機械工程專業“計算方法”OBE課程教學改革

唐嘉昌?曾鑫?廖海洋?余江鴻

摘要：針對機械工程專業“計算方法”課程教學中存在的問題導向不明、涉及知識點繁多、計算思想理解困難等問題，提出了基于成果導向教育（Outcome Based Education， OBE）“計算方法”課程改革模式：建立機械工程問題－數學建模－計算求解全過程教學模式，明確問題導向和求解對象；基于機械工程問題，構建基礎知識鏈接圖與數學實驗設計閉環。改革完成有助于提升學生靈活運用算法思路解決機械工程專業問題的能力。

關鍵詞：成果導向教育；計算方法；機械工程專業；知識鏈接；教學閉環

一、前言

通過該課程體系，學生能夠深入理解“計算方法”課程知識和實際工程問題應用場景，提升處理問題、解決問題的能力，教師能夠更準確、合理地評估教學成效，提高教學效率和全方位培養學生的能力，最終實現教學相長的效果。另外，機械工程問題－數學建模－計算全過程教學模式的思路還能夠拓展到其他機械工程專業課程中，助力其他課程的教育教學改革成效。

二、“計算方法”課程教學的現狀分析

機械專業的“計算方法”課程旨在利用計算機技術將數值計算理論應用于解決機械工程專業問題，是各大高等院校機械工程專業的專業必修課，其內容主要包括線性代數方程組解法，插值和逼近建模、數值微積分計算、微分方程求解等。成果導向教育（Outcome based education，OBE）是堅持以學生學習為中心，以成果為導向，反向設計課程體系和教育教學方法的教育模式。目前，針對“計算方法”課程中重數值計算方法理論講解、案例教學缺乏等問題，基于OBE的“計算方法”課程教學改革得到高校教師的廣泛研究。劉玉飛[1]等基于OBE從課程大綱制定到Matlab科學分析軟件應用等幾個方面進行了改革探索。吳鴻韜等[2]針對“計算方法”中重理論輕實踐的問題，引入學科前沿和技術來提高學生實踐能力。葛坤朋等[3]從學習成果、教學手段等方面對“計算方法”課堂進行反向設計。武斌和王冠舒[4]結合中國石油大學信息科學學院的實際情況提出了一種持續性OBE改進方案。熊金泉[5] 采用案例教學法，建立數學模型并編程序實現算法，實現了基于OBE的“計算方法”課程教學改革。然而，上述OBE大部分都是針對理科專業學生提出，未有針對機械工程專業的OBE“計算方法”的課程教育改革的論文出現，而機械工程專業課程體系和應用領域不同，其OBE課程改革的方式和內容理論上也與其他專業課程教育改革有所不同，因此，上述課程教學改革的方式很難應用到機械工程專業的教育教學改革中。機械工程專業“計算方法”課程OBE改革存在若干問題。首先，所授方法與機械工程實際問題聯系較少。現有“計算方法”課程的例題以求解數值問題為主，更偏數學類課程角度，很少涉及實際機械工程案例，學生很難理解所學方法與所學專業之間的聯系，在遇到專業問題時很難將“計算方法”課程中所教授的計算工具用于其中。因此，如何在課程中將0BE有機引入“計算方法”課程中，以提高學生解決機械工程實際問題為導向，反向設計課程體系和教育教學方法是首先需要解決的問題。其次，相關基礎知識拓展少，導致學生理解困難。“計算方法”課程課時較少但內容較多，因此，許多授課老師在有限的課程學時設置中主要講解算法的計算流程而對其中所涉及的高數、線性代數等課程的基本知識介紹較少。而大多數同學對于高數、線性代數等課程的知識掌握并不牢靠，較大程度上導致多數機械工程專業學生對于所提算法的理解困難及其與儲備知識之間的聯系不清的問題。因此，需要教師在講授過程中一方面把課程相關算法思想講透徹，另一方面需要把算法所涉及的基礎知識有所提及，方便學生在學習過程或者課后查漏補缺，提升學生的學習積極性和效率。

針對上述問題，本文將OBE理念與機械工程“計算方法”課程體系有機結合，提出機械工程問題－數學建模－計算全過程教學模式，并在此模式上提出基礎知識鏈接圖教學工具，幫助教師更好地完成機械工程問題－數學建模－計算全過程教學。首先，引入數學建模相關知識作為橋梁，連接機械工程問題與計算方法，設計機械工程問題－數學建模－計算方法全過程教學模式。其次，強化本課程與基礎課之間的聯系并對關鍵知識點進行直接鏈接。最后，通過數學實驗完成整個課程的目標。課程的改革能夠幫助機械工程專業學生成功將不同類別的典型實際工程應用問題與相應的算法類型相結合。基礎知識鏈接圖的引入能夠較直觀地將所學算法的思想與基礎知識之間的聯系表征清楚，易于機械工程專業學生學習；利用數學實驗的方式，引導學生采用“計算方法”中的算法工具獲得實際工程問題的數值解，推動教學完成閉環。

三、機械工程專業“計算方法”OBE課程教學

針對機械工程“計算方法”課程機械工程問題聯系少和相關基礎知識拓展少的問題，基于OBE，以成果為導向，反向設計課程體系和教育教學的教學模式理念，圍繞機械工程專業“計算方法”課程進行改革。機械工程專業“計算方法”課程教學設計，如圖1所示。首先，引入數學建模相關知識作為橋梁，連接機械工程問題與計算方法，設計機械工程問題－數學建模－計算方法全過程教學模式。其次，強化本課程與基礎課之間的聯系并對關鍵知識點進行直接鏈接。最后，通過數學實驗完成整個課程的目標。整個過程是以解決學生處理工程實際問題能力為出發點，以基礎知識鏈接為工具，形成一套完整的反饋系統。機械工程專業“計算方法”OBE課程教學的完成有望打通機械工程實際問題與“計算方法”課程所教授算法之間的壁壘，提升學生解決機械工程實際問題的能力。

（一）機械工程問題－數學建模－計算方法全過程教學

機械工程問題－數學建模－計算全過程教學是基于OBE從“需求”出發的理念。目前，機械工程專業本科生最直接的需求是解決機械工程領域的實際需求。因此，從機械工程問題出發要求能夠建立簡單的線性/非線性、微分方程組等數學模型，通過計算方法對數學模型進行求解，最后對所求數值解進行判斷，如合理，則輸出數值解，如不合理，則回到機械工程實際問題中重新建立更為準確的數學模型。如圖2所示，為機械工程問題－數學建模－計算方法全過程教學圖，在講授課程內容之前，從復雜結構分析、飛行器安全設計以及多體動力學等機械工程問題出發，讓學生真切感受到所講授算法要解決的問題。其次，針對上述問題采用圖論、優化模型或者動態模型等進行建模。再次，引出計算方法對所建模型進行求解，得到方程解、最優解等數值解，并將其代入機械工程問題中進行判斷、反饋評價。最終，確定是否保留數值解。以復雜結構分析問題為例，由于模型是數值模型，因此，首先需要建立關鍵輸出參數（最大應力、應變，質量等）與輸入參數（載荷、尺寸參數等）之間的函數關系，這里需要采用“計算方法”課程中的插值和逼近的建模知識。其次，在建立較為準確的數學模型之后，需要建立非線性方程組進行求解，擬采用“計算方法”課程中的非線性方程組求解算法。最后，將所得數值解代入原問題中進行判別，如符合，則輸出數值解，如不符合，則從數學模型建立和算法選擇兩個方面進行修正，最終獲得合理解。

將機械實際工程問題通過近似、假設或者采用建模分析軟件等建立具有一般意義的解析數學問題需要符合所學算法的應用范圍，在建模的過程中注重建模思路，可以適當忽略或者放寬模型精度。因為，在本科教學階段，學生主要關注機械實際問題到數學模型的大體流程，而非可能涉及復雜科研工具的建模精度或者效率的具體問題。基于數學模型采用所學計算方法進行求解時，需要注意的是所計算的解與機械工程實際問題需求之間的關系與合理性，即觀察計算迭代過程中的病態程度和所得解代表的機械工程中的實際物理意義的合理性。若不合理，說明在建模過程中可能未考慮一些關鍵問題或者影響因素，需重新回到機械工程問題中，并構建新的數學模型。若合理，則輸出數值解并將所得結果應用在實際工程問題中。整個流程的完成，一方面能夠讓學生通過仿真觀察機械工程問題的分析和設計的實際效果，另一方面能讓學生理解發現問題、解決問題的具體過程，積累豐富的問題經驗和教訓，能夠賦予較高的成就感、增加學習積極性和主動性，提升處理問題、解決問題的能力，為之后的升學和工作奠定較好的算法計算能力基礎。

（二）基礎知識鏈接圖與數學實驗設計閉環

將數學建模與計算方法中涉及的關鍵相關基礎知識進行鏈接。鏈接的目的是給遺忘相關知識的學生一個查漏補缺的機會，在縮短學生理解計算方法的時間，提升學習效率，之后將相關計算機語言寫入Matlab軟件進行求解。其次，需要注意的是，如果學生未接觸過Matlab軟件，那么需要在課堂講授過程中對Matlab軟件進行簡單介紹，并讓學生在編程解決問題的過程中熟悉Matlab軟件。如圖3所示，以曲線擬合最小二乘法知識鏈接圖為例，最小二乘法需要通過極小值判斷后建立線性方程組，通過求解線性方程組得到滿足條件的解。因此，在鏈接基礎知識時將高等數學中的極小值判斷和線性代數中的矩陣求解，在教學過程中利用5—10分鐘時間進行講解。最后，將最小二乘法分解成極小判斷、矩陣求解以及基本循環語句進行程序設計，并采用Matlab軟件完成教學閉環。需要注意的是，不同內容所構建的基礎知識鏈接圖是不同的，因此，需要教師逐章逐節地繪制。另外，在Matlab編程中，可以采用逐步遞進的方式，即初始的若干編程課，可以讓學生抄寫程序，或者提供程序的大體結構，引導學生對空余部分進行填寫。

基礎知識鏈接圖與數學實驗設計主要關注計算方法課程講解、關聯的OBE中的反向設計課程體系和教育教學的理論。需要指出的是，反向挖掘計算方法所包含的基礎課知識框架所包含的基礎知識鏈接內容和課堂講解內容不宜過多、時間不宜過長，以點撥為主。建議通過課堂提問、引導，盡量讓學生回憶起來相應的知識，而非重新講授，且在提問和引導中建立一個自適應過程，即從最貼合所學計算方法內容開始，逐漸向基礎挖掘，最終引導至學生所理解的知識為止。因此，所講解的基礎知識的程度和所教授班級學生對于基礎知識的掌握程度有關，對于不同年級或者同一年級的不同班級而言，所提問、引導的內容可能存在一定的差異。從這個角度來說，在知識鏈接的過程中又能反映學生學習為中心的OBE教學思維。基礎知識鏈接圖與數學實驗設計，一方面，能夠降低學生學習“計算方法”課程的門檻，使得學生在入門階段不掉隊；另一方面，能加深學生對于基礎知識的理解和基礎知識與Matlab調用語句間的對應關系，方便學生在之后的學習中串聯基礎知識，有望提升學生在學習本課程乃至其他課程的效率。

四、結語

針對“計算方法”課程教學中存在的機械工程問題聯系少和相關基礎知識拓展少等問題，提出了基于OBE的課程教學改革模式，以學生學習為中心，以成果為導向，反向設計機械工程專業“計算方法”課程體系和教育教學方法。該方法具體步驟為：建立機械工程問題－數學建模－計算求解全過程模型，并在教授計算方法過程中構建基礎知識鏈接圖，鏈接高數、矩陣論等基礎課程內容，提高學生學習效率。最終，利用數學實驗軟件完成計算方法思想在計算機中的實現，進而完成教學閉環。教學改革的完成能夠將機械工程問題與計算方法有機結合，將計算方法與相關基礎知識有機鏈接，有助于學生真正掌握“計算方法”課程知識及靈活運用解決機械工程專業問題的能力，為之后的學習和工作打下良好的基礎。教師能夠更準確、合理地評估教學成效，提高教學效率和全方位培養學生的能力，實現教學相長的效果。另外，所提問題－數學建模－計算全過程教學模式的思路還能夠拓展到其他機械工程專業課程中，為其他課程的OBE教育教學改革提供一定的思路和借鑒。

參考文獻

[1]劉玉飛，許德章，梁利東，等.基于OBE理念的理工科專業《計算方法》課程教學改革探索與實踐[J].教育教學論壇，2018，351（09）：135-137.

[2]吳鴻韜，李智，袁玉倩.《數值分析》課程教學改革：基于OBE的思考與設想[J].軟件導刊（教育技術），2019，18（08）：63-65.

[3]葛坤朋，樊罡一，周慧，等.基于OBE工程教育模式的《計算方法》教學實踐與探索[J]輕工科技，2020，36（11）：125-126.

[4]武斌，王冠舒.OBE視角下數值分析課程改革探索與實踐研究——以中國石油大學勝利學院信息與計算科學專業為例[J].武漢冶金管理干部學院學報，2021，31（01）：72-73.

[5]熊金泉.OBE模式下案例教學法在《數值分析》課程教學中的應用探究[J].南昌師范學院學報，2020，41（06）：50-53.

基金項目：1.湖南工業大學教學改革研究項目（項目編號：2022YB15，2022YB17）；2.湖南省學位與研究生教育改革研究項目（項目編號2020JGYB211）；3.湖南省教育科學“十四五”規劃課題（課題編號XJK21CGD02）；4.湖南省研究生教學改革研究項目（項目編號2022JGYB186）

作者單位：湖南工業大學機械工程學院

責任編輯：周航