深溝球軸承中球的自轉規律研究

于拂曉 王燕霜* 張書玉 王高峰 栗文彬

（1.齊魯工業大學（山東省科學院），濟南 250353；2.山東博特軸承有限公司，聊城 252600；3.洛陽軸研科技有限公司，洛陽 471039；4.煙臺天成機械有限公司，煙臺 264006）

航空軸承大多應用在高載、高速、高溫等復雜的工況條件下，因此對其使用壽命和可靠性有著極高的要求[1]。航空軸承中最常見的軸承類型之一為深溝球軸承。球軸承中球的運動規律決定了軸承的動態特性和壽命。

張占立等建立了高速圓柱滾子軸承非線性動力學分析數學模型,并采用Newton-Raphson 法對該模型進行求解，得出滾子與套圈滾道間最小油膜厚度和接觸載荷分布對軸承滾子自轉角速度的影響[2]。趙彥玲等基于Hertz 接觸理論、非線性阻尼理論和Coulomb摩擦定律，提出了一種考慮微觀變形的接觸動力學模型，建立了觸頭與滾子之間的運動學微分方程，得到滾子不同速度的變化規律[3]。賈永川等基于滾動軸承動力學理論，建立了圓柱滾子軸承啟動階段的動力學分析模型及非線性動力學微分方程，分析了內圈角加速度對滾動體打滑特性的影響[4]。商慧玲等針對雙列圓錐滾子軸承建立（5+3n）自由度擬動力學模型，利用Python 語言求解，得到軸承各滾動單元角速度和內外圈接觸面相對滑動速度的分布[5]。GUO 等在考慮彈性流體動力潤滑和滾子與滾道之間的接觸彈性、滾子離心力、保持架兜孔處的流體動力潤滑以及摩擦力的條件下，建立了組合模型，計算保持架和圓柱滾子軸承的滾子自轉角速度[6]。雖然對軸承運動規律研究有很多，但是對深溝球軸承中球的自轉規律的研究很少。

針對上述問題，本文以航空發動機高低壓轉子系統中的深溝球軸承為例，提出了一種研究深溝球軸承中球自轉規律的方法，分析了徑向載荷和轉速的改變對球自轉角速度的影響規律和原因。

1 高低壓轉子系統中深溝球軸承接觸載荷分析

高低壓轉子系統內軸承的分布如圖1 所示，Fr為外加載荷。圖1 中軸承A 和軸承B 為高壓轉子的支承軸承，軸承C 和軸承D 為低壓轉子的支承軸承，這4 個軸承均為深溝球軸承，FA、FB、FZ、FD分別為這4 個軸承所承受的載荷，ng、nd為轉子轉速。

圖1 高低壓轉子系統

軸承在高速運轉時，因徑向力的作用，鋼球和內圈之間會產生彈性變形。而鋼球和外圈之間的彈性變形是在徑向力和離心力聯合作用下產生的。

軸承內各個鋼球的分布示意圖如圖2 所示。

圖2 滾動體的位置

軸承在動態載荷下的分布示意圖如圖3 所示。圖3中Fd為軸承的徑向載荷，?為內圈在沿徑向載荷作用方向相對于外圈的位移量。

圖3 軸承的載荷分布

鋼球和外滾道之間相互作用力的計算公式為

式中：Qej為鋼球和外滾道之間的相互作用力；Qij為鋼球和內滾道之間的相互作用力；mb為鋼球質量；ωc為保持架角速度；Dm為節圓直徑。

軸承在工作時鋼球和內外套圈滾道之間會形成彈性油膜[7]，油膜厚度的計算公式為

式中：h為油膜厚度；α為潤滑油的黏度壓力指數；η為潤滑油在常壓下的動力黏度；u為接觸點兩表面相對平均滾動速度；Rx為接觸點處的當量曲率半徑；Q為鋼球所承受的載荷；E0為當量彈性模量；e為自然對數的底；k為橢圓率。

軸承在工作時，當承載徑向力為Fr，其內圈相對于外圈的位移量為?，計算公式為

式中：δmax為0 號鋼球的彈性變形量；ur為軸承的徑向游隙；hi0為0 號鋼球與內圈滾道之間的油膜厚度；he0為0 號鋼球與外圈滾道之間的油膜厚度。

在j號鋼球位置處的位移量為?j，?與?j之間的關系為

式中：ψj為鋼球的方位角，其計算公式為

式中：z為鋼球數量。

?j的計算公式為

式中：δj為滾動體與滾道的總接觸變形量；hij為鋼球與內圈滾道之間的油膜厚度；hej為鋼球與外圈滾道之間的油膜厚度。

滾動體剛度計算公式為

式中：Kn為滾動體剛度；nδ為與接觸點主曲率差函數有關的系數；Σρ為接觸點的主曲率和。

通過以上分析，結合式（1）～式（7）可得

式中：Fm為鋼球的離心力；j=1,2,3,…,N；Qi0為標號為0 的鋼球所受的載荷。

根據圖3，軸承內圈在徑向方向的力平衡方程為

式（8）和式（9）組成了一個關于未知數Qi0,Qi1,Qi2,…,QiN的非線性方程組，共有N+1 個未知數，方程的個數也為N+1 個。運用Newton-Raphson 法對方程組進行求解，進而可得到軸承的載荷分布。

2 高低壓轉子系統中深溝球軸承中球的運動分析

高壓轉子軸承在工作時，一般外圈固定，內圈的角速度為ωi，保持架以ωc的角速度進行旋轉，運動簡圖如圖4 所示。

圖4 軸承的運動分析

圖4 中ωrj為第j個鋼球的角速度，Di為內滾道直徑，De為外滾道直徑，Dr為鋼球直徑。第j個鋼球和內、外滾道間的相對滑動速度計算公式分別為

式中：Vij為第j個鋼球和內滾道間的相對滑動速度；Vej為第j個鋼球和外滾道間的相對滑動速度；γ為Dr與Dm的比值。

在角位置為ψj處鋼球和內圈滾道接觸處的平均速度Uij、外圈滾道接觸處的平均速度Uej的計算公式分別為

軸承在工作時，鋼球在承載區的受力情況如圖5所示。

圖5 鋼球受力分布

圖5 中，Fd為油氣阻力[7]，Fcj為第j個鋼球對保持架的推動力，Fej為第j個鋼球與滾道間的摩擦力。

油氣阻力的計算公式為

式中：Cd為繞流阻力系數；ρ為油氣混合物的密度。

第j個鋼球與滾道間的摩擦力Faj的計算公式為

式中：μ為拖動系數；Qaj為第j個鋼球所承受的載荷。

拖動系數μ的計算公式為

式中：S為滑滾比；e為當量彈性模量；A、B、C、D為待擬合系數，其表達式為

式中：W*為無量綱載荷；WC*為無量綱轉折載荷；U*為無量綱速度；T*為無量綱溫度。

無量綱轉折載荷的計算公式為

無量綱載荷的計算公式為

式中：E1為鋼球的彈性模量；R為鋼球滾道的曲率半徑。

無量綱速度的計算公式為

式中：ηo為潤滑油的常壓常溫時動力黏度；U為鋼球滾道在接觸處的線速度。

無量綱溫度的計算公式為

式中：T為潤滑油溫度；λ為潤滑油的熱傳導系數。

鋼球滾道曲率半徑的計算公式為

式中：R1、R2分別為鋼球、內（外）滾道的曲率半徑。

總彈性模量的計算公式為

式中：υ1、υ2分別為鋼球、內（外）圈材料的泊松比；E2為內（外）圈材料的彈性模量。

滑滾比的計算公式為

式中：ΔU為滑動速度。

鋼球滾道在接觸處的線速度計算公式為

式中：U1、U2分別為鋼球與內、外滾道在接觸處的線速度[8]。

對于承載區鋼球，其力和力矩平衡方程為

式中：Fcj為第j個鋼球對保持架的推動力；f為摩擦系數；Fij和Fej分別為內、外滾道通過油膜作用于第j個鋼球的摩擦力；Fd為油氣阻力。

對方程組進行化簡合并可得

式中：j=1,2,3,…,N。

組成了N+1 個方程組，含未知量ωrj共有N+1 個，通過采用Newton-Raphson 法對方程組進行求解，可求解出承載區內各鋼球的自轉角速度ωrj。

3 結果分析

高低壓轉子系統中，深溝球軸承的球自轉角速度隨工況條件變化的規律如圖6～圖8 所示，圖中鋼球的編號與圖2 中的編號一致。

圖6 高壓轉子軸承A 鋼球、軸承B 自轉角速度隨徑向力的變化情況

圖6 為高壓轉子轉速為11 000 r·min-1時，高壓轉子軸承A 和軸承B 承載區內鋼球的自轉角速度隨徑向力的變化情況。從圖6 中可以看出，當Fr從2 000 N增至6 000 N 時，承載區內鋼球的自轉角速隨之增大，但增幅較小。軸承承載區內的鋼球越偏離徑向載荷作用線，其自轉角速度越小。軸承B 承載區內鋼球的自轉角速度比對應軸承A 鋼球的自轉角速度要快。在同一軸承內，隨著徑向力的增加，在承載區最外側鋼球比承載區內側鋼球的自轉角速度增幅大。當軸承轉速較快、徑向力較小時，套圈與鋼球間的拖動力較小，鋼球的自轉角速較小。結合圖1 可知，軸承A 承受的徑向力小于軸承B 承受的徑向力。隨著徑向力的增加，鋼球與內外套圈滾道之間的接觸載荷增加，即套圈與鋼球間的拖動力增大，則鋼球的自轉角速也隨之增大。圖6 中的2 號鋼球和圖7 中的3 號鋼球位于軸承承載區的邊緣，它們和套圈之間的接觸載荷較小，導致其拖動力較小，因此其自轉角速度小于承載區內側的鋼球。圖6 中0 號、1 號鋼球和圖7 中0 號、1 號、2 號鋼球的自轉角速度的增幅不大，主要是因為隨徑向力的增加，雖然鋼球與內外套圈滾道之間的接觸負荷增加，但鋼球與內外滾道間的相對滑動速度減小，即油膜拖動系數減小，導致油膜作用于鋼球的拖動力變化不大，故而鋼球自轉角速度變化不大。

圖7 低壓轉子軸承C、軸承D 鋼球自轉角速度隨徑向力的變化情況

圖7 為低壓轉子轉速為4 000 r·min-1時，低壓轉子軸承C 和軸承D 承載區內鋼球的自轉角速度隨徑向力變化圖。隨著徑向力的增加，鋼球的自轉角速度變化較小。鋼球越偏離徑向力作用線，其自轉角速度越小。與圖6 相比，低壓轉子軸承C 和軸承D 承載區內鋼球的自轉角速度低于高壓轉子軸承A 和軸承B 承載區內鋼球的自轉角速度，這是因為軸承在低速工作時，鋼球與內外滾道之間的相對滑動量較小。

圖8 為徑向載荷為2 000 N 時，高、低壓轉子上各支承軸承承載區內鋼球自轉角速度隨轉子轉速變化圖。從圖8 中可以看出，鋼球的自轉角速度隨轉子轉速的增加而增大。當轉子轉速增加時，高、低壓轉子上各軸承的套圈和鋼球之間相對滑動速度增加，導致套圈通過油膜作用于鋼球的拖動力增加，進而使鋼球的自轉角速度增大。

圖8 轉子軸承鋼球自轉角速度隨轉速變化情況

4 結論

（1）深溝球軸承在轉速不高時，徑向力的改變對鋼球自轉角速度的影響不明顯，這是因為鋼球與內外滾道之間的相對滑動量較小。

（2）深溝球軸承在轉速較高時，隨著徑向力的增加，鋼球自轉速度增大，這是因為隨著徑向力增加，作用在鋼球上的拖動力增加。隨著徑向力的增加，承載區最外側鋼球的自轉角速度比承載區內側鋼球的自轉角速度增幅大。

（3）隨著轉速的增加，深溝球軸承的套圈和鋼球之間相對滑動速度增加，導致套圈通過油膜作用于鋼球的拖動力增加，進而使鋼球的自轉角速度增大。