教學(xué)即“講理”：一致性理解的“培根”行動

江曉麗

［摘 要］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》頒布以后，數(shù)與運算的一致性成了熱議的話題。引導(dǎo)學(xué)生形成對數(shù)的概念的一致性理解是基礎(chǔ)，而溝通聯(lián)系則是達成對數(shù)的意義和運算一致性理解的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師應(yīng)緊扣計數(shù)單位，幫助學(xué)生形成對數(shù)的意義的一致性理解。同時，通過對數(shù)的意義進行深入探究，學(xué)生能夠形成對數(shù)的運算的一致性理解和結(jié)構(gòu)化認識。此外，通過對問題情境的思辨，學(xué)生能夠領(lǐng)悟多元情境背后數(shù)量關(guān)系的一致性。

［關(guān)鍵詞］一致性；計數(shù)單位；數(shù)的意義；結(jié)構(gòu)化認識；模型意識

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）02-0011-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出：“數(shù)與運算”包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的認識及其四則運算。數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)的運算重點在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運算之間有密切的關(guān)聯(lián)。學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過程，理解和掌握數(shù)的概念；經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法；初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識。

為什么《課程標準》如此強調(diào)“一致性”呢？這是因為在教學(xué)中出現(xiàn)了很多“前后不一致”的事情。以數(shù)的運算教學(xué)為例，一些教師會教學(xué)生按照一套程序化的步驟操作，然后在大量的甚至是每日必做的重復(fù)訓(xùn)練中讓學(xué)生去將這套程序熟練到“自動化”。這套程序是什么呢？在教學(xué)整數(shù)加減法時讓學(xué)生記住要“末位對齊”，到了小數(shù)加減法時又變成了要“小數(shù)點對齊”，再到整數(shù)和小數(shù)乘法時又要“末位對齊”，到了分數(shù)乘法時又要“分子乘分子，分母乘分母” ……今天學(xué)習(xí)這個內(nèi)容方法是這樣的，明天學(xué)習(xí)另一個內(nèi)容方法又不一樣了。運算教學(xué)就這樣一個一個例題散點教、一道道習(xí)題重復(fù)做。這種斷裂式的、碎片化的學(xué)習(xí)樣態(tài)，給數(shù)學(xué)運算蒙上了一層變幻莫測的面紗，給學(xué)生留下了機械、乏味的體驗，阻礙了學(xué)生對數(shù)學(xué)運算甚至是數(shù)學(xué)學(xué)科的理解和親近。

郭華教授在《教學(xué)的模樣》一書中指出：“教學(xué)論史上探索的一條清楚的線索就是：從夸美紐斯時代關(guān)注外在知識如何被學(xué)生所掌握的外在形式的探索，逐漸轉(zhuǎn)向探索教學(xué)認識的內(nèi)在機制，即如何才能使學(xué)生理解和掌握知識的內(nèi)在原理、本質(zhì)聯(lián)系，強調(diào)以科學(xué)的、人性的、多樣而開放的方式展開教學(xué)活動，即以‘講理的方式來講‘理。”如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜多變的“法”走向一脈相承的“理”，筆者進行了深入探討。

一、意義理解：從“外形各異”到“內(nèi)在一致”

“數(shù)的意義是數(shù)的運算的基礎(chǔ)，數(shù)的運算是對數(shù)的意義的再認識。”小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從整數(shù)開始，然后逐漸引入小數(shù)和分數(shù)的概念，這些不同的數(shù)在表示方式上存在差異。小數(shù)使用小數(shù)點，而分數(shù)由分子、分母和分數(shù)線三部分組成，它們與整數(shù)的表示方式有很大的不同。如何幫助學(xué)生從“外形各異”的數(shù)形態(tài)走向“內(nèi)在一致”的理解是一個重要的教學(xué)任務(wù)。教師在教學(xué)不同數(shù)的意義的過程中，可以通過數(shù)形結(jié)合、邏輯推理等方式來幫助學(xué)生理解“每一個數(shù)都是由若干個計數(shù)單位累加而成”這個本質(zhì)。

（一）緊扣單位：掌握整數(shù)計數(shù)方法

在教學(xué)一年級“認識11到20”時，可以用動畫的形式引入一段數(shù)學(xué)史，向?qū)W生介紹數(shù)字的起源和發(fā)展，并告訴學(xué)生，由于人們在生活中需要計數(shù)，所以發(fā)明了“滿十進一”，從而出現(xiàn)了數(shù)字10，從此數(shù)字由“逐一計數(shù)”走向了“按群計數(shù)”；同時借助捆小棒和計數(shù)器介紹了11的組成（如圖1），即“1個十和1個一合起來是11”。學(xué)生通過看、讀和寫，第一次感受到數(shù)是由“個數(shù)+計數(shù)單位”共同構(gòu)成的。

教學(xué)二年級下冊“萬以內(nèi)數(shù)的認識”時，可以借助幾何直觀和邏輯推理幫助學(xué)生進一步感受到“整數(shù)相鄰計數(shù)單位的進率是10”這一“十進位值制”的基本特征。教學(xué)四年級上冊“大數(shù)的認識”時，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過“萬以內(nèi)數(shù)的認識”的經(jīng)驗，通過自主推理，從“個級”推導(dǎo)出“萬級”“億級”的各個數(shù)位和相應(yīng)的計數(shù)單位。這樣的教學(xué)過程可以幫助學(xué)生建立起整數(shù)數(shù)位的概念，學(xué)生能夠初步理解一個整數(shù)是由若干個計數(shù)單位累加而成的。在實際教學(xué)中，一些學(xué)生可能會自主推理出“如果從一開始繼續(xù)往下細分，就會出現(xiàn)小數(shù)”，由此自主建構(gòu)出聯(lián)通整數(shù)和小數(shù)的數(shù)位順序表。

（二）自主遷移：理解計數(shù)方法的一致性

在三年級開始學(xué)習(xí)分數(shù)時，無論是從書寫形式還是意義上，很多學(xué)生都會感覺分數(shù)與整數(shù)相比有很大的差異，且很難感受到分數(shù)的計數(shù)單位，其中有兩個主要原因。

首先，中文翻譯對于分數(shù)的表達可能沒有英文表達方式那么直觀和清晰。比如，中文表達的“五分之二”與英文表達的“two fifths”相比，有一定的差異。為了幫助學(xué)生更深刻地理解分數(shù)的意義，可以在教學(xué)中引入圖形直觀化的方法，同時主動介紹分數(shù)的英文表示方法。這樣可以幫助學(xué)生深入理解每一個分數(shù)都是由若干個分數(shù)單位累加而成，從而體會到整數(shù)和分數(shù)計數(shù)方法的一致性。

如何幫助學(xué)生清晰地感受到整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)在計數(shù)方法上的一致性呢？筆者引入了數(shù)軸：如圖2所示，下面直線上的點各表示什么數(shù)？在括號里寫上適當?shù)臄?shù)（上面的括號寫小數(shù)）。

而成；2可以理解為由2個一累加而成。學(xué)生在交流中對數(shù)的意義的認識達成了統(tǒng)一：不管是整數(shù)、分數(shù)，還是小數(shù)，都要看0到這個點之間有多少個計數(shù)單位。

二、法理融通：從“方法各異”到“本質(zhì)求同”

形成數(shù)的概念基于計數(shù)單位的一致性理解后，在整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的加減法運算中，學(xué)生就能比較容易體會到“整數(shù)加減法中相同數(shù)位對齊”“小數(shù)加減法中小數(shù)點對齊”“異分母分數(shù)加減法要先轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)再相加減”這些看似不同方法背后的“相同計數(shù)單位相加減”的原理。但在進入分數(shù)乘法時，外在形式的“分子與分子相乘的積作分子，分母與分母相乘的積作分母”與計數(shù)單位似乎不那么容易建立起聯(lián)系了。教學(xué)中需要教師有意識地溝通聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在類比中形成一致性理解。

下面以“分數(shù)與整數(shù)相乘”為例，介紹如何有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過橫向關(guān)聯(lián)，在不同方法的對比中發(fā)現(xiàn)分數(shù)與整數(shù)相乘運算的本質(zhì)；通過縱向銜接，從整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)運算的共性中感受乘法運算的本質(zhì)。

（一）橫向關(guān)聯(lián)，感受不同方法背后的道理一致

小研究和學(xué)習(xí)單上常常會出現(xiàn)“你能用不同方法解決嗎？”這樣的問題，旨在促進學(xué)生“求異”，即追求方法的“多元”。 而“每一個學(xué)生都渴望自己成為知識的發(fā)現(xiàn)者”，因此學(xué)生會努力探索出幾種方法，并愿意與小組或全班分享自己與眾不同的方法。在這種交流過程中，學(xué)生通常更關(guān)注方法的多樣性，而不太關(guān)注不同方法背后的聯(lián)系。在教學(xué)中，教師需要適時地叫停、聚焦和放大，引導(dǎo)學(xué)生的思維和表達逐步清晰、精準，幫助他們透過形式去感悟本質(zhì)。當學(xué)生分享不同的解決方法時，教師可以提出一些問題，引導(dǎo)學(xué)生思考方法之間的聯(lián)系和共性。

學(xué)生在得出方法后，很少會主動思考這幾種方法之間是否有聯(lián)系。此時，教師可追問：“這幾種方法看起來都不太一樣，有沒有什么聯(lián)系呢？”用“聯(lián)系”的眼光重新審視這幾種方法后，學(xué)生給出了新的解讀：

“它們都用了轉(zhuǎn)化的策略，把這道乘法題轉(zhuǎn)化成我們以前所學(xué)過的方法。比如把乘法轉(zhuǎn)化成加法，把分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)。”

（二）縱向銜接：領(lǐng)會不同學(xué)段背后的目標一致

教師肯定學(xué)生善于觀察和比較后，追問：“題目雖然不同，但都是先算3×3=9，這是為什么？”隨著學(xué)生的回答，教師出示圖4-2：“不論是整數(shù)乘法、小數(shù)乘法還是分數(shù)乘法，都是在算有多少個計數(shù)單位。”

通過縱向銜接，學(xué)生在回顧和比較中發(fā)現(xiàn)不同學(xué)段學(xué)習(xí)的乘法運算本質(zhì)上的一致性，即都是在求“有多少個計數(shù)單位”，從而形成結(jié)構(gòu)化認知。

三、關(guān)系領(lǐng)悟：從“情境多元”到“關(guān)系一致”

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域在小學(xué)階段包括“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個主題。關(guān)于“數(shù)量關(guān)系”，《課程標準》指出，要讓“學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義”。因此，教師要創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，促進學(xué)生在比較、思辨中領(lǐng)悟多元情境背后數(shù)量關(guān)系的一致性，體會模型的統(tǒng)攝價值。

（一）萬物皆可：在思辨中回歸意義的深度理解

【教學(xué)片段3】教師舍去了常規(guī)的運算練習(xí)，設(shè)計了一組由三道判斷題和一道開放題組成的解決問題練習(xí)：

經(jīng)過一段時間的思考后，學(xué)生給出了如下解答：

一個開放的問題情境，一個開放的對話場域，就能帶來精彩的思維碰撞。一句“萬物皆可用這個式子來表達”，充分表現(xiàn)出學(xué)生對于不同問題情境中乘法意義的深刻理解。

（二）變與不變：在比較中體會模型的統(tǒng)攝價值

【教學(xué)片段4】對于“總量=分量+分量”這一加法數(shù)量關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多個“合并型”情境。為了幫助學(xué)生體會這個數(shù)量關(guān)系的更多外延，感受到“模型”的普適性，教師設(shè)計了一道開放性練習(xí)（如圖6）。

在全班交流時，“選擇①和⑥，35+4=39（人）”的答案很快被認可。對于“選擇②和④，10×3+9=39（人）”，有學(xué)生質(zhì)疑：“這是一個乘法和加法的混合運算，能填進空格里嗎？”很快，學(xué)生明白了等式左邊的乘法運算表示“前三組的人數(shù)”，也可以看成一個分量填在空格里。在此基礎(chǔ)上，有學(xué)生提出了“那還有別的可能，比如可以選擇③和⑤，但還需要補充一些條件，因為三（1）班的同學(xué)除了參加舞蹈組和體育組，還有可能參加了別的興趣小組。”至此，學(xué)生關(guān)于分量的認識，從外在形式的“兩個”走向了本質(zhì)理解的“多個”。在交流中，學(xué)生還自主補充了知識點“多個分量之間要做到‘不重不漏，才能合成總量”。

在這樣一個為總量“三（1）班有多少人？”尋找分量的開放性情境中，學(xué)生實現(xiàn)了對乘加法的再度理解，以及對各分量不重不漏的“總分關(guān)系”的嚴謹認識。學(xué)生對于加法模型的認識逐漸飽滿，并體會到加法模型的統(tǒng)攝價值，震撼于數(shù)學(xué)表達的變與不變。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 伍鴻熙.數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2016.

[2] 郭華.教學(xué)的模樣［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022.

[3] 鄧蕓蕓.建構(gòu)系統(tǒng)認識，感悟數(shù)概念的一致性：“數(shù)的認識總復(fù)習(xí)”教學(xué)實踐與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（10）：69-72.