高觀點下的高中數(shù)學(xué)解題策略的研究
——以2023年北京高考數(shù)學(xué)第19題為例

張 澤 代紅軍,2

(1.云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 昆明650500;2.昆明市官渡區(qū)第六中學(xué),云南 昆明650200)

本文參考的幾篇文章對2023年北京高考數(shù)學(xué)第19題的解法進(jìn)行了分析,主要解法有設(shè)點并用橢圓普通方程來表示(以下簡稱“普通設(shè)點法”)、設(shè)點并用橢圓參數(shù)方程來表示(以下簡稱“參數(shù)設(shè)點法”)、設(shè)線法、反設(shè)線法.除了參考的第5篇文章沒有提到命題背景,其余7篇文章都揭示了命題背景為高等數(shù)學(xué)下的帕斯卡定理,從而可知命題人站在高等數(shù)學(xué)層面來命制該高考題[1-8].

1 考題再現(xiàn)

(1)求E的方程;

(2) 設(shè)P為第一象限內(nèi)E上的動點,直線PD與直線BC交于點M,直線PA與直線y=-2交于點N.求證:MN∥CD.

2 解法探究

2.1 第(1)問解法探究

2.2 第(2)問的初等數(shù)學(xué)解法探究

聯(lián)立直線PA方程與y=-2,得

(4+9k2)x2-54k2x+81k2-36=0.

直線MN的斜率為

即kMN=kCD,MN與CD不重合,所以MN∥CD.

即kMN=kCD,所以MN∥CD.

2.3 第(2)問的高等數(shù)學(xué)解法探究

利用仿射變換,將橢圓轉(zhuǎn)化為圓進(jìn)行求解(如圖1,圖2).

圖1 第19題示意圖

即E′:x′2+y′2=4,A′(0,2),C′(0,-2),B′(-2,0),D′(2,0).

又因為m2+n2=4,所以kM′N′=1.

又kC′D′=1,即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′,所以MN∥CD.

又kC′D′=1,即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N,因此MN∥CD.

解法7 設(shè)直線P′D′的方程為y′=k(x′-2),直線B′C′的方程為y′=-x′-2,

(1+k2)x′2-4k2x′+4k2-4=0,

進(jìn)而kM′N′=1.又kC′D′=1,即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′,所以MN∥CD.

所以kM′N′=1.又kC′D′=1,即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′,所以MN∥CD.

3 結(jié)束語

這道解析幾何解答題考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng),尤其對學(xué)生的運算能力提出很高的要求.該題需要學(xué)生能靈活運用整體代換的思想進(jìn)行算式化簡,如兩種視角下的解法1、5中對斜率分式表達(dá)式的化簡.初等數(shù)學(xué)視角下的解法1,需要學(xué)生能把橢圓E的方程表達(dá)式進(jìn)行變形后代換,然后代入分式之中進(jìn)行約分化簡;高等數(shù)學(xué)視角下的解法5,則需要學(xué)生把圓E′的方程表達(dá)式進(jìn)行整體代換.經(jīng)過初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)兩種不同視角的解題過程的對比,顯然可知利用高等數(shù)學(xué)的仿射變換把橢圓變?yōu)閳A以后再進(jìn)行解題,運算簡便許多,也相應(yīng)提高了學(xué)生對高考數(shù)學(xué)的解析幾何解答題的計算信心.在教學(xué)中,教師應(yīng)把高等數(shù)學(xué)的思想和方法滲透于初等數(shù)學(xué)的教與學(xué)中.學(xué)生也應(yīng)站在更高的觀點下解題,不僅增加了解題的信心,也極大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.