示這些函數。假設給定一個初始信號x(n)，該信號在B樣條空間可以表示為：

(1)

式中，βn(t)表示n階B樣條函數；c(i)為B樣條的系數；m代表節點之間的步長。從式(1)中可以看到，最終的近似輸出是由階數n、結點步長m和系數c控制的，這意味著B樣條近似是這些系數給定的情況下，確定使最小二乘誤差準則最小化。最小二乘誤差準則定義為：

(2)

c(i)的解可以用下式表示：

(3)

接下來，討論如何構建B樣條插值的節點。如上所述，B樣條插值函數是分段多項式。期望的信號是由這些多項式片段連接在一起形成的，這些連接點稱為節點。因此，節點是B樣條插值重要組成部分。對于一組多成分信號，可以使用下面的信號模型進行表示，

(4)

式中，am(t)>0為幅值；φm(t)代表相位。

通過式(4)，可以得到瞬時幅值和瞬時頻率：

(5)

(6)

由于一個多成分信號都可以由兩個信號的組合來進行表示，即：

z(t)=A(t)ejφ(t)=a1(t)ejφ1(t)+a2(t)ejφ2(t)

(7)

因此式(5)和(6)變為：

(8)

φ′(t)=

(9)

令cos[φ1(tmin)-φ2(tmin)]=-1，顯然這時A(t)為局部最小值。將其代入(8)和(9)得到：

|a1(tmin)-a2(tmin)|=A(tmin)

(10)

(11)

又因為A(tmin)為局部最小值，所以A′(tmin)=0。因此可得：

(12)

同理，當在tmax時，A(tmax)為局部最大值，令cos[φ1(tmax)-φ2(tmax)]=1，則得到：

(13)

a1(tmax)+a2(tmax)=A(tmax)

(14)

(15)

通過解式(8)到(12)，可得到a1(tmin)，a2(tmin)，φ1(tmin)和φ2(tmin)。同樣地，通過式(13)到(15)，可得到a1(tmax)，a2(tmax)，φ1(tmax)和φ2(tmax)。則a1(t)可通過一組內插點{a1(tmin)，a1(tmax)}得出。a2(t)，φ1(t)和φ2(t)也可以通過同樣的方式得出。通過得出的a1(t)，a2(t)，φ1(t)和φ2(t)則有：

(16)

式中，η1(t)和η2(t)由一組內部插值點φ′({tmin})A2({tmin})和φ′({tmax})A2({tmax})得出。

則節點可通過下式得出：

(17)

通過以上B樣條理論構建的B樣條插值，可以對采樣離散信號進行插值操作并得到一組插值信號如下，

(18)

顯然，sv(t)是原始離散信號x[n]在連續時間域上的擴展?；贐樣條插值的能量解調算法的基本思想就是將連續時間域的信號sv(t)應用到TEO方法的表達式中，即：

(19)

其中：

至此，整個方法可稱為基于B樣條插值的能量解調方法。

2 模擬信號仿真

為了驗證本文所提出的基于B樣條插值的TEO方法的實用性，此部分采用一個故障軸承模型用以模型軸承故障信號，該軸承故障模型如下所示[18]：

(20)

式中，Am代表沖擊振幅；ξ代表阻尼系數；ωn代表系統共振頻率；T代表故障周期；τi為第i次沖擊相對于T的微小波動；u(t)是單位階躍函數；n(t)代表模擬的高斯白噪聲。信號采樣點數為20 000，采樣頻率為20 kHz。故障特征頻率為FCF=100 Hz。

為了更好地體現所提方法的實用性和優越性，加入強背景噪聲，使軸承故障信號的信號比SNR=-10 dB。本文所提方法應用于該模擬信號的過程：首先將基于B樣條插值的TEO應用于模擬信號從而得到時域包絡信號，然后利用傅里葉變換將時域包絡信號從時域轉換為頻域，得到包絡信號的能量譜圖從而在得到故障特征頻率。

圖1為加入強背景噪聲的模擬軸承故障信號時域圖。從圖中可以看到，軸承故障脈沖序列已經被強烈的背景噪聲淹沒，無法分辨。首先使用前文提到的經典解調方法，即Teager能量解調方法(TEO)和希爾伯特變換解調方法(HT)，對該軸承模擬故障信號進行變換，其變換后信號的包絡譜如圖2(a)和(b)所示。從TEO和HT的包絡譜中可以發現，常用的經典解調方法TEO和HT都未能從強噪聲污染的信號中分離出故障特征頻率。正如前文中所述，這是由于HT和TEO對噪聲較為敏感，尤其是強背景噪聲的工況下。

圖1 模擬軸承故障信號

圖2 HT和TEO方法提取結果

現使用本文提出的基于B樣條插值的TEO方法對其進行故障特征頻率的提取，提取結果如圖3所示。從圖中可以清楚地看到，本文所提方法可以較好地提取出模擬軸承故障特征頻率100 Hz和它的2倍頻、3倍頻和4倍頻。這是因為B樣條插值可以起到一個時變濾波的作用，經過B樣條插值后的信號可以降低對TEO的影響，從而更好地提取故障特征。

圖3 基于B樣條TEO得到的能量譜

通過該模擬信號驗證，可以看到經典的TEO和HT解調方法雖然有很多優點，如運算速度快和無參數設置等，但是它們對噪聲尤其是強背景噪聲十分敏感。因此，將其應用在原始的軸承故障信號中很可能無法直接提取出故障特征頻率。而通過B樣條插值改進的TEO可以很好地提取出故障特征頻率。

為了更加全面地體現B樣條的時變濾波作用，在不同信噪比條件(-10 dB到10 dB)下進行對比分析。圖4為不同的信噪比條件下的輸出信噪比的變化曲線圖。從圖中可以看到，通過所提方法處理后的輸出信號的SNR值都要比原始信號的SNR值要高，說明所提出的B樣條插值起到很好的濾波效果。

圖4 不同信噪比條件下的輸出信號的SNR

3 軸承故障特征提取實驗

為了進一步驗證所提方法的工程實用性，本小節將采用一組真實軸承故障數據來進行驗證。本次故障類型分為軸承的內圈故障和外圈故障。并且為了體現所提方法的優越性，在內外圈故障診斷當中還加入了模態分解方法和最小最優熵反褶積的方法進行對比。

本次真實案例所采用的電機軸承故障數據由科廷大學機械工程系提供。該實驗數據來自于SpectrQuest機械故障模擬器測試平臺。該SpectrQuest實驗平臺主要由6個模塊組成：電動機、轉速表、變速控制器、聯軸器、正常軸承和故障軸承，如圖5所示。

圖5 實驗平臺

該電機故障仿真系統由一臺1 hp電機驅動。轉速由變速控制器控制，轉速范圍從0到6 000轉/分。軸承座內安裝兩個MB ER-16 K滾動軸承。左側安裝正常滾動軸承，右側安裝故障滾動軸承進行實驗。采用一個聯軸器來抑制電機產生的高頻振動。振動信號以51 200個/s進行采樣。旋轉軸以旋轉頻率29 Hz (1 740 RPM)的速度旋轉。表格1為故障軸承的幾何尺寸。

表1 故障軸承的幾何尺寸

根據故障軸承的幾何信息，計算得到軸承的外圈故障特征頻率(BPFO，ball pass frequency outer)為103.59 Hz，內圈故障特征頻率(BPFI，ball pass frequency inner)為157.41 Hz。

3.1 內圈故障特征頻率提取

首先，進行軸承內圈故障特征頻率的提取。圖6(a)和(b)為軸承內圈故障信號的時域圖和相對應的TEO能量譜。從圖6(a)的時域信號中可以看到，微弱的內圈故障脈沖序列已經被噪聲掩蓋而無法辨認。同時從圖6(b)中的能量譜中發現，由于強噪聲的存在，TEO無法從該故障信號中提取出內圈故障特征頻率及其倍頻。

圖6 內圈故障信號及其TEO能量譜

現使用本文所提的基于B樣條插值的TEO能量解調方法對該信號進行處理，得到的相對應的能量譜如圖7所示。從能量譜中可以看到，本文所采用的基于B樣條插值的TEO可以從強背景噪聲污染的內圈故障信號中提取出內圈故障特征頻率157. 41 Hz及其它的前3個倍頻，驗證了該方法的工程實用性。

圖7 所提方法的能量譜

為了體現該方法的優越性，采用故障診斷中常用的基于模態分解的方法進行對比。這里采用文獻[20]中集成經驗模態分解(EEMD，ensemble empiricalmode decomposition)和TEO的聯合方法。該聯合方法的原理是首先使用EEMD方法將軸承故障信號分解成一些列本征模函數(IMF，intrinsic mode function)，在分解的過程中同時達到了過濾噪聲的目的，然后選擇合適的IMF，最后利用TEO對該IMF進行處理，得到相對應的能量譜，從而達到故障特征提取的目的。

圖8為EEMD分解出的IMF，可以看到該EEMD把該原始內圈故障信號分解出了IMF。因此，必須從這5個IMF中挑選出蘊含故障信息最多的一個IMF。這里采用最常用的峭度(Kurtosis)指標來選出合適的IMF從而進行下一步分析。從圖8中可以看到，IMF3的峭度值為4.122 1，為5個分解出的IMF的峭度值最大，因此選擇IMF3進行進一步分析。最后使用TEO對IMF3進行轉換，最終得到的TEO能量譜如圖9所示。從能量譜中可以看出，雖然該種EEMD+TEO的聯合方法可以提取出故障特征頻率，但相比于圖6結果，它的故障頻率的幅值較低，較難分辨，并且從能量譜中也無法分辨出故障特征頻率的倍頻。

圖8 分解的IMFs

圖9 IMF3的TEO能量譜

此外，這種聯合提取故障特征頻率的方法的步驟也較為繁雜，首先使用EEMD分解原始故障信號；然后需選擇合適的IMF；最后對合適的IMF進行故障特征提取。而本文所采用的方法更加的簡單與直接，因此實用性更強。

3.2 外圈故障特征頻率提取

現進行軸承外圈故障特征頻率的提取。圖10為外圈故障特征信號時域圖波形。從圖中可以看到，同內圈故障信號一樣，外圈故障脈沖序列由于強噪聲影響已經無法進行分辨。直接采用TEO或者HT方法進行故障解調是不可行的。

圖10 外圈故障信號

現使用本文所采用的基于B樣條插值的TEO方法對該外圈故障信號進行故障特征頻率的提取，最終提取結果如圖11所示。從能量譜可以發現，同內圈故障診斷一樣，該方法仍然可以從強背景噪聲中提取出外圈故障特征頻率及其它的前4個倍頻。

圖11 能量譜

類似地，在外圈故障特征提取中，采用文獻[21]中一種先進的基于反卷積的方法，即多點最優最小熵反卷積(MOMEDA，multipoint optimal minimum entropy deconvolution adjusted)和TEO方法的與該方法進行比較。MOMEDA方法與EEMD方法相比，MOMEDA既能去除噪聲，又能突出故障循環脈沖。此外，基于MOMEDA的故障檢測方法不需要選擇敏感的IMF，提供了更好的便捷性。但需注意的是，MOMEDA方法中必須事先設置過濾器長度L，這是一個重要的參數。本次對比實驗中參數設置為L=2 500。

圖12為MOMEDA濾波后的外圈故障波形圖。從波形可以看到，與EEMD分解后的IMF不同，MOMEDA不僅去除了大量的背景噪聲，還突出了故障脈沖序列。

然后使用TEO對濾波后的信號進行轉換。其轉換信號的能量譜如圖13所示。通過該圖可以看到，經過濾波后，TEO也可以很好地從濾波信號中提取出外圈故障特征頻率及其倍頻。顯然基于MOMEDA的方法要明顯強于基于EEMD的方法，最主要的原因就是前面所述的MOMEDA可以很好地突出故障脈沖序列。這種方法的提取效果幾乎與本文所采用方法的提取效果相似。但值得一提的是，該種MOMEDA方法相對于本文所提方法，雖然它的提取效果相似，但正如前所述，MOMEDA在使用前必須設置濾波器長度，濾波器長度的選擇在很大程度上影響著MOMEDA的濾波性能，但是一般濾波器的長度選擇都是盲目的或者需要人工經驗進行選擇。其次，濾波器長度L也會產生嚴重的邊緣效應，導致濾波后的信號比原始信號短L個采樣點。該種邊緣效應如圖14所示。減少故障信號的長度可能會導致故障相關內容的丟失，特別是在濾波器長度L較大的情況下[21]。因此，與基于B樣條插值的TEO方法相比，基于MOMEDA的方法為實際中的應用帶來一些不便。

圖13 濾波后信號的能量譜

圖14 原始信號和濾波信號的比較

通過對真實案例實驗的結果可以發現，經典的Teager能量算子能夠在存在輕微噪聲的情況下檢測出故障特征頻率，但在惡劣的背景環境下，如存在較大噪聲或故障初期，則無法提取出故障特征頻率。相反，所采用的基于B樣條插值的TEO在各種工況下都表現良好。雖然基于模態分解和反卷積的方法已被用于解決軸承弱故障特征的檢測問題。然而，這些技術經常結合在一起，這可能導致一個復雜的過程和高計算復雜性。相比之下，該種方法顯示了更直接的故障特征檢測過程，這一優點使其更易于在實踐中應用。

4 結論語

本文采用了一種新的能量解調算法，稱為基于B樣條插值的能量算子方法，用于提取電梯電機滾動軸承的故障相關特征。該種方法將信號逼近技術與經典的Teager能量算子技術相結合，大大提高了魯棒性。該方法的顯著優點是理論簡單，計算效率高，應用方便和對強噪聲具有較強的魯棒性。最后，將基于模態分解和反卷積的兩種常用故障檢測方法與本文提出的方法進行比較。可以看到，基于B樣條插值的TEO方法不管是在提取效果上還是便捷性上都明顯強于EEMD和TEO結合的方法。與基于MOMEDA和TEO結合的方法相比時，不可否認這兩種方法都具有較好的故障特征識別性能。然而，就便利性和實用性而言，基于B樣條插值的TEO提供了更好的選擇。此外，MOMEDA也會導致數據的丟失。因此，基于B樣條插值的TEO方法為電梯電機軸承故障診斷提供了一種新的思路。