例談與幾何圖形有關(guān)的計(jì)數(shù)問題

李迎春

［摘 要］與幾何圖形有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，一般以幾何圖形為載體，考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合知識(shí)的應(yīng)用，題目新穎獨(dú)特，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)。文章結(jié)合幾個(gè)典型例題，歸納總結(jié)這一類問題的求解策略，以幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，提高學(xué)生解決問題的綜合能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］幾何圖形；計(jì)數(shù)問題；排列；組合

［中圖分類號(hào)］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號(hào)］ ? ?1674-6058（2024）02-0028-03

在各類數(shù)學(xué)考試中，與幾何圖形有關(guān)的計(jì)數(shù)問題頻頻出現(xiàn)。這類問題一般以幾何圖形為載體，考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合知識(shí)的應(yīng)用，題目新穎獨(dú)特，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)。這類問題該如何破解？本文結(jié)合具體例題進(jìn)行分類解析。

一、“位置關(guān)系”問題

“位置關(guān)系”問題是指結(jié)合幾何圖形的某種特征，利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合知識(shí)加以計(jì)數(shù)的一類計(jì)算問題，通常是計(jì)算圖形中含有多少對異面直線、含有多少個(gè)三角形、含有多少個(gè)平面等。

［例1］（1）若把兩條異面直線叫作“一雙”，則在一個(gè)正方體的十二條棱中可以構(gòu)成異面直線（ ）。

A. [12]雙 B. [24]雙 C. [36]雙 D. [48]雙

（2）從正方體[ABCD-ABCD]的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為四面體的頂點(diǎn)，可得到不同的四面體的個(gè)數(shù)為___________。

（3）在如圖1所示的四棱錐中，頂點(diǎn)為[P]，從其他的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)，使它們和點(diǎn)[P]在同一平面內(nèi)，則不同的取法種數(shù)為___________。

解析：（1）畫出正方體，如圖2所示，與[AB]異面的直線有[B1C1]，[CC1]，[A1D1]，[DD1]，因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢们艺襟w共有[12]條棱，排除重復(fù)計(jì)算的棱，則共有異面直線[12×42=24]（雙）， 故選B。

（2）從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)有[C48]種方法，從中去掉6個(gè)面和6個(gè)對角面，所以有[C48-12=58]個(gè)不同的四面體。

（3）求不同的取法種數(shù)可分為三類。第一類，從四棱錐的每個(gè)側(cè)面上除點(diǎn)[P]外的5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，有4[C35]種取法；第二類，從每個(gè)對角面上除點(diǎn)[P]外的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，有2[C34]種取法；第三類，在過點(diǎn)[P]的側(cè)棱中，每一條棱上的3個(gè)點(diǎn)和與這條棱成異面直線的底面棱的中點(diǎn)也共面，有4[C12]種取法。因此，滿足題意的不同取法共有[4C35+2C34+4C12=56]種。

點(diǎn)評：解答這種幾何背景下的排列組合應(yīng)用問題的思路與一般的排列組合應(yīng)用題一樣，把圖形中隱含的條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有限制條件的排列組合應(yīng)用問題。計(jì)算時(shí)可用直接法，有時(shí)也可用間接法。當(dāng)限制條件較多時(shí)，要合理分類計(jì)算，分別計(jì)算符合題意的排列組合數(shù)。

變式：已知正方形[ABCD]的中心為點(diǎn)[O]，以[A]、[B]、[C]、[D]、[O]中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有 ? ? ? ? ?個(gè)。

解析：根據(jù)題意，如圖3所示，在[A]、[B]、[C]、[D]、[O]中任取3個(gè)點(diǎn)，有[C35=10]種取法，其中不能構(gòu)成三角形的有[AOC]和[BOD]兩種取法，則以[A]、[B]、[C]、[D]、[O]中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有[10-2=8]個(gè)。

二、涂色問題

涂色問題主要包括對幾何圖形中的平面區(qū)域或線段或點(diǎn)進(jìn)行涂色。題目常給出涂色要求，要求求出滿足題意的涂色方案的總數(shù)。

［例2］（1）現(xiàn)有紅、黃、青、藍(lán)四種顏色，對如圖4所示的五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個(gè)不同部分），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個(gè)區(qū)域）的顏色不同，則最多使用三種顏色的不同涂色方案有___________種。

（2）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想。多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面。五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分。古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系。五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化。圖5是五行圖，現(xiàn)有[4]種顏色可供選擇給五行涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色；水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法的種數(shù)是（ ）。

A. [30] ? ? ? ? ? B. [120] ? ? ? C. [150] ? ? ? ? D. [240]

解析：（1）若使用三種顏色，從4種顏色中選3種，有[C34=4]種方法，從3種顏色中選一種涂在[A]處，有3種方法，剩下的[B]、[C]、[D]、[E]、[F]，每塊區(qū)域都有兩種涂色方案，共計(jì)[25]種方案，再減去只是用兩種顏色的情況，則由分步計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色方案數(shù)為[4×3×（32-2）=360]種涂法。若只使用兩種顏色，則有[C24C12=12]種涂法，所以符合要求的涂法種數(shù)有[360+12=372]種。

（2）不妨設(shè)四種顏色分別為[A]、[B]、[C]、[D]。先填涂區(qū)域“火”，有[4]種選擇，設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為[A]。接下來，填涂區(qū)域“土”，有[3]種選擇，分別為[B]、[C]、[D]。若區(qū)域“土”填涂的顏色為[B]，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為[A]、[C]、[D]；若區(qū)域“土”填涂的顏色為[C]，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為[A]、[B]、[D]；若區(qū)域“土”填涂的顏色為[D]，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為[A]、[B]、[C]。綜上所述，區(qū)域“金”填涂[A]、[B]、[C]、[D]的方案種數(shù)分別為[3]，[2]，[2]，[2]。接下來，考慮區(qū)域“水”的填涂方案。區(qū)域“水”填涂[A]的方案種數(shù)為[2×3=6]，填涂[B]的方案種數(shù)為[3+2×2=7]，填涂[C]的方案種數(shù)為[3+2×2=7]，填涂[D]的方案種數(shù)為[3+2×2=7]。接下來，考慮填涂區(qū)域“木”的方案。當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為[A]時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為[B]、[C]、[D]；當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為[B]時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為[C]、[D]；當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為[C]時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為[B]、[D]；當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為[D]時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為[B]、[C]。因此，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色為[A]時(shí)，填涂方案種數(shù)為[6×3+7×2×3=60]。因此，不同的涂色方法的種數(shù)是[4×60=240]。故選D。

點(diǎn)評：對于幾何圖形中的點(diǎn)和線段的涂色問題一般可轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題進(jìn)行處理。對于簡單問題，可直接應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)。當(dāng)平面區(qū)域較多時(shí)，通常有兩種解題思路：一是恰當(dāng)分類，選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，再用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理加以計(jì)數(shù)；二是根據(jù)涂色時(shí)所用顏色數(shù)的多少，進(jìn)行分類處理，再用分類加法計(jì)數(shù)原理加以計(jì)數(shù)。

變式： 如圖7所示，平面上有5個(gè)區(qū)域，現(xiàn)在給它們涂色，要求如下：若區(qū)域相鄰，則不能用同一種顏色來涂。假如現(xiàn)在可供選擇的顏色有四種，那么共有多少種不同的涂法？

解法1：第一步涂①，有4種方法；第二步涂②，有3種方法；第三步涂③，有2種方法；第四步涂④時(shí)分兩類：第一類用余下的顏色，有1種方法；第二類與區(qū)域②同色，有1種方法；第五步涂⑤，有2種方法，所以共有[4×3×2×（1×1+1×2）=72]種。

解法2：（1）取4種顏色：將②④或③⑤視為一個(gè)位置，共計(jì)四個(gè)位置時(shí)，涂色方法有[2A44=48]種；（2）取3種顏色：將②④和③⑤看成兩個(gè)元素，涂色方法有[A34=24]種，所以共有涂色方法[48+24=72]種。

三、行走路徑問題

這類問題一般給出幾何圖形，要統(tǒng)計(jì)從圖中某一點(diǎn)出發(fā)到達(dá)某一點(diǎn)的路徑的總數(shù)，或統(tǒng)計(jì)最短線路。

［例3］（1）如圖8所示，小華從圖中[A]處出發(fā)，先到達(dá)[B]處，再前往[C]處，則小華從[A]處到[C]處可以選擇的最短路徑有（ ）。

A. 25條 B. 48條 C. 150條 D. 512條

（2）（多選題）商場某區(qū)域的行走路線圖可以抽象為一個(gè)[2×2]的正方體道路網(wǎng)（如圖9所示，圖中線段均為可行走的通道），甲在[A]點(diǎn)、乙在[B]點(diǎn)，他們隨機(jī)選擇一條最短的路徑，同時(shí)同速出發(fā)，直到他們分別到達(dá)[B]、[A]兩點(diǎn)為止，下列四種說法中正確的是（ ）。

A.甲從點(diǎn)[A]出發(fā)，過[C1]且到達(dá)[B]點(diǎn)的走法一共有9種

B.甲從點(diǎn)[A]出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)[B]的走法一共有[180]種

C.甲、乙于點(diǎn)[C2]相遇的概率是[425]

D.甲、乙相遇的概率是[1150]

解析：（1）利用組合、分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案。 從點(diǎn)[A]到點(diǎn)[B]的最短路徑有[C46=15]條，從點(diǎn)[B]到點(diǎn)[C]的最短路徑有[C25=10]條，則小華從點(diǎn)[A]到點(diǎn)[C]可以選擇的最短路徑有[15×10=150]條。

（2）對于A項(xiàng)，從點(diǎn)[A]處到點(diǎn)[C1]，需要向上走2步，向前走1步，從點(diǎn)[C1]到點(diǎn)[B]，需要向右走2步，向前走1步，所以甲從[A]必須經(jīng)過[C1]到達(dá)[B]的走法為[C23C23=9]種，A正確。

對于B項(xiàng)，從點(diǎn)[A]到點(diǎn)[B]，一共要走6步，其中向上走2步，向前走2步，向右走2步，所以甲從[A]到[B]的走法為[C26C24C22=90]種，B錯(cuò)誤。

對于C項(xiàng)，甲從點(diǎn)[A]運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[C2]，需要向上、向前、向右各走1步，再從點(diǎn)[C2]運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[B]，也需要向上、向前、向右各走1步，所以甲從點(diǎn)[A]運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[B]，且經(jīng)過點(diǎn)[C2]，不同的走法為[A33A33=36]種；乙從點(diǎn)[B]運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[A]，且經(jīng)過點(diǎn)[C2]，不同的走法也為36種，所以甲、乙兩人在點(diǎn)[C2]相遇的概率為[36×3690×90=425]，C正確。

對于D項(xiàng)，若甲、乙兩人相遇，則甲、乙兩人只能在點(diǎn)[C1]、[C2]、[C3]、[E]、[F]、[G]、[H]處相遇，甲從點(diǎn)[A]運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[C1]，需要向上走2步，向前走1步，再從點(diǎn)[C1]運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[B]，需要向前走1步，向右走2步，所以甲從點(diǎn)[A]運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[B]且經(jīng)過點(diǎn)[C1]的走法為[（C23）4]種，所以甲、乙兩人在點(diǎn)[C1]相遇的走法為[（C23）4]種。同理，甲、乙兩人在點(diǎn)[C3]、[E]、[F]、[G]、[H]相遇的走法都[（C23）2]種。因此，甲、乙兩人相遇的概率為[6×（C23）4+36290×90=1150]，D正確。故本題答案為ACD。

點(diǎn)評：解答這類問題的關(guān)鍵在于利用組合數(shù)去計(jì)算對應(yīng)的走法種數(shù)，如本例第（2）問將從[A]到[B]的路線轉(zhuǎn)變?yōu)?步，其中每一條路線向上的步數(shù)確定后，則對應(yīng)向右的步數(shù)也能確定，因此可以考慮從6步中選取向上或向右的步數(shù)，由此得到的組合數(shù)可表示對應(yīng)路線的走法種數(shù)。

變式：如圖10所示，在某個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，[M]、[N]兩地之間構(gòu)建了整齊劃一的方格形道路之網(wǎng)，其中[A1]、[A2]、[A3]、[A4]分別為位于同一條對角線上的[4]個(gè)交匯處。現(xiàn)在道路網(wǎng)[M]、[N]兩處有甲、乙兩人，他們分別要到[N]、[M]兩個(gè)地方，他們分別隨機(jī)選擇一條沿街的捷徑，即最短路徑，同時(shí)同速出發(fā)，直到到達(dá)[N]、[M]兩處為止。那么下列四種說法中正確的是（ ）。

A.甲從[M]處到達(dá)[N]處共有[120]種走法

B.甲從[M]處出發(fā)，且過[A2]處后到達(dá)[N]處的走法有[64]種

C.甲、乙在[A2]處相遇的概率是[81400]

D.甲、乙兩人相遇的概率為[12]

解析：甲從[M]到達(dá)[N]處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，則甲從[M]處到達(dá)[N]處的方法有[C36=20]種，A選項(xiàng)錯(cuò)誤。

甲經(jīng)過[A2]到達(dá)[N]處，可分為兩步：第一步，甲從[M]經(jīng)過[A2]需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，走法為[C13]種；第二步，甲從[A2]到[N]處需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，走法為[C13]種，所以甲經(jīng)過[A2]到達(dá)[N]處的走法為[C13·C13=9]種，B選項(xiàng)錯(cuò)誤。

甲經(jīng)過[A2]的走法為[C13·C13=9]種，乙經(jīng)過[A2]的走法也為[C13·C13=9]種，所以甲、乙兩人在[A2]處相遇的走法為[C13·C13·C13·C13=81]種，甲、乙兩人在[A2]處相遇的概率為[81C36C36=81400]，C選項(xiàng)正確。

甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在[A1]、[A2]、[A3]、[A4]處相遇，若甲、乙兩人在[A1]處相遇，甲經(jīng)過[A1]處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過[A1]處，則乙的前三步必須向左走，兩人在[A1]處相遇的走法為1種；若甲、乙兩人在[A2]處相遇，由C選項(xiàng)可知，走法為81種；若甲、乙兩人在[A3]處相遇，甲到[A3]處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到[A3]處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以兩人在[A3]處相遇的走法為[C23C13C23C13=81]種；若甲、乙兩人在[A4]處相遇，甲經(jīng)過[A4]處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過[A4]處，則乙的前三步必須向下走，兩人在[A4]處相遇的走法為1種，故甲、乙兩人相遇的概率[1+81+81+1400=41100]，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。故本題選C。

從以上三類問題的分析中不難發(fā)現(xiàn)，要破解這類問題，我們需要熟練運(yùn)用計(jì)數(shù)問題的解題策略，即審清題意，分清排列組合；合理優(yōu)化分類，用好兩個(gè)原理；思考嚴(yán)謹(jǐn)周密，謹(jǐn)防重復(fù)遺漏；直接間接兼顧，基本思路可循；力求一題多解，檢驗(yàn)去偽存真。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）