2023年全國甲卷理科導數壓軸題的解法探究

張 君

(四川省溫江中學,四川 成都 611130)

2023年高考全國甲卷理科數學第21題是三角函數與導數的綜合,難度很大.很多考生反映在做這道題時,沒有解題思路或者運算量太大做不了.下面筆者結合自己的教學實踐給出五種不同的解法,并剖析每種解法的解題思路.

1 真題再現

(1)當a=8時,討論函數f(x)的單調性;

(2)若f(x)

2 解法探究

2.1 第(1)問解析

則f′(x)=a-3t2+2t=g(t).

當a=8時,g(t)=(2-t)(3t+4),

2.2 第(2)問解析

解法1設g(x)=f(x)-sin2x,

g′(x)=f′(x)-2cos2x

所以h(t)在(1,+∞)內單調遞減.

所以h(t)

②若a∈(3,+∞),則h(1)=a-3>0,

當t∈(1,t0)時,h(t)>0,即當x∈(0,x0)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增.

故當x∈(0,x0)時,g(x)>g(0)=0,不合題意.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

評析解法1中對g′(x)進行換元,使超越函數變成了有理函數,函數式變得非常簡潔,極大地簡化了運算.而對g′(x)換元后所得的h(t)再次求導,弄清了h(t)的單調性,解題方向也變得明朗化.后面在a∈(3,+∞)的情況中,由于h(1)=a-3>0,也就是g′(0)>0,應該想到g(0)=0,則g(x)在0的右鄰域內是不能遞增的,所以此時應該不合題意.但怎么說清楚這一點要注意方法,這里用放縮法得到了h(t)<0,再由零點存在定理確定h(t)存在零點,避免了用高等數學知識,很符合高中學生的情況.

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,3].

當且僅當cosx=1時等號成立.

即g(x)<0的必要條件是a≤3.

下面證明a≤3是g(x)<0的充分條件.

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,3].

故g(x)>g(0)=0.

于是a≤3.

即a的取值范圍是(-∞,3].

h′(x)=4sinx(sinx-xcosx).

k′(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx>0,

故k(x)>k(0)=0.于是h′(x)>0.

故h(x)>h(0)=0.于是g′(x)>0.

于是a≤3,即a的取值范圍是(-∞,3].

3 結束語

本題是三角函數與導數的綜合,作為壓軸題,難度很大,彰顯了綜合性要求.高考數學試題的綜合性,一方面是數學學科內部各個主題的相互綜合,另一方面是數學學科和其他學科的綜合.本題將導數與三角函數巧妙地結合起來,通過對導函數的分析,考查函數的單調性、極值等相關問題,通過導數、函數不等式等知識,深入考查分類討論的思想,化歸與轉化的思想.