化 點 為 斜
——幾類經典解析幾何綜合問題的消參通法

范習昱 張海葉

(鎮江市丹徒高級中學,江蘇 鎮江 212143)

解析幾何的本質思想是解析法或者叫坐標法,核心就是用代數計算的方法來處理各類幾何問題,引入很多參數或變量是解析幾何問題的常規操作,于是如何消參就顯得格外重要.解析幾何一般包含點的坐標和斜率、截距或者其他參變量.筆者整理很多相關資料,發現“化點為斜”是處理消參的一種通用方法,是破解教學難點和突破學生瓶頸的不二選擇[1].

所謂“化點為斜”就是利用一元二次方程根與系數的關系,通過代入消元或者作差消元或者其他方法,消去點的坐標而保留斜率參數的一種消參方法,它是一種處理解析幾何綜合問題的最為常見的消參通法.下面筆者從幾類經典的解析幾何綜合題加以分析.

1 弦的斜率問題,利用根與系數關系消參

解法1 過點A(0,1)且斜率為k的直線為y=kx+1.

代入橢圓方程中,消去y并整理,得

(1+4k2)x2+8kx=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),則

整理,得

即x1x2+4y1y2=0.

所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=k(x1+x2)+1.

解法2過點A(0,1)且斜率為k的直線為y=kx+1.

代入橢圓方程中,消去y并整理,得

(1+4k2)x2+8kx=0.

設M(x,y),則

去分母,得

評析斜率問題是直線和圓錐曲線綜合問題中最為基本的一類問題,引入點的坐標和直線的斜率是這類問題的常規方法,也是學生很容易接受和上手的方法.例1的解法1中有三個點的坐標加上一個斜率共有7個變量,利用橢圓方程、直線方程和題目中的向量等式,消去這些點的坐標,從而得到斜率方程解出斜率;解法2考慮橢圓的弦有一個端點已知,根據聯立后的一元二次方程特點,另一個端點M(x,y)的坐標(斜率表示)也就容易求得,適合于消參,問題得到解決[2].

2 非斜率定值問題,保留斜率參數

圖1 例2題圖

(1)求橢圓C的方程;

(2)試探究M,N的橫坐標的乘積是否為定值,若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

解析(1)由已知,A,B的坐標分別是A(a,0),B(0,-b),由于△ABC的面積為3,

①

化簡,得a=2b.

②

①②兩式聯立解得

b=1或b=-3(舍去).

所以a=2,b=1.

(2)設直線PQ的方程為y=kx+2,P,Q的坐標分別為P(x1,y1),Q(x2,y2),則直線BP的方程為

(1+4k2)x2+16kx+12=0.

由一元二次方程根與系數的關系,得

評析各類圓錐曲線的定值問題是高考的一類熱點問題,一般也要引入點的坐標和直線的斜率.例2(2)也有5個變量,將P,Q的坐標轉化為斜率即“化點為斜”可以較容易地消去點的坐標參數,是這類問題的一種通用方法.

3 定點問題中消去點坐標

圖2 例3題圖

(1)求軌跡C的方程;

(2)將y=kx+b代入曲線C的方程,整理得

(1+4k2)x2+8kxb+4b2-4=0.

因為直線l與曲線C交于不同的兩點P和Q,所以△=64k2b2-4(1+4k2)(4b2-4)=16(4k2-b2+1)>0.

③

設P(x1,y1),Q(x2,y2),則

④

且y1·y2=(kx1+b)(kx2+b)

=(k2x1x2)+kb(x1+x2)+b2,

顯然,曲線C與x軸的負半軸交于點A(-2,0),

(x1+2)(x2+2)+y1y2=0.

⑤

將④⑤代入上式,整理,得

12k2-16kb+5b2=0.

所以(2k-b)·(6k-5b)=0.

經檢驗,都符合條件③.

當b=2k時,直線l的方程為y=kx+2k.

顯然,此時直線l經過定點(-2,0).

即直線l經過點A,與題意不符.

評析例3是一類有關向量條件下的定點問題,也是高考中圓錐曲線綜合問題的熱點問題.解決定點問題,一般采用設點法化簡有關向量等式或其他的條件,然后聯立直線和曲線方程利用根與系數的關系探討定值或定點取得的條件,從而求出定點,運算對學生的要求很高,難度也較大.我們依然也可以“化點為斜”消參求解[3].

4 最值問題保留斜率為主變量

例4 如圖3,過拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F的直線交C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,且x1x2=-4.

圖3 例4題圖

(1)求拋物線C的標準方程;

(2)R,Q是C上的兩動點,R,Q的縱坐標之和為1,R,Q的垂直平分線交y軸于點T,求△MNT的面積的最小值.

由題意設x1,x2是方程兩根,所以

x1x2=-p2=-4.

所以p=2.

所以拋物線的標準方程為x2=4y.

(2)設R(x3,y3),Q(x4,y4),T(0,t),因為T在RQ的垂直平分線上,所以|TR|=|TQ|.

所以4y3+(y3-t)2=4y4+(y4-t)2.

即4(y3-y4)=(y3+y4-2t)(y4-y3).

所以-4=y3+y4-2t.

由(1)得x1x2=-4,x1+x2=4k,

因此當k=0時S△MNT有最小值3.

評析例4是圓錐曲線綜合問題中的最值問題,也是非常常見的.其中參變量多達6個,對于線段長度和面積的處理依然可以運用“化點為斜”這一通法來消參化解.

5 圓錐曲線其他綜合問題

(1)求雙曲線C的方程.

(2)將y=kx+4代入雙曲線C的方程并整理,得(3-k2)x2-8kx-19=0.

當3-k2=0時,直線與雙曲線C只有一個交點,不合題意,故3-k2≠0.

⑥

⑦

解得k2=4,驗知△>0,所以k=±2.

所以所求點Q的坐標是(±2,0).

解法2 利用根與系數的關系,但是考慮結論中涉及的λ1+λ2怎樣用k表示,上述解法改進后如下:

解得k2=4,驗知△>0.

所以k=±2.

故所求點Q的坐標是(±2,0).

評析例5中的參數多達5個,通過坐標表示參數,最終還是可以化歸為斜率的表達式或者方程不等式,最后利用一元二次方程根與系數的關系化簡獲得求解.

6 結束語

解析幾何綜合問題由于計算量較大,對學生的運算能力提出了很高的要求,很多學生都難以越過這道鴻溝.由于方法多思路廣,一般傳統的講解是很難突破的.從以上幾道經典的案例中,我們不難發現,“化點為斜”可以作為解析幾何綜合問題的一種消參通法,參數少了,這類問題一般都可以迎刃而解.