高觀點下的高中數學解題策略的研究
——以2023年北京高考數學第19題為例

張 澤 代紅軍,2

(1.云南師范大學數學學院,云南 昆明650500;2.昆明市官渡區第六中學,云南 昆明650200)

本文參考的幾篇文章對2023年北京高考數學第19題的解法進行了分析,主要解法有設點并用橢圓普通方程來表示(以下簡稱“普通設點法”)、設點并用橢圓參數方程來表示(以下簡稱“參數設點法”)、設線法、反設線法.除了參考的第5篇文章沒有提到命題背景,其余7篇文章都揭示了命題背景為高等數學下的帕斯卡定理,從而可知命題人站在高等數學層面來命制該高考題[1-8].

1 考題再現

(1)求E的方程;

(2) 設P為第一象限內E上的動點,直線PD與直線BC交于點M,直線PA與直線y=-2交于點N.求證:MN∥CD.

2 解法探究

2.1 第(1)問解法探究

2.2 第(2)問的初等數學解法探究

聯立直線PA方程與y=-2,得

(4+9k2)x2-54k2x+81k2-36=0.

直線MN的斜率為

即kMN=kCD,MN與CD不重合,所以MN∥CD.

即kMN=kCD,所以MN∥CD.

2.3 第(2)問的高等數學解法探究

利用仿射變換,將橢圓轉化為圓進行求解(如圖1,圖2).

圖1 第19題示意圖

即E′:x′2+y′2=4,A′(0,2),C′(0,-2),B′(-2,0),D′(2,0).

又因為m2+n2=4,所以kM′N′=1.

又kC′D′=1,即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′,所以MN∥CD.

又kC′D′=1,即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N,因此MN∥CD.

解法7 設直線P′D′的方程為y′=k(x′-2),直線B′C′的方程為y′=-x′-2,

(1+k2)x′2-4k2x′+4k2-4=0,

進而kM′N′=1.又kC′D′=1,即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′,所以MN∥CD.

所以kM′N′=1.又kC′D′=1,即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′,所以MN∥CD.

3 結束語

這道解析幾何解答題考查學生的邏輯推理和數學運算的核心素養,尤其對學生的運算能力提出很高的要求.該題需要學生能靈活運用整體代換的思想進行算式化簡,如兩種視角下的解法1、5中對斜率分式表達式的化簡.初等數學視角下的解法1,需要學生能把橢圓E的方程表達式進行變形后代換,然后代入分式之中進行約分化簡;高等數學視角下的解法5,則需要學生把圓E′的方程表達式進行整體代換.經過初等數學和高等數學兩種不同視角的解題過程的對比,顯然可知利用高等數學的仿射變換把橢圓變為圓以后再進行解題,運算簡便許多,也相應提高了學生對高考數學的解析幾何解答題的計算信心.在教學中,教師應把高等數學的思想和方法滲透于初等數學的教與學中.學生也應站在更高的觀點下解題,不僅增加了解題的信心,也極大激發了學生學習數學的興趣.