一道高中力學題的十種解法

李紅偉 姜付錦

(1.杭州市余杭第一中學,浙江 杭州 311100;2.黃陂一中試題研究中心,湖北 武漢 430300)

高中物理力學中有一類問題很有趣——極值問題[1-2],這類問題與高中數學聯系非常緊密.解決這類問題通常是兩類方法,一類是解析法,所用的思想是三角函數、不等式、判別式等思想;另一類是圖解法,所用的思想基本上是點到直線垂線的距離最短[3-4].這些思想與方法若用熟練后,還可以融會貫通到其他章節中使用,這也印證了物理學一種說法:千題萬題源自母題,千變萬變方法不變.

1 題目

如圖1所示,物體與水平面之間的摩擦因數為μ,物體的質量為m,為了使物體在水平面上做勻速直線運動,則拉力的最小值是多少?

圖1 題目圖

2 解析

2.1 方法一:積化和差,方顯物理的數學本質

設拉力為F,拉力與水平面的夾角為θ,對物體進行受力分析后,得

上式中的分子為一個定值,只要能求出分母的極值就可以得到拉力的最小值.

2.2 方法二:矢量三角形,盡顯平面幾何的魅力

如圖2所示,可以將地面的支持力與摩擦力合成為一個力,它與豎直方向的夾角為α,則tanα=μ.三物體受到的三個力的矢量可以組成一個閉合的矢量三角形,再根據點到直線垂線段最短,可以得

圖2 矢量三角形

2.3 方法三:判別式法,體現代數的無窮能力

設cosθ+μsinθ=a,則化簡消去cosθ得

(1+μ2)sin2θ-2aμsinθ+a2-1=0

因為sinθ有解,所以上面的等式中的Δ≥0,可以求得

(2aμ)2-4(1+μ2)(a2-1)≥0,

整理后得

2.4 方法四:柯西不等式,具有深入淺出的能力

2.5 方法五:向量點乘,也可以化腐朽為神奇

圖3 向量法

上式中的α為兩個向量的夾角,當且僅當它們夾角為零時,向量積有最大值,即

2.6 方法六:函數求導,讓復雜的問題簡單化

將cosθ+μsinθ對角度求導并使其為零,則

2.7 方法七:勾股定理,也可以另辟蹊徑

如圖4所示,構造下面的直角梯形ABED,取∠ACD=θ,AC=1,BC=μ,則AG=cosθ+μsinθ

圖4 構造圖形法

2.8 方法八:構造對偶式,柳暗花明又一村

令a=cosθ+μsinθ,其對偶式為b=sinθ-μcosθ

將這兩個式子的平方相加得:

a2+b2=1+μ2

2.9 方法九:線性規劃,也可以妙筆生花

如圖5所示,令圓和直線分析為,x2+y2=1,z=x+μy=cosθ+μsinθ,則

圖5 線性規劃法

當直線z=x+μy平移到與圓相切時最大,根據點到直線距離求出

所以拉力的最小值為

2.10 方法十:極坐標方程,完美再現解析幾何的威力

圖6 極坐標法

當ρ2有最大值時,ρcosθ+μρsinθ最大,即cosθ+μsinθ=ρ有最大值.

ρ2=x2+y2即圓上點到原點的距離.

3 兩道例題

下面通過兩道例題來展示這道母題的特點與規律.

例1如圖7所示,質量m=5.2 kg的金屬塊放在水平地面上,在斜向右上的拉力F作用下,向右以v0=2.0 m/s的速度做勻速直線運動.已知金屬塊與地面間的動摩擦因數μ=0.2,g=10 m/s2.求所需拉力F的最小值.

圖7 例1題圖

例2如圖8(a)所示,木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變,當θ=30°時,可視為質點的一小物塊恰好能沿著木板勻速下滑.如圖8(b),若讓該小物塊從木板的底端每次均以大小相等的初速度v0=10 m/s沿木板向上運動,隨著θ的改變,小物塊沿木板向上滑行的距離x將發生變化,重力加速度g取10 m/s2.

圖8 例2題圖

(1)求小物塊與木板間的動摩擦因數;

(2)當θ角滿足什么條件時,小物塊沿木板向上滑行的距離最小,并求出此最小值.

4 結束語

通過以上十種方法的分析不難發現,在物理題目中處理極值問題時,方法基本都是數學中的常見的知識,平面幾何、解析幾何、向量法、判別式法、不等式法都是用武之地,就是線性規劃也能有精彩的分析.這樣的分析方法不僅體現了物理學科數學本質,也充分證明了數學思想的多樣性和靈活性.