“基本不等式”名稱的溯源和教材理解

關(guān)鍵詞：基本不等式；初高中銜接；對稱多項(xiàng)式；教材理解；知識邏輯

基本不等式是高中數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典內(nèi)容，其名稱的由來，眾說紛紜. 有人認(rèn)為，基本不等式在中學(xué)階段的應(yīng)用十分廣泛，可以作為不等式論的基本定理，成為支撐其他許多重要結(jié)果的基石；有人認(rèn)為，其他重要的常見不等式都能通過基本不等式得出；還有人認(rèn)為，基本不等式是形成很多重要的數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知基礎(chǔ)，貫通了代數(shù)和幾何等知識.

根據(jù)人教A 版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”），從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度對“基本不等式”名稱的由來進(jìn)行溯源，并對教材進(jìn)行理解.

一、讀節(jié)引言思背景

“基本不等式”是教材第二章“一元二次函數(shù)、方程和不等式”第2 節(jié)的內(nèi)容. 教材第二章的內(nèi)容是“初高中銜接”內(nèi)容中的知識銜接部分. 在教材第二章第1節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，其學(xué)習(xí)路徑類比了等式的性質(zhì)，即把等式的性質(zhì)作為不等式性質(zhì)學(xué)習(xí)的先行組織者，在整個(gè)過程中滲透了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般套路. 基本不等式的學(xué)習(xí)仍然遵循這樣的學(xué)習(xí)路徑.“初高中銜接”對于剛?cè)雽W(xué)的高一學(xué)生而言是一個(gè)難關(guān)，需要學(xué)生付出巨大努力才能跨越. 因此，教師在教學(xué)中必須為學(xué)生提供充足的學(xué)習(xí)時(shí)間，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).

在基本不等式的節(jié)引言中，教材給出了學(xué)習(xí)導(dǎo)引，具體節(jié)引言如下：“我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用. 那么，是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時(shí)有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來研究這個(gè)問題.”

在節(jié)引言中提到了乘法公式，初中階段的乘法公式主要是指完全平方公式 （a +b）2 =a2 +2ab +b2 和平方差公式 （a +b）（a -b） =a2 -b2. 從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來看，這兩個(gè)公式都是齊次的， 且完全平方公式還是對稱的，所以其數(shù)學(xué)意義更加特殊. 因此，基本不等式的教學(xué)應(yīng)該從完全平方公式的角度類比對應(yīng)的不等式完成.

由完全平方公式，得a2 +b2 = （a +b）2 -2ab. 這意味a2 +b2 是可以用a +b 和ab 來表示的. 事實(shí)上， a3 +b3也具有同樣的規(guī)律，即 a3 +b3 = （a +b）3 -3ab（a +b） . 其原理是高等數(shù)學(xué)中的對稱多項(xiàng)式（這里為二元形式的對稱多項(xiàng)式），即an +bn 都可以用a +b 和ab 來表示，高等數(shù)學(xué)中把a(bǔ) +b 和ab 這兩個(gè)二元對稱多項(xiàng)式叫作基本對稱多項(xiàng)式，且其他的對稱多項(xiàng)式都可以用基本對稱多項(xiàng)式來表示.

在教材第二章第1節(jié)中，通過趙爽弦圖得到了重要不等式a2 +b2 ≥2ab ，但是a2 +b2 不是基本對稱多項(xiàng)式，所以需要先考慮基本對稱多項(xiàng)式a +b 和ab 之間有怎樣的關(guān)系. a +b 是一次結(jié)構(gòu)， ab 是二次結(jié)構(gòu)，兩者的量綱不一致.

解決的策略有兩種：一種是將a +b 的一次結(jié)構(gòu)升為二次結(jié)構(gòu)，即將a +b 平方，此時(shí)的結(jié)論就是重要不等式；另一種是將ab 降為一次結(jié)構(gòu)，即對ab 進(jìn)行開方，變成一次結(jié)構(gòu)ab 的基本對稱多項(xiàng)式. 然后探究一次基本對稱多項(xiàng)式a +b 與ab 的大小關(guān)系.基于上述分析，基本不等式就是二元基本對稱多項(xiàng)式a +b 和ab 的算術(shù)平方根ab 之間的大小關(guān)系.

在教學(xué)過程中，教師要把上述基本不等式的研究路徑呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生體會從等式到不等式，雖然研究對象發(fā)生了變化，但是研究套路并沒有改變，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連貫性、一致性和整體性，發(fā)展了學(xué)生的代數(shù)思維. 整個(gè)研究過程注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，即讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).

綜上所述，教材中基本不等式的節(jié)引言為教學(xué)提供了一種學(xué)習(xí)情境. 不同于常見的生活情境，這種情境反映了研究對象的本質(zhì)屬性，是一種認(rèn)知情境.

【評析】從單元整體入手明確了研究對象（特殊不等式），構(gòu)建了新、舊知識之間的聯(lián)系，理解了新知識的作用（與之前學(xué)習(xí)的乘法公式一樣，具有數(shù)學(xué)模型的力量）.

二、定理證明教策略

教材采用分析法來研究a +b 和ab 的大小關(guān)系.采用分析判斷的方法是為了從方法論的角度來引導(dǎo)學(xué)生思考. 因?yàn)槟苡醚堇[法證明的命題一般都是很簡單的命題，難度較大的命題往往需要通過分析法獲得證明思路. 教材通過基本不等式的證明引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)分析法，掌握分析法的思想，提高了學(xué)生的代數(shù)推理能力.

基本不等式的證明體現(xiàn)了用分析法探路、用綜合法表達(dá)的特點(diǎn). 這種“執(zhí)果索因”“由因?qū)Ч钡姆椒ㄓ欣诎l(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 在教學(xué)中，教師應(yīng)該重視教材中的證明方法，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會并掌握規(guī)范的書寫格式.

【評析】以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生理解分析法的邏輯和書寫格式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

三、適用范圍有數(shù)學(xué)

在基本不等式的研究過程中，需要關(guān)注它的適用范圍. 從代數(shù)關(guān)系角度來講， a 和b 等于0 時(shí)不等式也是成立的，所以教師需要向?qū)W生解釋去掉a =0，b =0的原因.

數(shù)學(xué)的表達(dá)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的意義，且能反映其本質(zhì). 在研究的過程中，常常把那些顯然的意義去掉，這是數(shù)學(xué)表達(dá)的一個(gè)基本邏輯. 當(dāng)a，b 中有一個(gè)為0或者全部為0 時(shí)，不等式就變成了a ≥0 或b ≥0 或0≥0 ，這過于顯然，不需要深入研究. 在研究指數(shù)函數(shù)時(shí)，底數(shù)a ≠1也是同樣的道理，因?yàn)?x =1也是顯然的.

在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的基本邏輯去界定數(shù)學(xué)問題的研究范圍，要利用各種教學(xué)素材引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成學(xué)科意識.

四、幾何背景顯直觀

完成上述任務(wù)后，通過構(gòu)造幾何圖形來解釋基本不等式，為基于代數(shù)的理性推斷提供直觀感知，引導(dǎo)學(xué)生更好地理解基本不等式.

題目如圖1， AB 是圓的直徑，點(diǎn)C 是AB 上一點(diǎn)，AC =a，BC =b . 過點(diǎn)C 作垂直于AB 的弦DE ，連接AD，BD . 你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？

基本不等式不僅是一個(gè)抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，也有其幾何背景. 以形表數(shù)的方法可以化抽象為直觀.

【評析】讓學(xué)生自己尋求基本不等式的幾何解釋是非常困難的，因此需要教師先給出模型，引導(dǎo)學(xué)生從圖形的度量關(guān)系中獲得基本不等式. 教師重在引導(dǎo)學(xué)生觀察，通過尋求圖中哪些幾何元素的度量對應(yīng)基本不等式中的量，觀察幾何元素在變化中所表現(xiàn)出來的大小關(guān)系，從而獲得基本不等式的幾何解釋，體會數(shù)形結(jié)合思想.

五、例題引領(lǐng)促內(nèi)化

教材通過例1，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用剛剛學(xué)習(xí)的基本不等式，讓學(xué)生體會用基本不等式可以求一類互為倒數(shù)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)式和的最小值.

在該例題的解答過程中，教師需要先讓學(xué)生清楚什么是代數(shù)式的最小值（包含了最小值是一個(gè)值（函數(shù)值） 和最小值要比其他函數(shù)值都小兩個(gè)方面），教材以最簡單的結(jié)構(gòu)x +1x為載體將代數(shù)式的最小值解釋清楚.

從知識的邏輯關(guān)聯(lián)來看，這個(gè)內(nèi)容為函數(shù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊. 接下來，是要形成一個(gè)基本模型，教師帶領(lǐng)學(xué)生探究這類代數(shù)式（代數(shù)式中的兩個(gè)部分的乘積是一個(gè)常數(shù)） 的結(jié)構(gòu)，將這個(gè)簡單的問題抽象為數(shù)學(xué)模型，從而將問題自然過渡到例2 的第（1）小題中.

【評析】例1 中的不等式是一個(gè)具有模型意義的不等式，應(yīng)用非常廣泛. 例1的重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生明確基本不等式的使用條件和注意事項(xiàng)，學(xué)生剛開始接觸基本不等式，對其結(jié)構(gòu)特征不敏感，問題雖然看似簡單，但是解決起來還是會存在困難. 因此，教師需要在“最小值”的理解和基本不等式的使用方面引導(dǎo)學(xué)生，為學(xué)生提供求解代數(shù)式最值問題的示范

在由例1抽象出來的結(jié)論和例2第（1）小題的基礎(chǔ)上，研究其逆命題，得到例2 的第（2）小題. 這既是命題研究的一般路徑，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般套路.

【評析】在例1 的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步示范如何用基本不等式求最值，讓學(xué)生在獲得相關(guān)知識的同時(shí)，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，把基本不等式處理最值的問題當(dāng)作數(shù)學(xué)模型看待，從而提高學(xué)生的問題解決能力

與基本不等式相關(guān)的代數(shù)變形非常靈活，是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的好素材，教師可以配合一些練習(xí)，讓學(xué)生熟練應(yīng)用相關(guān)基本變形.

需要注意的是，教師要把握好基本不等式訓(xùn)練的“度”，不要急于把變式和變形技巧很強(qiáng)的問題扔給學(xué)生.“初高中銜接”階段的訓(xùn)練主要從代數(shù)角度進(jìn)行，與不等式的性質(zhì)相聯(lián)系，通過代數(shù)變換來解決有關(guān)問題. 涉及的題目應(yīng)該是用基本不等式就可以解決的.教材在例題和習(xí)題中給出了與基本不等式相關(guān)的主要變形，將這些問題處理好就足夠了.

初中與高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異主要體現(xiàn)在學(xué)習(xí)內(nèi)容的抽象程度方面，伴隨的是提高了邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性. 從認(rèn)知規(guī)律來看，數(shù)學(xué)概念和定理的形成一般是“興起于直覺，完成于邏輯”. 因此，“思想先行于邏輯，推理緊跟著直覺”，讓學(xué)生的思維有一個(gè)逐步走向嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程，這不僅符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，也與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展規(guī)律相吻合，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力可以拾級而上，從而逐漸學(xué)會學(xué)習(xí).

將課程內(nèi)容與學(xué)生已經(jīng)具備的知識經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，才能使學(xué)生在面對學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)產(chǎn)生有數(shù)學(xué)意義的心理過程. 在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生將思考、感受和行動融合起來，在克服困難、掌握知識、發(fā)展數(shù)學(xué)思維和提高數(shù)學(xué)能力的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而實(shí)現(xiàn)教材安排“預(yù)備知識”的價(jià)值.

六、結(jié)束語

在當(dāng)下的課堂教學(xué)中，大多數(shù)教師將重點(diǎn)放在“一正，二定，三相等”上，進(jìn)行大量的題型訓(xùn)練，帶來的后果就是把“基本不等式”教成了“基本不懂式”.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該注重對基本不等式背景的揭示和證明，提高學(xué)生的代數(shù)推理能力，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維，為學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)作準(zhǔn)備，而不是只讓學(xué)生用基本不等式解題.