七軸澆鑄機器人的運動學建模和仿真技術

李明

（濰柴(濰坊)材料成型制造中心有限公司，濰坊 261100）

近年來，隨著現代工業自動化水平的不斷提高，機器人發揮了澆鑄動作穩定、高效生產的優勢，在鑄造行業日常生產中具有重要作用[1]。工業機器人主要包括機身主體、控制和驅動系統，其中機器人的運動學分析作為關鍵組成，可以為生產中機器人的軌跡規劃、仿真分析和運動控制提供關鍵依據。運動學分析是在全部關節變量均為已知條件的前提下，通過正逆運動學計算并控制機器人的末端執行器位姿。由于澆鑄作業區的環境十分惡劣，嚴重的噪聲和粉塵污染直接影響工作人員的整體效率[2]。而澆鑄機器人有著較好的工作穩定性與極高的運動精度，能夠滿足連續作業的條件，因此逐漸取代人工，節省成本的同時提高了鑄造產品的質量，加快了生產效率[3]。在技術不斷革新的過程中，七軸澆鑄機器人在FANUC 六軸工業機器人的基礎上集成帶有伺服電機的驅動附加軸，并在多個領域推廣應用。文章將對七軸澆鑄機器人的運動學建模和仿真技術展開分析，這對未來工業領域自動化澆鑄技術水平和工業生產效率的提高具有重大意義。

1 七軸澆鑄機器人的運動學模型

在以往的機器人運動研究中，基本均需要提前確定末端執行位姿的表示法，通過建立機器人運動學模型獲得各關節運動角度和末端執行位姿的方程。目前，比較常用的方法包括旋量法、D-H 法和四元素法等。其中，D-H 法自提出，一直被用于機器人運動學分析[4]。要想將此方法應用于七軸澆鑄機器人的運動學建模分析中，需要先對機器人各關節建立坐標系，結合機器人的機械結構確定相關參數，然后進行齊次坐標變換。

澆鑄機器人作為關節連接連桿的鏈式運動機構，運動學主要研究各桿件的運動關系，桿件之間的作用力影響不在考慮范圍內。七軸澆鑄機器人是在FANUC 六軸工業機器人的基礎上增加附加軸，此軸主要包括伺服電機、傳動桿、減速器和控制裝置等。七軸澆鑄機器人的工作控制過程主要通過控制伺服電機，調整澆包轉速和角度，利用SolidWorks 建立機器人的運動學三維模型，如圖1 所示。七軸澆鑄機器人串聯的7 個關節均為旋轉自由度，空間位置主要由1～3 軸負責確定，空間姿態則主要由4～6 軸負責調整，而附加的獨立7 軸則控制澆包動作的轉速和角度。在澆筑任務具體操作過程中，7 個軸的運動會彼此影響。

圖1 七軸澆鑄機器人三維模型

2 七軸澆鑄機器人坐標系的建立

2.1 機器人連桿參數

工業機器人主要由一系列空間彎曲連桿構成，連桿參數需要考慮兩連桿之間的公共法線、連桿長度、垂直兩軸的夾角，以及鄰近兩個連桿之間形成的公垂線夾角和距離。參照以往資料，根據實際情況提出常用于機器人的D-H 參數建模法。將整個機器人看作連桿結構，對每一個連桿建立一個坐標系，此坐標系和對應連桿保持相對靜止[5]。澆鑄機器人主要負責末端澆包的澆筑動作，因此要描述澆包的具體位置和姿態，需要在關節連桿末端建立坐標系原點。七軸澆鑄機器人連桿運動學坐標系如圖2 所示。

圖2 七軸澆鑄機器人連桿運動學坐標系

2.2 建立坐標系

在機器人各關節處建立七軸澆鑄機器人的連桿坐標系，具體步驟如下。第一步，在找出機器人各關節軸線的位置后，繪制關節軸線作為延長線。第二步，對于機器人的第i關節軸，尋找鄰近關節軸構成垂直關系的公垂線，并將公垂線和第i關節軸之間匯集的交點設為{i}坐標系的原點。選取此點需要考慮3 種情況：鄰近2 個關節軸線且彼此相交的點，即坐標系原點；鄰近軸線構成異面直線，即公垂線和后一個連桿的交點；鄰近兩關節構成平行軸線，即下一個鄰近關節軸線的公垂線和i+1 軸線之間的交點。第三步，對機器人各連桿首關節構建連桿坐標系，保持關節軸線和Z軸處于同一平面。第四步，確定i連桿的Xi沿鄰軸i、i+1 的公垂線，Xi作為兩關節的交點，與兩關節軸所在平面構成垂直關系。第五步，根據右手法則確定Yi軸。

依據上述步驟建立連桿坐標系，主要參數包括關節角θi、關節偏距di、連桿長度ai、連桿轉角αi。由于七軸澆鑄機器人在圖1 所示狀態下為零點位置，可以確定θ2為90°，θ6為180°，其他關節角均為零初始數值。依據D-H 法建模，連桿參數情況如表1所示。

表1 D-H 建模參數情況

3 七軸澆鑄機器人運動學正解和逆解

3.1 運動學正解

建立七軸澆鑄機器人運動學D-H 參數模型，通過旋轉、平移處理可得到2 個鄰近坐標系[6]。考慮到連桿運動影響，將θi-1轉換至θi的具體過程主要經4 次變換矩陣實現。

在D-H 參數模型中代入式（1），可得各個連桿的變換矩陣相乘后可得

3.2 運動學逆解

七軸澆鑄機器人擁有7 個自由度，通常情況下沒有逆運動學封閉解，但是一些結構比較特殊的機器人還是存在多組封閉解的可能性。根據以往文獻，一般選用Pieper 解法，此類方法面向機器人的7 個旋轉關節與4～6 軸3 個關節軸線相交操作臂完成求解[7]。例如，第3～5 關節的軸線相交于一點，3 個關節在運動過程中無法沿著Z2軸線方向運動，因此關節變換矩陣相乘的第3 行第4 列就為0。對于這樣的機器人需要考慮運動學逆解，但是要注意逆解是多解的，而機器人的關節控制角度卻是唯一的[8]。如果想要得到唯一解，就需要忽略機器人避障問題和軌跡優化，因此本次研究僅針對七軸澆鑄機器人的正解進行仿真分析。

4 運動學仿真分析

為了驗證七軸澆鑄機器人運動學建模方程的可行性與準確性，選用MATLAB 軟件展開實例仿真分析。給定初始角度與實驗中指定角度，將運動學方程式計算結果和仿真分析結果進行比對。

首先，進行初始角度驗證。仿真實驗設定原點位置的關節坐標在零點，給出機器人關節矩陣θ=[0,0,0,0,0,0,0]，代入式（2）可得

由式（3）可知，仿真分析初始位置末端坐標為（1 932,0,60）。使用MATLAB 仿真軟件中的Link 函數串聯機器人連桿，可獲得機器人初始位置仿真模型，初始角度仿真結果與D-H 參數模型方程結果一致。

其次，進行指定角度驗證。仿真實驗中任意指定機器人各關節角度，θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6、θ7分別為90°、-30°、30°、15°、30°、-15°、-30°，將角度轉化為弧度并代入式（2）可得

由式（4）可知，仿真分析機器人指定角度末端坐標為（55.087 0,2 803.827 1,180.513 2）。使用MATLAB仿真軟件中的Link 函數串聯機器人連桿，可獲得機器人指定位置的仿真模型，且指定位置的仿真結果與D-H 參數模型方程結果一致。

最后，在機器人末端執行器由初始至指定位置的過程中，機器人各個關節隨時間變化所發生的改變，仿真結果中基本未見突變。七軸澆鑄機器人末端位置理論值與計算結果對比，如表2 所示。根據表2 中的數據，分析課件正運動學模型計算所得末端位姿結果，其與仿真模型的末端位姿實際值之間并不存在太大誤差，說明機器人的各關節運行均符合常態，基本可以保證安全穩定的位姿，七軸澆鑄機器人的結構參數合理適用。

表2 七軸澆鑄機器人末端位置理論值與計算結果對比

5 結語

基于七軸澆鑄機器人的結構特點，建立D-H 機器人運動學模型，并建立機器人坐標系與運動學正逆解。使用MATLAB 平臺分析發現，初始位置與指定位置的仿真模型，與D-H 參數模型計算結果基本一致，證明此次運動學建模準確性較高。