以“形”換“數(shù)”，化繁為簡

閆旭 湯瓊 魏莉莎 楊婕

摘要：數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)科中扮演著重要角色，它貫穿整個初中數(shù)學(xué)，尤其在解決含參一元一次不等式組問題時，經(jīng)常需要運用數(shù)形結(jié)合的方法解題.文章針對不同類型加以舉例分析說明與總結(jié).

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；一元一次不等式組；含參

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用的一種思維方式，它是代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)相互滲透的產(chǎn)物，具有較高的解題應(yīng)用價值.數(shù)形結(jié)合思想源于“直觀形象”，表現(xiàn)為“經(jīng)驗形態(tài)”[1]，它能夠化繁為簡，將抽象轉(zhuǎn)變成具象，輔助學(xué)生解題.

初中生面對有關(guān)“動點、變量、含參”等具有不確定性的動態(tài)問題時，普遍會感到困惑，這是他們的認(rèn)知從低階到高階、由具象到抽象提升道路上的必經(jīng)之路.在“解一元一次不等式組”教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸找到不等式組的解集.那么遇到含參問題，也可利用數(shù)軸，把原本抽象的字母、不等關(guān)系等具體表示出來，從而簡化題目，準(zhǔn)確求解.下面以“含參一元一次不等式組”為例，說明如何利用數(shù)形結(jié)合思想來教學(xué).

1 數(shù)軸直接判斷型

解集是x3，如圖3重合部分所示，解集為x<3，符合題意，若k+2=3，則解集是x<3，符合題意.綜上k+2≥3，故k≤1.

小結(jié)：此類型問題一般表現(xiàn)為問法直接，且只有一個不等式含參，求參數(shù)取值范圍.一般思路是先整理不等式組，在數(shù)軸上畫出確定的不等式的解，再根據(jù)有解或無解條件大致表示出含參數(shù)的不等式的解，最后確定臨界值即等號的取舍.

2 整數(shù)解分析型

解析：由不等式組m+1

A.－3

B.－3≤m<－2

小結(jié)：此類型問題一般表現(xiàn)為，已知整數(shù)解個數(shù)，且只有一個不等式含參，求參數(shù)的取值范圍.一般思路是先整理不等式組，在數(shù)軸上畫出確定的不等式的解，根據(jù)確定的一支和整數(shù)解個數(shù)推理出另一個不等式解的臨界值在哪兩個整數(shù)之間，最后確定臨界值即等號的取舍.

3 分類討論型

A.a>5或a<2

B.a≥5或a<2

C.a>5或a≤2

D.a≥5或a≤2

解析：解原不等式組，得a

如圖10，當(dāng)a

如圖11，當(dāng)a

綜上，a≤2或a≥5.故選：D.

小結(jié)：此類型問題一般表現(xiàn)為解集不在某個封閉的范圍內(nèi)，或題目條件不明確，而是以“整數(shù)解的和”的形式指出有幾個整數(shù)解.一般思路是先整理不等式組整理，根據(jù)題目條件確定不同情況，再借助數(shù)軸對每種情況具體討論，最后綜上得出答案.

4 總結(jié)

數(shù)形結(jié)合是一種輔助解題的思想方式，不能誤解為完全依賴畫圖得出答案.在“含參一元一次不等式組”解題與教學(xué)時，要先對題目進(jìn)行深入分析和思考，判斷問題類型，理清條件，再借助數(shù)軸來直觀表示，快速準(zhǔn)確建立含參不等式，最后考慮端點問題[2].當(dāng)然，數(shù)學(xué)是一門靈活的學(xué)科，以數(shù)軸的“形”來替代“數(shù)”輔助解題與教學(xué)并非必須，也可以采用口訣“大大取大、小小取小、大小小大找中間、大大小小找不了”直接判斷，需要結(jié)合實際問題靈活運用.

參考文獻(xiàn)：

[1]王永強.數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)過程與階段性表現(xiàn)形態(tài)的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（11）：16-19.

[2]徐樹光.含參一元一次不等式（組）問題求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（22）：58-59.