光子帶隙光纖背向散射次波建模及實驗驗證

王曉陽， 滕飛*， 徐小斌， 王琪偉， 周曉娜， 田亞男，馬官營， 李勇

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術重點實驗室，北京 100190；3.北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京 100191）

1 引 言

光子帶隙效應是利用光子晶體結構限制特定光波長傳輸的一種現象，在光傳輸、光纖色散補償和激光器等多個領域有著重要應用［1-2］。光子帶隙光纖是基于光子帶隙效應的一種新型微結構光纖。光子帶隙光纖導光機理不同于傳統光纖，光可以在空氣纖芯中傳播。由于空氣對溫度、磁場和輻射等環境的敏感性遠低于SiO2材料［3-5］，因此光子帶隙光纖天然具有溫度敏感性低、抗磁場干擾和抗輻射等優勢。光子帶隙光纖陀螺采用光子帶隙光纖繞制的光纖環，可以從根本上解決光纖陀螺的環境適應性問題。但光子帶隙光纖的引入會導致光纖陀螺背向散射次波強度增加，進而引起額外的非互易誤差。

為了抑制光子帶隙光纖背向散射次波，需要對背向散射次波的產生機理進行分析和建模。傳統光纖背向散射次波的主要來源是瑞利散射［6］。對于光子帶隙光纖而言，光在空氣中傳播，因此瑞利散射影響較小。但光子帶隙光纖纖芯內壁表面形貌起伏較大，由此引起的波導散射才是產生背向散射次波的主要原因［7］。目前有三種理論可以分析光子帶隙光纖背向散射次波：體積電流法、耦合模理論和電偶極子輻射理論。

體積電流法需要對光纖端面結構求解格林函數。由于光子帶隙光纖端面結構較為復雜，因此求解過程非常困難［8］；2009年，斯坦福大學Dangui V.等人利用耦合模理論對光子帶隙光纖背向散射次波進行建模。耦合模理論認為光子帶隙光纖纖芯內壁粗糙度使光纖內傳輸的各個模式之間發生耦合，模式耦合主要發生在基模與其他模式之間。模式可以分為前向傳播模式和后向傳播模式，通過計算基模耦合到后向傳播模式的能量得到背向散射次波強度為1.5×10-9/mm，與實際測量結果1.5×10-9/mm一致［9］。但是該方法至少需要計算上百個模式，計算過程較為復雜且耗時較長，對計算機性能要求高［10］；2012年，Fokoua E. N.等人利用電偶極子輻射理論建立了光子帶隙光纖散射損耗模型［7，11］。該模型認為在輸入光場的作用下，光子帶隙光纖粗糙的纖芯內壁形成的凹凸面會產生正負誘導電荷，一對正負電荷可以看成電偶極子。根據電偶極子輻射理論，電偶極子向各個方向輻射能量，設角度?為能量輻射方向與光傳輸方向之間的夾角，不同角度?（0≤?≤π）的散射能量與纖芯內壁表面形貌空間頻率有關，低頻表面形貌在?角較小的方向上產生散射能量，高頻表面形貌則在?角較大的方向輻射能量，將各個角度的輻射能量進行積分可以得到光纖損耗。電偶極子輻射理論建立了光子帶隙光纖損耗與纖芯內壁電場強度分布和表面形貌空間頻率之間的關系。電偶極子輻射理論同樣可以用于分析背向散射次波，且相較于體積電流法和耦合模理論更為簡單，但目前并沒有相關的研究報道。

本文基于電偶極子輻射理論建立了一種簡單的光子帶隙光纖背向散射次波理論模型。為了驗證模型的正確性，以NKT公司的HC-1550-02型光子帶隙光纖為研究對象，通過聚焦離子束微納加工法制備了纖芯內壁暴露的光子帶隙光纖樣品，并采用原子力顯微鏡測量得到了纖芯內壁表面形貌功率譜密度，將得到的功率譜密度代入背向散射次波模型，得到HC-1550-02型光子帶隙光纖背向散射系數理論值為2.61×10-9/mm。采用背向反射散射儀測量得到光子帶隙光纖的背向散射系數為~1.82×10-9/mm，與理論值誤差為~7.9×10-10/mm，初步驗證了背向散射次波模型的正確性，為光子帶隙光纖背向散射次波抑制技術研究奠定了基礎。

2 光子帶隙光纖背向散射次波建模

2.1 電偶極子輻射理論

典型的電偶極子物理模型如圖1所示，電偶極子是由一對正負點電荷+q和-q組成，設兩個點電荷之間的距離為l，方向由-q指向+q，兩個點電荷的中點設為原點O，場點P為待求點，P點在球坐標系下的坐標為(r，θ，?)，電偶極矩為可以表示為：

圖1 電偶極子物理模型圖Fig.1 Diagram of physical model of electric dipole

此時可以得到電偶極子在任意一點P的輻射電場表達式為［12］：

其中：er代表從原點到任意一點P(r，θ，?)的單位向量，k為波矢，μ和ε分別是介質中的磁導率和介電常數。

2.2 基于電偶極子輻射理論的背向散射次波模型

光子帶隙光纖端面結構如圖2（a）所示，利用包層中SiO2材料和空氣孔的周期性排列構成的光子晶體結構產生光子帶隙效應，從而限制特定波長的光在空氣纖芯中傳輸［13-14］。受光纖拉制過程中高溫環境的影響，纖芯內壁表層分子的分子熱運動會激發出表面毛細波。隨著光纖溫度的冷卻，表面毛細波固化從而在纖芯內壁形成具有一定粗糙度的表面。通過圖2（b）基模電場能量分布可以看出光不完全在纖芯中傳輸，部分能量場與纖芯內壁有交疊。交疊區的能量與纖芯內壁粗糙的表面相互作用會產生散射次波，如圖3所示，按傳播方向劃分，向四周散射的光稱為周向散射次波，與輸入光波方向相反的光稱為背向散射次波。

圖2 光子帶隙光纖Fig.2 Photonic bandgap fiber

圖3 散射次波產生示意圖Fig.3 Diagram of generation of scattering secondary wave

根據電偶極子輻射理論，纖芯內壁表面粗糙度引起的高低起伏可以近似看成凸起或凹陷的微球。當粗糙度遠小于傳輸波長時，在入射光場的作用下，微球受激產生電荷。設凸起的微球帶正電荷，凹陷的微球帶負電荷，正負電荷形成一對電偶極子，電偶極子向遠場輻射能量，從而產生散射次波。散射次波能量的積分即為散射損耗。

論文將光子帶隙光纖背向散射次波強度定義為輻射角度與主波傳輸方向相反，且在光子帶隙接收角內的所有散射光能量的積分。根據此定義可以推導出背向散射系數理論表達式，從而建立背向散射次波理論模型。從圖4可以看出，光子帶隙接收角，即背向散射次波與主波的夾角?的取值范圍為π-arcsinNA≤?≤π，NA是光子帶隙光纖數值孔徑。

圖4 光子帶隙接收角Fig.4 Photonic bandgap acceptance angle

根據電偶極子模型推導出散射次波在角度?上輻射光功率P（?）表達式［8］為：

其中：L為光纖長度，c為真空中的光速，n為基模折射率，ε0為介電常數，k為波矢，α0為極化率，以上參數均為常數項。E（θ）與纖芯內壁電場強度分布有關，可以根據HC-1550-02型光子帶隙光纖結構參數［15］，通過平面波展開法［16］或有限元分析法［17］建立光子帶隙光纖模型，進而對纖芯內壁電場強度進行仿真求解。Sz（κ）是沿光纖軸向的表面形貌功率譜密度，z代表光纖軸向，κ為空間頻率，代表單位長度上表面形貌變化周期個數。根據式（3）對光子帶隙接收角內的光能量進行積分得到光子帶隙光纖背向散射系數αsc表達式如式（4）所示：

其中：P0為輸入光強，在光子帶隙光纖模型中，表面形貌功率譜密度Sz（κ）的求取至關重要。

根據表面毛細波理論［18-19］，表面形貌功率譜密度可以表示為：

其中：kB為玻爾茲曼常數，W為纖芯周長，κ為空間頻率。散射次波的輻射角度?受空間頻率κ的影響，兩者之間的關系式為κ=β-k0cos?［8］。根據光子帶隙光纖數值孔徑，背向散射次波與主波夾角?的取值范圍是2.94≤?≤3.14，從而得到影響背向散射次波的空間頻率范圍是8 μm-1≤κ≤8.08 μm-1。

式（5）中Tg是玻璃轉化溫度，γ是表面張力，Tg和γ都是與光纖材料特性有關的參數。純SiO2材料的Tg和γ的典型值分別是~1 500 K和0.3 Jm-2［20-21］。但不同的拉制工藝會對Tg和γ產生影響，尤其對表面張力γ的影響更大。Roberts P.J.通過原子力顯微鏡測試了直徑3 μm的包層孔表面形貌，得到了包層孔的功率譜密度，進而得到表面張力γ為1 Jm-2，與純SiO2材料差異較大［18］。Phan-Huy M. C.等人測試得到表面張力γ為0.3 Jm-2［22］，與純SiO2材料較為接近。為了對HC-1550-02型光子帶隙光纖進行準確建模，需要精確測量纖芯內壁表面形貌功率譜密度，以得到準確的表面張力γ。

2.3 纖芯內壁表面形貌功率譜密度測量

為了測試纖芯內壁表面形貌，首先需要制備纖芯內壁暴露的光纖樣品。由于HC-1550-02型光子帶隙光纖直徑（~120 μm）和纖芯直徑（~12 μm）較小，對操作精度要求高。另外纖芯孔壁很薄（~100 nm），并且材料質地較脆，操作過程中很容易破碎。因此常規的切割方式不可行，為此需要對纖芯內壁暴露的光纖樣品制備方法進行研究。

現有的制備方法有壓碎法［18］、研磨法［22］和熱膨脹法［23］。壓碎法將光子帶隙光纖壓成碎片，碎片中包含破碎的包層孔和纖芯孔，由于包層孔和纖芯孔的直徑不同，因此可以通過顯微鏡測量每一個碎片的直徑，進而得到纖芯孔碎片；研磨法將光子帶隙光纖彎曲，然后在研磨臺上研磨光纖外側，直到纖芯內壁暴露，再通過原子力顯微鏡測試纖芯內壁表面形貌；熱膨脹法將光子帶隙光纖用硬性環氧樹脂膠包裹，沿光纖軸向挖個槽，在槽內放入金屬棒并貼緊光纖。隨后整體在液氮中放置一段時間，然后迅速取出放置在室溫中。依靠金屬棒和膠的熱膨脹系數不同使光纖上產生應力，導致光子帶隙光纖沿槽的方向斷裂，從而得到纖芯內壁暴露的光子帶隙光纖樣品。

由于壓碎法和研磨法會產生玻璃碎屑，碎屑吸附在纖芯內壁表面難以清洗，嚴重影響后續表面形貌測試。而熱膨脹法雖然能保證纖芯內壁不被污染，但是光纖太細，挖槽和放置金屬棒過程對操作精度要求太高。為了簡化樣品制備方法，提高制樣精度，論文首次采用了聚焦離子束微納加工法制備纖芯內壁暴露的光子帶隙光纖樣品。該方法將高能量離子束照射到材料表面，高能離子束通過逐層去除原子的方式切割樣品，加工精度可以達到納米級。

聚焦離子束切割區域如圖5（a）所示，從光纖側面進行切割，切掉一半使纖芯內壁充分暴露出來。切割后的電鏡俯視照片如圖5（b）所示，可以看出在100 μm長的區域內，纖芯內壁完整暴露出來，最終得到了表面平整無明顯污染的光子帶隙光纖樣品。

圖5 聚焦離子束加工法Fig.5 Focused ion beam processing technique

利用原子力顯微鏡對切割后的光子帶隙光纖樣品表面形貌進行測量，測量位置如圖6所示。

圖6 原子力顯微鏡測量位置Fig.6 Measuring position of AFM

測量范圍為3 μm×0.6 μm的矩形區域，測量得到光子帶隙光纖纖芯內壁二維表面形貌如圖7所示（彩圖見期刊電子版）。不同顏色代表高度不同，高度單位是nm，X方向為光纖軸向，Y方向為光纖橫向。

圖7 光子帶隙光纖纖芯內壁二維表面形貌圖Fig.7 Two-dimensional surface topography of inner wall of photonic bandgap fiber core

根據電偶極子輻射理論，只考慮光纖軸向的表面形貌高度變化對背向散射次波的影響。按圖8（a）紅線進行采樣，得到一維表面形貌高度變化曲線如圖8（b）所示（彩圖見期刊電子版）。

圖8 一維表面形貌Fig.8 One-dimensional surface topography

得到一維表面形貌高度變化曲線后，利用周期圖法計算表面形貌功率譜密度［24］，離散的表面形貌功率譜密度計算公式為［25］：

其中：N代表圖8（b）曲線上采樣點序號，Z（n）代表第n個采樣點的高度，Δx為采樣點間隔，采樣長度可以表示為L=NΔx。m為空間頻率點序號，根據傅里葉變換的對稱性，只需要計算半邊的功率譜密度，因此0≤m≤N/2。m和離散化的空間頻率κm是一一對應的，且κm=m/（NΔx）。

根據式（6）計算一維表面形貌功率譜密度，得到功率譜密度隨空間頻率的變化如圖9（a）所示，X軸為空間頻率，Y坐標為功率譜密度。為了提高估計值的一致性，沿光纖橫向選取多條采樣線，對每一條采樣線分別計算功率譜密度，并對同一空間頻率處的功率譜密度進行算術平均，得到圖9（b）平均后的表面形貌功率譜密度。灰色線為每一條采樣線得到的表面形貌功率譜密度，黑色線為平均后的表面形貌功率譜密度。

圖9 功率譜密度Fig.9 Power spectral density

利用式（5）表面形貌功率譜密度模型對多次采樣平均后的功率譜密度進行最小二乘法擬合，擬合結果如圖10所示。可以看出實際測試曲線與理論模型趨勢一致，根據擬合結果得到HC-1550-02型光子帶隙光纖表面張力γ實測值為~0.17 Jm-2。

圖10 表面形貌功率譜密度擬合結果Fig.10 Fitting results of surface topography power spectral density

將得到的纖芯內壁表面形貌功率譜密度代入式（4）背向散射次波模型中，計算得到背向散射系數理論值為2.61×10-9/mm。

3 背向散射系數實驗驗證

為了驗證背向散射次波模型的正確性，本節測量了HC-1550-02型光子帶隙光纖的背向散射系數。目前光子帶隙光纖背向散射系數測量方法有光時域反射技術、光學低相干反射技術和光頻域反射技術。

由于光時域反射技術探測靈敏度只有-65 dB，但光子帶隙光纖背向散射系數一般小于-80 dB/mm［26］，因此光時域反射技術無法滿足光子帶隙光纖的測量需求；光學低相干反射技術雖然靈敏度高達-152 dB，但測量長度只有幾十厘米且系統復雜，應用領域有限，因此沒有合適的商用產品；光頻域反射技術靈敏度達到-130 dB，可以滿足光子帶隙光纖測試需求，且有成熟的商用化產品，如光頻域背向反射散射儀。本文采用光頻域背向反射散射儀測量光子帶隙光纖的背向散射系數。

背向散射系數測量原理如圖11所示，將光子帶隙光纖熔接到光纖跳線上，跳線的光纖類型是SMF-28e傳統單模光纖。光纖跳線連接光頻域背向反射散射儀。由于光頻域背向反射散射儀動態范圍小，若熔點產生的背向反射次波太強，會導致探測器飽和，因此需要通過熔點斜切的方式來抑制背向反射次波光強。光子帶隙光纖與傳統光纖熔接會產生額外的光纖損耗，因此實驗后需要對熔點損耗進行測試，根據熔點損耗對PBF段背向散射次波強度進行補償。另外，為了抑制跳線連接點處產生的背向反射次波，實驗裝置選用了斜頭跳線。

圖11 背向散射系數測量原理圖Fig.11 Diagram of backscattering coefficient measurement

圖12為測量得到的光子帶隙光纖背向散射次波強度。橫坐標為背向散射次波產生的位置，縱坐標為光纖的背向散射次波強度，單位為dB/mm，代表1 mm長度內背向散射次波產生的總光強與入射光強的比值。圖12中的PBF測量區域已經根據熔點損耗進行了強度補償。從測量結果可以看出背向散射次波強度沿光纖軸向波動較大，取測量平均值~-87.4 dB/mm作為背向散射次波強度的典型值，換算得到背向散射系數為~1.82×10-9/mm。可以看出測試結果與文獻［9］（1.5×10-9/mm）存在一定差異，其原因可能是光纖的批次性問題。背向散射系數實測值（~1.82×10-9/mm）與理論值（2.61×10-9/mm）之間誤差為~7.9×10-10/mm，初步驗證了背向散射次波模型的正確性。

圖12 背向散射系數測量結果Fig.12 Measurement results of backscattering coefficient

4 結 論

本文基于電偶極子輻射理論建立了一種簡單的光子帶隙光纖背向散射次波理論模型。為了精確測量纖芯內壁表面形貌功率譜密度，首次采用了聚焦離子束微納加工法制備纖芯內壁暴露的光子帶隙光纖樣品，并通過原子力顯微鏡得到準確的纖芯內壁表面形貌功率譜密度。根據背向散射次波模型計算得到HC-1550-02型光子帶隙光纖背向散射系數理論值為2.61×10-9/mm。為了驗證背向散射次波模型的正確性，利用光頻域背向反射散射儀測量HC-1550-02型光子帶隙光纖的背向散射系數。實驗結果表明，背向散射系數實測值為~1.82×10-9/mm，與理論值誤差為~7.9×10-10/mm，初步驗證了背向散射次波模型的正確性。實測值與理論值仍然存在一定的誤差，其原因可能是纖芯內壁暴露的光纖樣品制備后需要轉移到原子力顯微鏡下進行測試，轉移過程無法保證光纖樣品處于潔凈環境，不可避免地會受到空氣塵埃影響，導致功率譜密度測試結果增大，最終引起理論計算結果增大。