一種多誤差因素影響下的空間誤差建模方法*

耿瑞漢 陶浩浩 李同杰 范晉偉 黃 成

（①安徽科技學院機械工程學院，安徽 滁州 233100；②北京工業大學材料與制造學部，北京 100124）

數控機床作為工業領域的工作母機，在航空航天、汽車、輪船、重型發電機等領域應用廣泛。隨著科技的發展，人們對數控機床加工精度的要求越來越高，誤差補償和精度優化設計是提升機床加工精度行之有效的途徑[1-2]，而準確預測機床加工精度是實現誤差補償和精度優化設計的前提條件[3]。

近年來，在機床加工精度預測建模方面，國內外學者已經做出了大量的研究工作。柏衡等[4]提出了基于多體系統理論的數控機床綜合誤差建模方法，通過對機床拓撲結構、誤差元素、坐標系之間的變換矩陣分析，建立了特定數控機床的空間誤差模型，為后續機床的誤差補償，提供了計算依據。項四通等[5]建立了基于幾何誤差的五軸機床空間誤差模型，通過測量和辨識了平動軸和旋轉軸的所有41 項幾何誤差，建立了五軸機床的空間誤差統一模型，并自主開發了五軸機床空間誤差補償仿真平臺，從而提高了五軸機床的整體精度。郭前建等[6]以雙主軸五軸機床為研究對象，通過對各種加工位置等相關性因素分析，以現有的多種誤差建模方法為基礎，提出一種基于幾何誤差的機床空間誤差多模型預測方法，最后利用補償器補償，效果甚佳。范晉偉等[7]以DZ08FX 型雙主軸五軸機床為研究對象，建立了基于幾何誤差的空間誤差運動模型，通過機床拓撲結構分析、相鄰關鍵零部件運動坐標系的建立、體間特征矩陣的建立、幾何誤差分析和相對約束方程的建立，系統地推導出空間誤差運動模型，為后續的辨識和補償工作奠定了理論基礎。郭世杰等[8]為實現數控機床的精準建模，基于多體系統理論和齊次坐標法建立了機床幾何誤差空間模型，并通過擬合優度量化幾何誤差的預測模型實驗結果證明了預測方法的正確性。章子玲等[9]以幾何誤差為研究對象，通過獲得幾何誤差分布參數的影響分布，建立一種機床綜合誤差模型，最后通過案例分析驗證了該方法的正確性。王艷紅等[10]提出了一種五軸機床誤差建模及補償方法，通過誤差分布特征，建立基于幾何誤差的誤差分布模型，在Matlab 環境下進行仿真研究，驗證了所提出方法的有效性。張根保等[11]在給出機床關鍵結合誤差參數后，提出了一種新的幾何誤差辨識方法，利用多體系統理論建立了機床幾何誤差和綜合誤差的映射關系模型，最終成功辨識出16 項影響機床精度的關鍵幾何誤差，為后續的精度優化設計提供了理論基礎。王洪樂等[12]針對多軸聯動數控機床的加工精度誤差補償問題，基于多體系統理論建立了基于幾何誤差的機床空間誤差模型，分析了B-A 擺頭五軸龍門數控機床的拓撲結構關系、低序體陣列、各典型體坐標變換，并采用參數辨析算法，測量和計算了機床的幾何誤差，為精度幾何誤差預測函數提供有效參量，為后續的誤差補償提供了理論基礎。

縱觀現有的研究文獻，研究者們在機床空間誤差建模等方面開展了大量的研究工作，也取得了一定的研究成果，但所建立的空間誤差模型卻較少考慮由于機床自重引起的刀尖點處偏移量，導致空間誤差模型的預測精度與實際結果存在偏差。為了解決上述問題，本文提出一種綜合考慮幾何誤差和機床自重引起的刀尖點處偏移量的空間誤差建模方法，邏輯框架如圖1 所示。

圖1 邏輯框架圖

首先，以多體系統理論和齊次坐標變換原理為基礎，建立基于幾何誤差的機床空間誤差模型，其次研究由于機床自重引起刀尖點處偏移量隨加工位置的變化規律，利用正交實驗法選出樣本點，通過仿真分析計算各樣本點處的刀尖點偏移量，然后通過響應面分析，建立機床自重引起的刀尖點處偏移量模型，從而建立一種綜合考慮幾何誤差和機床自重引起刀尖點處偏移量的空間誤差模型。最后，通過對比預測結果和實驗結果，驗證所提出方法的正確性。

1 建立機床空間誤差預測模型

由于多體系統理論具有較強的綜合性和概括性，可全面考慮各種綜合誤差影響關系，因而其廣泛應用于復雜的機械系統運動誤差建模。本文以LINEARMILL-600HD 五軸聯動數控機床為例，基于多體系統理論將該機床進行簡化分析，機床結構如圖2 所示，將該機床抽象為一個由刀具分支和工件分支組成的多體系統，拓撲結構如圖3 所示，以多體系統理論和齊次坐標變換原理為基礎，建立基于幾何誤差的機床空間誤差模型。

圖2 LINEARMILL-600HD 五軸機床結構示意圖

圖3 LINEARMILL-600HD 五軸機床拓撲結構示意圖

以多體系統理論為基礎，得出工件坐標系內待加工點在機床坐標系內的位置矢量為

刀具中心點在機床坐標系內的位置坐標矢量為

式中：rt表示刀具中心點在刀具坐標系中的位置矢量。在實際加工過程中，為了實現高精密加工，需要滿足工件坐標系內待加工點與刀具中心點重合，即：

綜合式（1）～式（3）得：

其次，在理想狀態下的刀具中心點和工件坐標系內待加工點重合，其位置矢量為

因此，機床的空間誤差模型為式（4）減式（5）：

式中：Ex為空間誤差在X方向上的分量；Ey為空間誤差在Y方向上的分量；Ez為空間誤差在Z方向上的分量。由于機床幾何誤差隨加工位置不斷變化，本文對用于空間運動誤差模型計算時的該機床的幾何誤差進行了數據擬合，得到了幾何誤差隨加工位置的變化規律，由于篇幅有限，本文僅展示平動軸（X軸）的部分幾何誤差模型：

2 機床自重引起的刀尖點處偏移量

由于機床自重會造成刀尖點處發生偏移，影響機床空間誤差模型的預測精度，因此本文擬將該偏移量考慮到機床空間誤差模型中。機床X軸行程范圍為0～600 mm，機床Y軸和Z軸行程范圍均為0～500 mm，以初始極限點作為坐標零點，X軸每120 mm 選取1 個點，Y軸和Z軸每100 mm選取1 個點，同時采用正交實驗法選出25 組加工坐標點，選點結果見表1，利用Workbench 2021 R1 對樣本點處機床自重引起刀尖點處偏移量進行仿真分析。

表1 加工位置坐標點 mm

首先，將機床三維模型導入到Workbench 2021 R1 軟件中，如圖4 所示。其次，賦予機床各個關鍵零部件的材料屬性，使定義材料屬性后的模型重量接近于實際機床自重，進行網格劃分，網格單元大概為254 515 個，節點為514 815 個。然后，添加標準地球重力、固定支撐、圓柱形支撐、位移約束等載荷和關鍵約束條件，如圖5 所示。

圖4 三維模型導入

圖5 添加邊界條件

最后，通過有限元分析得到X、Y、Z的3 個方向上機床自重引起的刀尖點處的偏移量，由于仿真分析數據過多，本文僅以第15 組為例，即加工坐標點為x=360 mm、y=500 mm、z=200 mm，得出在X、Y、Z的3 個方向上由于機床自重引起刀尖點處的偏移量。如圖6a 所示，在X方向上機床自重引起的刀尖點處偏移量為8.326 μm；如圖6b 所示，在Y方向上機床自重引起的刀尖點處偏移量為7.531 μm；如圖6c 所示，在Z方向上機床自重引起的刀尖點處偏移量為1.378 μm。

圖6 機床自重引起的刀尖點處偏移量

從表2 中25 組仿真實驗數據可以明顯看出，由于自重引起的刀尖點處偏移量隨機床加工位置在X、Y、Z的3 個方向上變化趨勢較為穩定，為后續機床自重引起刀尖點處偏移量模型提供了計算依據。

表2 刀尖點處偏移量 μm

3 建立刀尖點處偏移量模型

為了更加直觀地展現由于機床自重引起的刀尖點處偏移量隨加工位置的變化規律，根據表2 中25 組機床自重引起刀尖點處偏移量結果，利用Design-Expert12 對25 組實驗結果進行響應面分析，得出以下規律：

在X方向上機床自重引起刀尖點處偏移量，如圖7 所示，其多項式可表示為

圖7 X 方向上刀尖點處偏移量

在Y方向上機床自重引起刀尖點處偏移量，如圖8 所示，其多項式可表示為

圖8 Y 方向上刀尖點處偏移量

在Z方向上機床自重引起刀尖點處偏移量，如圖9 所示，其多項式可表示為

圖9 Z 方向上刀尖點處偏移量

綜上，在X、Y、Z的3 個方向上由于機床自重引起刀尖點處偏移量隨位置變化趨勢較為穩定，能夠準確地預測機床加工空間內任意一點的由于機床自重引起刀尖點處的偏移量。最終，綜合式（7）～式（10），建立一種綜合考慮幾何誤差和機床自重引起刀尖點處偏移量的空間誤差預測模型，即：

4 仿真分析和實驗驗證

4.1 仿真分析

根據章節3 建立的一種綜合考慮幾何誤差和機床自重引起刀尖點處偏移量的空間誤差預測模型，利用Matlab R2021b 進行加工誤差仿真分析，加工誤差預測流程如圖10 所示。

圖10 加工誤差預測流程圖

本文以LINEARMILL-600HD 五軸數控機床為研究對象，該機床為搖籃式結構的五軸數控機床，具有較高的材料切除率、較少的刀具替換次數、較高的加工效率等優點，廣泛用于汽車、航空航天等對自由曲面要求較高的工藝加工領域，LINEARMILL-600HD 五軸數控機床主要技術參數見表3。

表3 LINEARMILL-600HD 五軸數控機床主要技術參數

由于“S”形試件可用于機床驗收、數控機床的精度檢測[13-14]，通過了國際認證檢測標準，具有較好的工程實驗性，因此本文選用“S”形試件來驗證仿真實驗結果的正確性。首先利用UG 對“S”形試件三維建模和刀具軌跡編程，其次輸入“S”形試件加工程序代碼，具體流程如圖11 所示。然后利用前文所建立的一種綜合考慮幾何誤差和機床自重引起刀尖點處偏移量的空間誤差預測模型。此外，幾何誤差量采用激光干涉儀和球桿儀并結合參考文獻[15-16]中的幾何誤差辨識方法獲得。同時結合獲得的“S”形試件對應的NC 指令，最終可以得到“S”形試件的輪廓度誤差。

圖11 “S”形試件的數控指令代碼生成流程圖

4.2 實驗驗證

本文將利用LINEARMILL-600HD 五軸數控機床對“S”形試件進行銑削加工。“S”形試件材料和尺寸參數見表4，銑削加工采用φ20 mm 棒銑刀。

表4 “S”形試件的尺寸和參數

根據參考文獻[17]可知，為便于檢測“S”形試件的輪廓度誤差，如圖11 所示，沿著“S”形試件的緣高方向選取3 條檢測線，即L1、L2、L3，在緣高方向上，距緣高頂部方向5 mm 處為L3 檢測線，L2、L1 檢測線均沿緣高反方向12.5 mm 依次排列，在這3 條檢測線上分別均勻的選取25 個檢測點，共計75 個檢測點，其分布圖如圖12 所示。

圖12 “S”形試件輪廓度誤差檢測點位置

首先利用UG 對“S”形試件三維建模和刀具軌跡編程，其次輸入“S”形試件的加工程序代碼，利用LINEARMILL-600HD 五軸聯動數控機床對“S”形試件進行銑削加工。為了驗證本文提出的一種綜合考慮幾何誤差和機床自重引起刀尖點處偏移量的空間誤差預測模型的準確性和可行性，本文利用LINEARMILL-600HD 五軸聯動數控機床對“S”形試件進行銑削加工，實際加工如圖13 所示。

圖13 “S”形試件實際加工現場

本文利用海克斯康三坐標測量機對“S”形試件的輪廓度誤差進行測量，圖14 所示為實際測量現場。

圖14 “S”形試件的測量現場

由于前文仿真分析時計算了所有刀位點的輪廓度誤差，但實際僅測量了L1、L2、L3 檢測線上的75 個點位，并沒有仿真實驗數據豐富。并且在實際銑削加工過程中，受溫度、幾何誤差、熱誤差等因素的影響，導致實際測量值會在仿真分析數據曲線附近波動，但從圖15 中可以看出，仿真數據和實驗數據變化趨勢基本相同。

圖15 仿真和實驗獲得的“S”形試件在L1、L2 和L3 處的輪廓度誤差

為了更加直觀地反映所提出綜合空間誤差模型的準確性，通過對比實驗數據和仿真數據獲得的“S”形試件檢測的輪廓度誤差，見表5，可以看出3 條檢測線上L1、L2 和L3 的平均輪廓度誤差的殘差值分別為0.003 1 mm、0.002 8 mm、0.004 2 mm，與實際測量結果相比，殘差值較小且低于測量結果的10%，因此，可以證實所提出的一種綜合考慮幾何誤差和機床自重引起刀尖點處偏移量的空間誤差模型的正確性。

表5 “S”形試件平均輪廓度誤差對比

5 結語

（1）以多體系統理論和齊次坐標變換原理為基礎，建立了基于幾何誤差的機床空間誤差模型，然后揭示了由于機床自重引起的刀尖點處偏移量隨加工位置的變化規律，建立了刀尖點處偏移量模型，最終提出了一種綜合考慮幾何誤差和機床自重引起刀尖點處偏移量的空間誤差模型。

（2）為了驗證所提出方法的正確性，選取“S”形試件作為研究對象，進行仿真分析和實驗驗證，通過對比預測結果和實驗結果發現獲得的“S”形試件的輪廓度誤差變化趨勢基本相同，并且兩者殘差值較小且低于測量結果的10%。因此，驗證了本文提出方法的正確性。