空間直線問題中的一題多解

王利波 徐瑰瑰

(凱里學院理學院,貴州 凱里 556011)

直線是特殊的曲線,是空間解析幾何中的基本圖形.空間直線方程常見表示形式有一般式方程、點向式(對稱式)方程、參數方程、截距式方程等,由于其形式多樣,于是求解直線方程的題目就可以從不同角度出發.本文主要介紹了空間直線問題中常見的四類綜合題型,從多角度多側面分析問題,借助向量的數量積、向量積、混合積和直線方程的表示方法,進而得到不同的解題方法.

1 與兩平面平行的直線

例1求過點(0,2,4)且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行的直線方程.

解法1(向量積)所給平面的法向量分別為n1=(1,0,2),n2=(0,1,-3),由于所求直線平行于兩平面,則所求直線的方向向量s垂直于所給平面的法向量,即s⊥n1且s⊥n2,于是可取所求直線的方向向量s=n1×n2=-2i+3j+k[1].

解法3(平行平面)過點(0,2,4)且與平面x+2z=1平行的平面方程為x+2z=8,過點(0,2,4)且與平面y-3z=2平行的平面方程為y-3z=-10[2].

2 與已知直線垂直相交的直線

設所求直線的方向向量為s1,則由題意可知s1⊥s且s1⊥n,故所求直線的方向向量為s1=s×n=-5i+7j-2k.

即m+n+p=0.

①

又由于所求直線與已知直線垂直,則s1⊥s,于是s1·s=0,即3m+n-4p=0.

②

則(5,-7,2)可作為所求直線的方向向量.

③

即x+y+z-3=0.

3 直線在已知平面上的投影直線

解法2(混合積)設所求直線的方向向量s=(m,n,p),則s=(m,n,p)垂直于所給平面x+y+z=0的法向量n=(1,1,1),即m+n+p=0.

④

即n-p=0.

⑤

聯立④和⑤可得m=-2p,n=p,所以所求直線的方向向量可取為(-2,1,1).

解法4(平面束方程)過已知直線的平面束方程為

x+y-z-1+λ(x-y+z+1)=0.

即(λ+1)x+(1-λ)y+(λ-1)z+λ-1=0.

該平面與已知平面垂直的充要條件是

(λ+1)·1+(1-λ)·1+(λ-1)·1=0,

解得λ=-1.

于是投影平面方程為y-z-1=0.

4 平行于已知平面且與已知直線相交的直線

解法1(兩點式方程)設所求直線與已知直線的交點坐標為(-1+t,3+t,2t),則以(-1,0,4)為起點,以(-1+t,3+t,2t)為終點的向量(t,3+t,2t-4)垂直于所給平面的法向量(3,-4,1),則3t-4(3+t)+2t-4=0,解得t=16.

解法2 (混合積)設所求直線的方向向量s=(m,n,p),則由題意可知s=(m,n,p)垂直于所給平面的法向量(3,-4,1),則3m-4n+p=0.

⑥

即10m-4n-3p=0.

⑦

解法3(向量積)過點(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z-10=0的平面方程為3x-4y+z-1=0,

5 結束語

本文例題雖然解法較多,但是萬變不離其宗,文中都是從基礎知識出發,運用了直線的兩種表示方法.一是點向式方程,這就需要求出直線上一點以及直線的方向向量.通過上面的例題,不難發現,利用點向式表示直線方程的關鍵就是求解直線的方向向量,其求解方法不唯一,但是都是我們教材中講過的數量積、向量積和混合積.所以,在解題過程中,要靈活運用所學知識去求解直線的方向向量.二是一般式方程,這就需要找出直線所在的兩個平面及其方程.求解平面方程的關鍵是尋找平面的法向量,用到的知識依然是向量的數量積、向量積和混合積.

在教學活動中,引入一題多解,不僅可以引導學生從多角度去思考問題,而且可以提高學生的學習興趣,還可以幫助學生學會知識的遷移并靈活運用所學知識去解決問題,進而舉一反三、融會貫通.