一道圓錐曲線中直線過定點問題的多角度探究

龔條枝

(福建省安溪藍溪中學(xué),福建 泉州 362441)

圓錐曲線中直線過定點問題往往以壓軸題形式出現(xiàn),因運算量大,成為大多數(shù)考生獲得高分的“攔路虎”.本文從一道具體證明題出發(fā),通過一題多證,并進行解法的比較與選擇,達到拓展學(xué)生思維、提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

1 題目呈現(xiàn)

2 解法探析

(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.

設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則

△=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)>0.

即1+3k2>m2.

所以y1y2-(y1+y2)+1=-x1x2.

又因為y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以(1+k2)·x1x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=0.

代入韋達定理,并整理得(m-1)(2m+1)=0.

證法2(1)當直線BC斜率為0時,設(shè)lBC:y=n,此時lAB:y=x+1,lAC:y=-x+1.

(2)當直線BC斜率不為0時,設(shè)lBC:x=my+n.

(m2+3)y2+2mny+n2-3=0.

則(m2+1)y1y2+(mn-1)(y1+y2)+1+n2=0.

代入韋達定理,并整理,得(n+m)(2n-m)=0.

由直線方程的點斜式,得

①

因為點B(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓E上,

所以3x1y2+3x1-x2y1+x2=0.

②

所以3x2y1+3x2-x1y2+x1=0.

③

所以x1(y2-t)=x2(y1-t).

交替更換一次有

所以3x1y2-x2y1+3x1+x2=0.

④

再交替更換一次得

所以3x2y1-x1y2+3x2+x1=0.

⑤

證法7 依題意,直線AB與AC的斜率存在,設(shè)lAB:y=k1x+1,即y-k1x-1=0.lAC:y=k2x+1,即y-k2x-1=0.其中k1k2=-1,直線AB與AC的組合用“雙直線方程”表示為 (y-k1x-1)(y-k2x-1)=0.

(y-1)[(k1+k2)x+2y+4]=0.

觀察圖形易知A,B,C的坐標為該方程的三組解.因為點A(0,1),所以B,C兩點的坐標滿足方程(k1+k2)x+2y+4=0,所以(k1+k2)x1+2y1+4=0,(k1+k2)x2+2y2+4=0.所以直線BC的方程為(k1+k2)x+2y+4=0.

聯(lián)立化成關(guān)于x′,y′的二次齊次式,得

x′2+(3+6n)y′2+6my′x′=0.

3 結(jié)束語

以上九種證明方法從不同視角合理解決問題.教學(xué)中應(yīng)有意識引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力;拓展解題思路,提升思維品質(zhì);重視通解通法,總結(jié)和歸納簡化運算的技巧與策略,切實在解析幾何的學(xué)習中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).