年齡結(jié)構(gòu)下具B-D功能反應(yīng)和擴(kuò)散的三種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲

李根全 ,雒志學(xué) ,劉江璧

(1.蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070;2.甘肅省莊浪縣職業(yè)教育中心,甘肅 平?jīng)?744699)

研究生物種群系統(tǒng)常常把年齡問(wèn)題作為建立模型的一項(xiàng)至關(guān)重要的考慮因素,因?yàn)榉N群中每個(gè)個(gè)體的年齡問(wèn)題不僅影響其自身的生命活動(dòng)參數(shù),也決定其所在種群的整個(gè)群體行為.目前,研究年齡結(jié)構(gòu)的單種群系統(tǒng)各類成果比較多[1-8],但多種群系統(tǒng)控制問(wèn)題且功能反應(yīng)函數(shù)是Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的研究成果還不是很豐富,本文基于文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上探究一類具有年齡結(jié)構(gòu)和Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)函數(shù)的三種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲問(wèn)題.

首先提出如下最優(yōu)控制問(wèn)題:

其中i表示第i種群,則ui為收獲努力度函數(shù),Bi為收獲該種群的成本,Ki表示該種群的銷售價(jià)格,i=1,2,3,u=(u1,u2,u3)而p=(p1,p2,p3)為系統(tǒng)

(1)

的解,其中Δ表示Laplace算子,Q=(0,A)×(0,T)×Ω,Ω是在d(d≥1)上的有界區(qū)域,邊界?Ω是C2+σ(σ>0),而∑=(0,A)×(0,T)×?Ω,,ΩT=Ω×(0,T),pi(a,t,x)表示t時(shí)刻年齡為a的第i種群在空間Ω處的密度;ki為正數(shù),為種群在Ω內(nèi)的擴(kuò)散率;λi為兩食餌之間相互競(jìng)爭(zhēng)的作用系數(shù),μi和βi則表示第i種群的平均死亡率和出生率,k1,k2,k3,ai,bi,ci,di,ei(i=1,2)全為正常數(shù).

定義1定義控制集

Uad={u∈L2(Q)|ζ1(a,t,x)≤u(a,t,x)≤ζ2(a,t,x),a.e.于Q}.

定義2若

(2)

在任何緊子區(qū)間上連續(xù)},其中(a0+α,t0+α)∈{A}×(0,T)∪(0,A)×{T},S為系統(tǒng)(1)的特征線.而S={(a,t)|(a,t)∈(0,A)×(0,T),a-t=a0-t0}={(a0+s,t0+s);s∈(0,α)}.

為方便文章后面的討論,始終做以下的假設(shè):

(A1)λi,βi∈L∞(Q),0≤λi(a,t,x)≤λ0,0≤βi(a,t,x)≤β0,a.e.Q,λ0,β0是一正常數(shù).

(A3)pi0∈L∞(ΩA),0≤pi0(a,x)≤p0,a.e.于ΩA,p0是一常數(shù).

1 系統(tǒng)解的適定性

在為建立的模型做了一些適當(dāng)?shù)募僭O(shè)后,接下來(lái)依次探究系統(tǒng)(1)的解的存在性、唯一性、非負(fù)有界性以及對(duì)控制變量的連續(xù)依賴性.為證明系統(tǒng)(1)的解的存在唯一性,給出如下柯西問(wèn)題.

(P)

f:[0,T]×X→X關(guān)于t可測(cè)而且f關(guān)于x∈X是一致Lipschtiz連續(xù)的.

設(shè)H為一個(gè)實(shí)Hilbert空間,如有

(Ax-Ay,x-y)≤0,?x,y∈D(A).

成立,稱算子A:D(A)?H→H是耗散的.若耗散算子A滿足

(I-A)(D(A))=H,

其中I為X上的恒等算子,則稱A是超耗散算子.如果A是超耗散算子,那么

(λI-A)(D(A))=H.

容易知,A為壓縮C0半群無(wú)窮小生成元的充分必要條件是A是超耗散算子,其中A上稠定線性算子.exp(tA)是由線性超耗散算子A產(chǎn)生的半群.因此,系統(tǒng)(1)可寫成具有如下初值的Cauchy問(wèn)題:

(3)

在H=(L2(Ω))3空間中證明文章所需,其中算子A:D(A)?H→H,

假設(shè)算子B:D(B)?L2(Ω)→L2(Ω),由下式定義

由前面知識(shí)得B是超耗散的.

此時(shí)令H=L2([0,+∞]×Ω)且

命題1算子Aφ-μI是超耗散的,且對(duì)每個(gè)p∈D(Aφ-μI)有下式成立.

證明 若p∈D(Aφ-μI),可得

證明

由于對(duì)每個(gè)p∈L2(0,+∞),有

定理1[10]假設(shè)A:D(A)?H→H是線性且是超耗散算子,B:H→H也是連續(xù)的耗散算子,那么A+B:D(A)→H是超耗散的.

定理2[11]對(duì)每個(gè)p0∈X,初值問(wèn)題(P)有唯一的mild解p∈C([0,T];X),且

另外,如X是Hilbert空間,則A在X上是超耗散的,p0∈D(A),此mild解應(yīng)是強(qiáng)解且p∈W1,2([δ,T];X),?δ∈[0,T].

pi∈L∞(Q)∩L2(0,T;H2(Ω))∩L2(0,T;H1(Ω))

此外,還存在一與p和u無(wú)關(guān)的常數(shù)C1>0,使得

(4)

(5)

由于F在p上不一定是Lipscchiz連續(xù)的,針對(duì)此問(wèn)題,不宜直接應(yīng)用定理1,經(jīng)常采用的辦法是先對(duì)F進(jìn)行分段處理,首先考慮如下面截?cái)嗟某踔祮?wèn)題

(6)

另外,pN∈[L∞(Q)]3.考慮初值問(wèn)題

(7)

和

(8)

可以等價(jià)地寫為

即

(9)

(10)

給(10)在Ω上積分并利用Green公式得

使用Gronwall不等式可進(jìn)一步得

(11)

|g(x1,y1)-g(x2,y2)|≤L(|x1-x2|+|y1-y2|)

再根據(jù)(3)知

其中C是和T及Ω有關(guān)的常數(shù).

給(11)式分別乘以φ1,φ2,φ3,再在ΩT=Ω×(0,t)上積分可得

(12)

由(12)和Gronwall引理可得

那么有φ1=φ2=φ3=0,則系統(tǒng)解pi一定是唯一的.

下面,為方便討論,先證明系統(tǒng)(1)的弱解的存在唯一性.

定理4如果(A1)-(A4)成立,則系統(tǒng)(1)應(yīng)該存在唯一的弱解p=(p1,p2,p3)且有

證明 容易得到系統(tǒng)的弱解是唯一的[7],因?yàn)閜在特征線上是絕對(duì)連續(xù),那么它就保證了(1.2)5,6有意義,可易證得它接近于在每條特征線S和S1上

S1如下給出

另一方面,p滿足(2),如果α=A-a0,那么將證明

在

上成立.即證明下式在L2(Ω)成立

給(1)1乘以p1且在Ω上積分可得

和

(13)

給式(11)在(0,s)上積分有

(14)

?s∈[0,α],a.e.s∈(0,α).對(duì)sα,由(14)知在L2(Ω)中

因此,pi∈L2(S;H1(Ω)).

(15)

(16)

(17)

給(17)兩端用ωi作內(nèi)積,然后在(0,A)×[0,t]×Ω上積分有

因此利用B的耗散性可得

從(3)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算有

那么進(jìn)一步有

其中M是依賴于T和Ω的常數(shù).

利用Bellman不等式得

所以有

即

2 最優(yōu)性條件

(18)

那么

(19)

(20)

(21)

其中

(22)

證明 系統(tǒng)(18)的解q=(q1,q2,q3)的存在唯一性類似定理3可證.

uε=u*+εv∈Uad,v=(v1,v2,v3),ε>0足夠小,任意的v∈L2(Q).因?yàn)閡*是控制問(wèn)題(OH)的最優(yōu)解,則可以推出

J(u*+εv)≤J(u*).

(23)

將(OH)代入到(23)中有

(26)

給方程(18)分別乘以zi,然后在Q上積分,經(jīng)過(guò)計(jì)算有

(27)

結(jié)合式(24)和(27)可得

由切錐法錐定義可得

因此,結(jié)論證明完畢.