數學建模核心素養視域下的高考試題評析
——以2023年全國新高考數學Ⅰ卷為例

鄧雯靜

(安徽省臨泉第一中學,安徽 阜陽 236400)

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中指出:數學建模作為數學學科六大核心素養之一,要求學生能夠在實際情境中運用所學習的知識抽象出數學問題,結合邏輯推理、直觀想象的能力建立數學模型,并計算求解,最終解決實際問題[1].2023年全國新高考數學Ⅰ卷充分體現了新課標對數學學科核心素養的要求,從多個角度對數學建模核心素養進行考查,下面以試題為例進行剖析.

1 數學模型在現實情境中的構建

2023年全國新高考數學Ⅰ卷部分試題背景素材緊密聯系社會生活實際.例如,人們越來越重視噪聲污染,高考試題便在這個方面有所體現,第10題以燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車三種聲源產生的聲壓為背景材料,將實際問題抽象為構建有關聲壓的數學模型,讓學生初步體會運用數學模型解決實際問題.

1.1 現實情境下的函數模型

表1 不同聲源聲壓級

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則( ).

A.p1≥p2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.p1≤100p2

分析本題是在一個社會問題背景下,將聲壓級數學模型通過函數解析式給出,需要學生在閱讀理解下抓取關鍵信息,梳理清楚各數據之間的關系,結合選項合理運用條件中的數學模型探究p1,p2,p3之間的關系,并利用對數運算性質展開計算[2].

解法1根據題意可知Lp1∈[60,90],Lp2∈[50,60],Lp3=40.

選項A:將對應函數值相減可得

因為Lp2-Lp3=Lp2-40≥10,

解法2根據題意可得

即p2≤1 000p0≤p1,故A正確.

故選ACD.

1.2 現實情境下的概率模型

例2(2023年全國新高考數學Ⅰ卷第21題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

分析本題從投籃實例出發,從題干中分析出概率模型進行求解,需要學生理解條件概率與全概率公式模型之間的關系以及兩點分布模型的特點,在遞推的過程中使用數列模型求解,不僅體現了數學建模核心素養,還考查了學生的數學運算能力.

解析(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi,所以

P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)

=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)

=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.

(2)設P(Ai)=pi,依題可知P(Bi)=1-pi,

則P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)

=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi).

=0.4pi+0.2.

構造等比數列 {pi+λ},

(3)設第i次投籃時甲投籃次數為Xi,且Xi的可能取值為0或1,Xi服從兩點分布,則P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,E(Xi)=pi.

前n次中甲投籃的次數

Y=X1+X2+X3+…+Xn,

在臺詞“And if I go back.”的翻譯處理中，字幕翻譯為“如果我再回去的話…”，配音翻譯為“如…如果再回去”。再如“Max,it's the end of the line for me.”，其字幕翻譯為“麥克我就再也出不去了”，配音翻譯為“麥克我會死無葬身之地的”。兩例中字幕和配音翻譯采用了不同的策略，為了達到戲劇效果，相比配音翻譯為了畫面和節奏上的對應，通過臺詞重復(即結巴)表演出害怕的效果，后一句的翻譯也隨之發生了改變，對信息進行了相應的調整，但是卻十分自然和諧，對于劇情發展和故事的敘述沒有障礙，同樣產生的戲劇效果。

則E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)

=p1+p2+p3+…+pn.

所以當n∈N*時,

E(Y)=p1+p2+p3+…+pn

2 幾何、代數模型在數學情境中的整合

2023年全國新高考數學Ⅰ卷第16題是在雙曲線、向量、余弦定理公式模型下進行探究求解,更體現了數學模型綜合性的運用.

分析根據雙曲線的概念性質、向量運算以及幾何意義得到|AF2|,|BF2|,|BF1|,|AF1|關于a,m的表達式,利用勾股定理求得a=m,通過余弦定理得到a,c的齊次方程,從而求得雙曲線離心率.也可依題意設出各點坐標,利用向量坐標運算求解點A坐標,將點A代入雙曲線C得到關于a,b,c的齊次方程,求得離心率.

在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,

即a=m或a=-3m(舍去).

整理,得5c2=9a2.

3 結束語

在新課標的背景下,培養學生的數學建模核心素養成為教學的重點,傳統課堂已經滿足不了教學的需要,因此高中數學教師必須轉變教學方式,在課堂中逐漸滲透數學建模素養.在教學中無論是探究初等基本函數,還是向量、立體幾何、圓錐曲線等,都通過構建數學模型,引導學生探究其性質特點,再進一步在實際問題中加以運用.在探究過程中,可以運用信息技術手段如幾何畫板GeoGebra等,引導學生小組合作繪制圖象,構建模型,充分發揮學生的主觀能動性,讓學生在整個分析、構建、計算、檢驗、改進、解決的過程中,體會數學建模的應用價值.