尋思路 凝通法 提素養(yǎng)

余鵬 賀建銘

摘要：初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)該重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程，為此教師需要改變“滿堂灌”的觀念.課堂教學(xué)的目的不是教會學(xué)生這道題怎么解，而是讓學(xué)生經(jīng)歷探索解答的過程，歸納多種解法的共性，掌握解決這一類問題的解題思路，提煉解題的通法，最終達到提升學(xué)生素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：解題思路；通法；素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出：重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系.因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該“放下”自身的主體地位，扮演好組織者、引導(dǎo)者的角色，讓學(xué)生通過不斷的思考，嘗試獨立解決問題.只有學(xué)生真正經(jīng)歷過思考探究的過程，才能更加深刻地體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的成就感，才能更有效地助推素養(yǎng)的提升.下文中，筆者以一道幾何題為例，具體闡述在解題教學(xué)中如何教學(xué)生尋思路、凝通法、提素養(yǎng).

1 題目呈現(xiàn)

題目 如圖1，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分線BE與AD交于點E，∠BED的角平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF=2FC，則BC=.

2 尋思路

本題以矩形為背景，作矩形一個直角的角平分線，其實已經(jīng)暗含了45°角，學(xué)生很容易得到△ABE是一個等腰直角三角形.同時題目指出EF是∠BED的角平分線，學(xué)生又可以得到∠EFD=22.5°.再觀察條件，給出了AB=9，DF=2FC，又能進一步得到AE=AB=9，DF=6，CF=3.基于以上信息求BC的長度.

2.1 見角平分線，構(gòu)建等腰三角形

題目的解答，要給學(xué)生獨立思考和自主解答的機會，同時讓學(xué)生嘗試講解，在這個過程中潛移默化培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).這道幾何題的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對題目進行分析，求BC的長度其實就是求DE的長度.由BE平分∠ABC，可以得到△ABE是等腰三角形，類比遷移，EF平分∠BED，能不能也得到一個等腰三角形？引發(fā)學(xué)生思考，圖形中隱藏的等腰三角形在哪里，怎么去構(gòu)造.學(xué)生會順其自然地聯(lián)想到“角平分線+平行線”模型，進一步思考并嘗試解決這個問題.通過尋思路，可以得出以下兩種構(gòu)建等腰三角形的解法.

解法1：如圖2，延長EF交BC的延長線于點G.由題可得△BEG是等腰三角形，即BE=BG且DF=6，CF=3.又因為△DEF∽△CGF，DE∶CG=2，于是設(shè)CG=x，所以DE=2x.又因為△ABE是等腰

解法2：如圖3，過點F作FG∥BC分別交AB，BE于點G，H.可以得到△BGH是直角邊為3的等腰直角三角形，△HEF是等

2.2 見角平分線，作垂直

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，EF是∠BED的角平分線，角平分線除了構(gòu)建等腰三角形外，還有什么用途.學(xué)生立刻想到教材中角平分線的性質(zhì)定理.通過角平分線的性質(zhì)定理，順其自然就能聯(lián)想到作垂直[1].如圖4，

過點F作PF⊥BE于點P，交DA于點Q，

但是只能得到△PEF≌△DEF，∠DFQ=45°，依然無法求出BC的長.啟發(fā)學(xué)生∠DFQ=45°很重要，要充分利用這個條件，所以要圍繞該角構(gòu)建等腰直角三角形DFQ.再次讓學(xué)生思考和解決問題.

解法3：（角平分線作垂直法）如圖4，過點F作FP⊥BE，分別交BE，AD于點P，Q.易得△PEF≌△DEF，所以∠DFQ=45°，即△DFQ和△PEQ都是等腰直角三角形.因此PQ=PE=ED=QF-PF=62-6，則BC=AE+ED=6+3.

2.3 尋特殊角，構(gòu)建特殊的直角三角形

初中幾何問題，還有一種非常重要的解題思想，即圍繞特殊角構(gòu)造直角三角形.比如，圖形中有30°或45°角時，可以構(gòu)造含30°或者45°的直角三角形.這道題中有22.5°，不是一個很特殊的角，但是它與45°存在倍數(shù)關(guān)系.那么，能不能構(gòu)造倍角來解答這道題？

其實22.5°也可以看成一個比較特殊的角，如果能夠求出tan 22.5°的值.這道題就變得更簡單了.如何求tan 22.5°的值？基礎(chǔ)好的學(xué)生很快就會給出如下過程.如圖6，△MNP是等腰直角三角形，在NP的延長線上取一點Q，使得PQ=MP，則tan ∠MQN即為所求.

3 凝通法

選取題目的目的本身就是促進學(xué)生對知識的強化和靈活運用，一題多解顯然能夠有效達到這個目的.以上五種解法復(fù)習(xí)了矩形的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)定理、等腰直角三角形性質(zhì)與判定定理、等腰三角形性質(zhì)與判定定理、三角函數(shù)，以及相似三角形的性質(zhì)和判定定理等.題目解法講完后的總結(jié)更為重要，比如，可以讓學(xué)生將這五種解法分類，然后找出每一類解法的共性.通過分類，可以發(fā)現(xiàn)這道題本質(zhì)是兩種思維：①“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形法（解法1和解法2）；②本題中有已知的角度22.5°，所以構(gòu)造特殊的直角三角形法（解法3～5）.這就是多解歸一，它是對教材知識的升華，讓學(xué)生真正明白這些解法在解題思路上是有共性的，而這種共性恰好就是以后解決此類問題的關(guān)鍵.

4 解題反思

作為一線教師，要與時俱進.在教學(xué)中，我們的目標要從教學(xué)生“學(xué)會”，轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生“會學(xué)”.要想達到這樣的教學(xué)目的，課堂教學(xué)方式就需要轉(zhuǎn)變.

第一，在教學(xué)中滲透類比遷移思想.比如，在解法5中，當學(xué)生求出tan 22.5°的值時，讓學(xué)生類比剛才的解法，嘗試著求tan 15°的值，其目的就是滲透類比遷移的思想，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

第二，一節(jié)好課，教學(xué)思路需要精心設(shè)計，教學(xué)中的題目也要用心挑選.當一道數(shù)學(xué)題涉及到的知識不夠全面時，可以通過一題多變來完善和強化所學(xué)的知識體系.同時，在課堂中滲透解題的通法，讓學(xué)生能夠從“會一題”到“會一類”.比如，在解法2中，再次進行變式，追問線段HF，DE，F(xiàn)D三者之間有何數(shù)量關(guān)系，滲透證明一條線段等于兩條線段和的常用方法.通過這種不斷的變式，一節(jié)課的知識體系會變得越來越完善.

第三，教學(xué)時，讓學(xué)生在解決問題的過程中深度體會模型思想[2]，有利于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個重要內(nèi)涵就是會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，那么教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念就很重要.上文的解題教學(xué)中就滲透了一些解題模型，比如“角平分線＋平行線”模型、截長法模型、出現(xiàn)角平分線作垂直模型、倍角模型等.

第四，教學(xué)活動要凸顯學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生在“知行合一”中促進素養(yǎng)落地.教師作為課堂的組織者、引導(dǎo)者，要引導(dǎo)學(xué)生在正確理解的基礎(chǔ)上，自己動手實踐去解決問題，讓他們在這個過程中體驗思維的來路、分析的思路、解答的出路，激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的求知欲和興趣，增強學(xué)習(xí)信心，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價值.

參考文獻：

[1]趙霞.例析“角平分線”在思路探究中的作用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（16）：61-62.

[2]蒲厚金.二次函數(shù)框架中平行四邊形的存在性問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（8）：47-51.