構造法求解一類圓錐曲線斜率問題

李永蓮

(貴州省實驗中學,貴州 貴陽 550002)

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的過程.主要包括:理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等.數學運算是數學活動的基本形式,也是演繹推理的一種形式,是得到數學結果的重要手段.其實,正是因為圓錐曲線綜合題的特點,我們在教學中可以適當利用這些資源,來培養學生數學運算等核心素養.

1 試題呈現

2 解法探析

2.1 參考解法

設直線l的方程為y=kx+h,另設P,Q兩點的坐標分別為(x1,y1)和(x2,y2),聯立直線l和雙曲線C的方程,消去y可得

(2k2-1)x2+4khx+(2h2+2)=0.

根據已知條件kAP+kAQ=0,而

2.2 解法優化

因直線PQ不經過點A,可設其方程為

m(x-2)+n(y-1)=1(m,n不同時為0).

(x-2+2)2-2(y-1+1)2=2.

即(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)=0.

將上式中所有一次項乘m(x-2)+n(y-1)得

(x-2)2-2(y-1)2+[4(x-2)-4(y-1)]·[m(x-2)+n(y-1)]=0.

整理得:(1+4m)(x-2)2-(4m-4n)(x-2)·(y-1)-(4n+2)(y-1)2=0.

將上式左右兩邊同時除以(x-2)2得

2.3 方法要點

2.3.1適用情形

不經過點A(x0,y0)的直線l與二次曲線C交于P,Q兩點,研究的是兩直線AP,AQ的斜率之間的關系,比較常見的情形是研究kAP+kAQ或kAP·kAQ.

2.3.2解題步驟

此類問題的解題過程一般有如下幾步:

3 例題示范

解析因為直線l不經過點P(0,1),可設其方程為mx+n(y-1)=1(m,n不同時為0).

將其中一次項y-1乘以mx+n(y-1)得

x2+4(y-1)2+8(y-1)[mx+n(y-1)]=0.

整理,得x2+(4+8n)(y-1)2+8mx(y-1)=0.

將上式左右兩邊同時除以x2,得

n(2x-y+1)+(x+1)=0.

即直線l過定點(-1,-1).

4 教學建議

“構造法”在求解過程中,的確可以有效降低運算的難度,但卻存在兩個理解上的難點.

第二,將方程G(x-x0,y-y0)=0中的所有一次項都乘以m(x-x0)+n(y-y0),常數項乘以[m(x-x0)+n(y-y0)]2,構造出關于x-x0和y-y0的二次齊次式方程H(x-x0,y-y0)=0.這一步是為在H(x-x0,y-y0)=0的兩邊同時除以(x-x0)2,從而構造出關于k的二次方程S(k)=0,將直線斜率轉化為方程S(k)=0的實數根.

5 結束語

通解通法固然不能偏廢,但對于某些典型的問題類型,我們可以引導學生分析得出較為優化的解法,降低運算量,從而培養學生良好的思維品質.對問題進行充分的分析和思考,在一定程度上可以減少運算的難度,從而提高解題的效率.