Fredholm積分-微分方程的高精度數值方法研究

林楠,張新東

(新疆師范大學 數學科學學院,新疆 烏魯木齊830017)

積分方程于1823年由Able首先提出,隨后許多學者對其進行了研究.Fredholm和Volterra開創了研究線性積分方程理論的先河.其中Fredholm先后提出了三類Fredholm積分方程.隨著科技水平的不斷發展,許多實際問題也日漸復雜化,例如生物醫學,航空航天,經濟學等問題,這些問題大部分都可以轉化成求解積分-微分方程,這是繼微分方程和積分方程后出現的又一新的數學分支.而Fredholm積分-微分方程是其重要組成部分,在許多的領域中都有著廣泛的運用,尤其是在生物數學、原子物理、航天航空等方面.但由于大部分的積分-微分方程都很難得到確切的解析解,所以尋找不同的數值求解方法尤為重要.目前,隨著不斷的研究,已經出現了許多有效的求解方法,如:有限差分配置法[1],變分迭代法[2],Adomian分解法[3],Tau方法[4]等.

本文運用一種新型無網格計算方法,即重心插值配點法求解Fredholm積分-微分方程.重心插值配點法包括重心Lagrange插值和重心有理插值.2004年,Berrut等人提出了重心Lagrange插值公式[5],由于重心Lagrange插值在一些特殊節點的分布下具有很好的數值穩定性,但對于常用的等距節點,其插值卻是病態的.于是在2007年,Floater 等人提出了一種重心有理插值形式[6],這種插值方法能夠有效的克服插值不穩定性問題.由于重心插值配點法具有計算精度高,程序簡單等優點,所以可以用來求解各種不同類型的方程,如:Allen-Cahn方程[7,8],Cahn-Hilliard方程[9],高維Fredholm積分方程[10],非線性拋物方程[11],粘彈性波方程[12]等.

本文主要介紹如何運用重心插值配點法對積分項包含未知函數導數的Fredholm積分-微分方程進行數值求解.本文首先對重心插值配點法進行介紹,進而使用重心插值配點法推導出Fredholm積分-微分方程的離散格式,最后通過三個不同的數值算例驗證了本文方法的有效性和數值格式的穩定性.

本文主要研究以下形式的Fredholm積分-微分方程

(1)

其中,p(x),q(x),f(x)均為區間[a,b]上的連續函數;K(x,t)為關于變量x,t連續的積分核函數;r,s均為正整數.

1 重心插值配點法介紹

本節主要介紹求解方程(1)時所用到的重心Lagrange插值和重心有理插值.

1.1 重心Lagrange插值

設有n+1個不同的插值節點xj(j=0,1,…,n)和相對應的一組實數yj.則Lagrange 插值公式為

(2)

其中,Lj(x)為Lagrange插值基函數,

令l(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),

定義重心權

也就是ωj=1/l′(xj),則插值基函數就可以表示成

(3)

將式(3)代入式(2)中,得到改進的Lagrange插值公式[13]

(4)

利用插值常數1,可以得下面的恒等式:

(5)

將式(5)兩邊分別去除式(4)的兩邊,就可以得到重心Lagrange插值公式[14]

其中,ωj為重心Lagrange插值權.

1.2 重心有理插值

重心有理插值[15]是利用有理函數進行插值,給定插值節點xi(i=0,1,…,n)及其所對應的函數值yi,選擇一個整數d,并滿足0≤d≤n,對于每一個i=0,1,…,n-d,令pi為插值d+1個點對(xi,yi),(xi+1,yi+1),…,(xi+d,yi+d)的次數至多為d的多項式,則有理函數插值公式為

(6)

其中,λi(x)=(-1)i/((x-xi)…(x-xi+d)).

將多項式pi(x)寫成Lagrange公式形式

(7)

并將式(7)代入式(6)的分子中,能夠得到

(8)

其中

(9)

指標集Jk={i∈M:k-d≤i≤k},其中M={0,1,2,…,n}為一指標集.由于

由此可以得到

(10)

將式(8)和式(10)代入式(6)中,則得到的高階重心有理插值公式就可以寫為

2 離散格式構造

下面,考慮運用重心插值配點法構造方程(1)的離散格式.

首先,將方程(1)的區間[a,b]離散為a=x0

(11)

其中,Lj(x)(j=0,1,…,n)為重心Lagrange插值基函數或重心有理插值基函數.

將公式(11)代入方程(1)中,可得到如下等式,

(12)

進一步,若使方程(12)在節點xi(0≤i≤n)處成立,則可得到如下n+1個方程的方程組

(13)

將方程(13)右端第二項中的積分號和求和號交換次序,則可得到

(14)

對上式右端項中的積分項引入記號Kj(xi),并采用Gauss積分公式[16]計算,可得

其中,tk,Ak分別為Gauss積分的積分點和積分權;m為Gauss積分的積分點數量;(b-a)/2為定積分變換系數.

由式(14)可得

(15)

將式(15)代入方程(13)中,可得到重心插值配點法離散格式如下,

(D(r)-P-QK)y=f

(16)

最后,對Fredholm積分-微分方程的重心插值配點法離散格式(16)施加定解條件,求解代數方程組,就可以得到Fredholm積分-微分方程的數值解.

3 數值算例

數值計算中所使用的計算軟件為Matlab R2021a,電腦型號是Lenovo小新15ALC 2021.數值算例計算的絕對誤差和相對誤差分別定義為

例1滿足y(0)=1和y′(0)=-3的如下方程

其解析解為y(x)=e-3x.

本算例為方程(1)中r=2,s=1的Fredholm積分-微分方程.重心插值配點法的計算區間取積分區間.根據(16)可以得到本算例重心插值配點法的計算格式為(D(2)-9I-K)y=f.

在采用8個高斯積分點,21個等距節點和第二類Chebyshev節點、重心有理插值參數d=15的計算條件下,重心插值配點法的計算誤差見表4.1,其中所使用的8個高斯積分點和積分權見表2.通過表1、圖1和圖2可以看出,在使用等距節點時重心有理插值配點法計算精度較高,在使用第二類Chebyshev節點時重心Lagrange插值配點法的計算精度高于重心有理插值配點法.

圖1 例1在等距節點條件下的誤差

表1 例1的計算誤差

表3 例2的計算誤差

表4.2 八個高斯積分點和高斯積分權重

例2本例的方程如下

其解析解為y(x)=cos(x).

本算例為方程(1)中r=3,s=2的Fredholm積分-微分方程,積分核函數為K(x,t)=xt.重心插值配點法的計算區間取[0,1],根據公式(16)可以得到本算例重心插值配點法的計算格式為(D(3)-K)y=f.

在8個高斯積分點、11個等距節點和第二類Chebyshev節點、重心有理插值參數d=10的計算條件下,兩種重心插值配點法的計算誤差見表3,其中所使用的八個高斯積分點和積分權與表2相同.通過表3、圖3和圖4能夠看出,兩種插值配點法在第二類Chebyshev節點的計算精度高于等距節點的計算精度,且在使用第二類Chebyshev節點時重心Lagrange插值配點法的計算精度高于重心有理插值配點法的計算精度.

圖3 例2在等距節點條件下的誤差

例3第三個例子具有如下形式

其解析解為y(x)=ex+x3.

本算例為(1)中r=4,s=3的Fredholm積分-微分方程,積分核函數為K(x,t)=xt.重心插值配點法的計算區間取[0,1],根據公式(16)可以得到本算例重心插值配點法的計算格式(D(4)-K)y=f.

在6個高斯積分點、11個等距節點和第二類Chebyshev節點、重心有理插值參數d=10的計算條件下,重心插值配點法的計算誤差見表5,其中所使用的6個高斯積分點和積分權見表通過表5、圖5和圖6可以看出,在本算例中兩種插值配點法都有較好的計算精度,且節點誤差分布基本相同.

圖5 例3在等距節點條件下的誤差

表5 例3的計算誤差

4 結束語

本文主要研究重心插值配點法求解積分項包含未知函數導數的Fredholm積分-微分方程.數值算例結果表明利用重心Lagrange插值配點法和重心有理插值配點法進行計算,均可得到較高精度的數值解.但當需要獲得高精度數值解時,一般會優先采用重心Lagrange插值配點法在第二類Chebyshev節點上計算.同時,還可以看出,隨著積分項中未知函數導數的階數不斷增大,計算誤差也會不斷增大,其主要原因是當導數的階數越高時,進行數值模擬所需要的運算次數就越多,誤差積累也會越來越多.