2023年新課標(biāo)高考全國(guó)Ⅱ卷21題探析

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué),甘肅 白銀 730900)

圓錐曲線綜合題中的定直線問(wèn)題較為復(fù)雜,其解題方法也是多種多樣.求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上,運(yùn)算量較大,屬于一類(lèi)難度較大的問(wèn)題.本文從2023年的一道高考題入手,對(duì)這一問(wèn)題再研究.

1 試題再現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),M在第二象限,直線MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明:點(diǎn)P在定直線上.

這是一道直線與圓錐曲線綜合題,考查了計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力,考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).(1)由題意求得a,b的值即可確定雙曲線方程;(2)雙曲線方程中的定直線問(wèn)題,根據(jù)設(shè)而不求的思想,可用韋達(dá)定理法、非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化法、點(diǎn)乘雙根法、定比點(diǎn)差法、交軌法探析.

2 追根溯源

以極點(diǎn)與極線理論為背景,如果把點(diǎn)P作為該雙曲線的極點(diǎn),那么它對(duì)應(yīng)的極線必然過(guò)(-4,0),根據(jù)極點(diǎn)極線的對(duì)偶性質(zhì),極線共點(diǎn),則極點(diǎn)必共線,故點(diǎn)P必在一條定直線上,這條直線即點(diǎn)(-4,0)的極線x=-1.

3 解法探析

下面對(duì)(2)進(jìn)行解法探析.

解法1 ( 韋達(dá)定理法)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

x1<-2且x2<-2.

顯然直線的斜率不為0.

所以設(shè)直線MN的方程為

(4m2-1)y2-32my+48=0,

且△=64(4m2+3)>0.

圖1 第(2)問(wèn)解析圖

即xP=-1.

據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線x=-1上運(yùn)動(dòng).

評(píng)注聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程,得到一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系同位置關(guān)系相結(jié)合來(lái)求解,是通解通法[1].

解法2 (非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化法)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0).

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

x1<-2且x2<-2.

顯然直線的斜率不為0.

所以設(shè)直線MN的方程為

(4m2-1)y2-32my+48=0,

且△=64(4m2+3)>0.

所以2my1y2=3(y1+y2).

即xP=-1.

據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線x=-1上運(yùn)動(dòng).

評(píng)注遇到非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)表達(dá)式時(shí),可以通過(guò)x1+x2,x1x2整體關(guān)系,得出x1x2=λ(x1+x2)+μ,和積轉(zhuǎn)換成對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的形式,應(yīng)用韋達(dá)定理處理.本題亦可由

=-1.

解法3 (點(diǎn)乘雙根法)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

x1<-2且x2<-2.

兩邊平方,得

即xP=-1.

若過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線的斜率存在,不妨設(shè)直線MN的方程為y=k(x+4),

(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=0.

因?yàn)閤1,x2是方程(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=0的兩個(gè)根,

所以(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=(4-k2)(x1-x)(x2-x).

(*)

在(*)式中令x=-2,得

(4-k2)4+16k2-16k2-16=(4-k2)(x1+2)·(x2+2).

即-4k2=(4-k2)(x1+2)(x2+2).

在(*)式中令x=2,得

(4-k2)4-16k2-16k2-16=(4-k2)(x1-2)·(x2-2).

即-36k2=(4-k2)(x1-2)(x2-2).

可得x=-1.

即xP=-1.

據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線x=-1上運(yùn)動(dòng).

二次函數(shù)的雙根式y(tǒng)=ax2+bx+c=a(x-x1)·(x-x2),通過(guò)雙根式來(lái)解決解析幾何中涉及(x-x1)(x-x2)的問(wèn)題,可以減少計(jì)算量[2].

即x1+λx2=-4(1+λ),y1+λy2=0.

因?yàn)镸,N在雙曲線上,

兩式相減,得

所以-(x1-λx2)=1-λ.

又x1+λx2=-4(1+λ),

所以x=-1.

即xP=-1.

據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線x=-1上運(yùn)動(dòng).

解法5 (交軌法)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),T(-4,0),則

x1<-2且x2<-2.

直線MA1的方程為x=my-2,

直線NA2的方程為x=ny+2,

(4m2-1)y2-16my=0.

顯然4m2-1≠0,

(4n2-1)y2+16my=0.

顯然4n2-1≠0,

由題意,M,T,N三點(diǎn)共線.

當(dāng)MN⊥x軸時(shí),|A1A2|=2|A1T|,所以A1是△A2MN的重心,從而P是線段A2N的中點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為-1.

當(dāng)MN不垂直x軸時(shí),kMN=kMT,即

即(4m2-1)(3m+n)=0.

所以3m+n=0.

由x=my-2,x=ny+2,得

3x+x=(3m+n)y-4.

所以x=-1.

即xP=-1.

據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線x=-1上運(yùn)動(dòng).

評(píng)注求兩條直線交點(diǎn)的軌跡常用交軌法,先寫(xiě)出兩條直線的方程,然后尋求它們之間的關(guān)系.

4 結(jié)束語(yǔ)

圓錐曲線綜合問(wèn)題是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的有效載體,充分考查了學(xué)生靈活應(yīng)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力.縱觀2023年Ⅱ卷的解析幾何試題,運(yùn)算量比較大,而且直線MA1,NA2的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表達(dá)式形式不對(duì)稱(chēng),直接代入計(jì)算將無(wú)法求解,需要對(duì)根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行局部轉(zhuǎn)換,構(gòu)造對(duì)稱(chēng)的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.由于解析幾何解答題綜合性強(qiáng),代數(shù)推理要求高,解題過(guò)程中復(fù)雜冗長(zhǎng)的運(yùn)算不可避免,在復(fù)習(xí)備考中,要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注代數(shù)的本質(zhì)———結(jié)構(gòu)特征,多想少算,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、耐心細(xì)致的運(yùn)算習(xí)慣,從而提高運(yùn)算求解能力,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).