把握數(shù)量關(guān)系 發(fā)展模型意識(shí)

林清 徐慧麗

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類的問題，是數(shù)學(xué)運(yùn)用的基本途徑；能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋。現(xiàn)以“混合運(yùn)算”第一課時(shí)“乘加、乘減混合運(yùn)算及其運(yùn)用”為例，探討教學(xué)中如何促進(jìn)學(xué)生模型意識(shí)的形成，提升思維品質(zhì)，引領(lǐng)問題解決。“乘加、乘減混合運(yùn)算及其運(yùn)用”這部分內(nèi)容，是在解決現(xiàn)實(shí)問題的過程中，經(jīng)歷抽象出混合算式的過程，理解混合算式的意義和運(yùn)算順序。乘加、乘減混合運(yùn)算的本質(zhì)就是加法模型“總量=分量+分量”，在以往的教學(xué)過程中，教師受限于傳統(tǒng)教學(xué)方法，學(xué)生對(duì)相關(guān)科學(xué)概念的理解僅停留在表面，也很少能夠通過模型意識(shí)的滲透建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。所以這節(jié)課嘗試從溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系出發(fā)，保持?jǐn)?shù)量關(guān)系教學(xué)的整體性和一致性，引領(lǐng)問題解決，從中發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí)。

一、回歸數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，滲透模型意識(shí)

模型意識(shí)是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，是形成模型觀念的基礎(chǔ)。教師在課堂教學(xué)中要注重回歸概念本質(zhì)，在學(xué)生積極、主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過程中滲透模型意識(shí)。例如，本課伊始，教師進(jìn)行以下教學(xué)片段：

師：同學(xué)們?cè)谝荒昙?jí)就已經(jīng)學(xué)習(xí)過了加法的意義，你能用語言和手勢(shì)表示加法的意義嗎？

生：加法表示將一部分?jǐn)?shù)量和另一部分?jǐn)?shù)量進(jìn)行“合并”，數(shù)量會(huì)增加。（同時(shí)用手勢(shì)表示）

師：我們可以用這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的式子“總量=分量+分量”來表示你剛才所描述的加法的意義，我們稱之為加法模型。

師：我們生活中有很多情境和問題都可以通過這個(gè)加法模型來解決，你能舉例嗎？

以上教學(xué)過程，教師“瞻前顧后”，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)回顧的過程，滲透模型意識(shí)，初步建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，為建構(gòu)完整的“總量=分量+分量”的加法模型做鋪墊。

二、經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，培養(yǎng)模型意識(shí)

教師在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，要結(jié)合學(xué)生年齡特征和學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，感受數(shù)學(xué)模型的優(yōu)越性，形成初步的模型意識(shí)。

1.構(gòu)建加法模型原始問題。

課件出示例1圖片和問題。

師：這是我們二年級(jí)上冊(cè)解決過的一個(gè)問題，解決“笑笑一共需要多少元”這個(gè)問題的思路是什么？

生：用1架飛機(jī)的價(jià)格加1輛坦克的價(jià)格就是總價(jià)錢。

教師板書：1架飛機(jī)的價(jià)格+1輛坦克的價(jià)格=總價(jià)錢

師：如何用算式來表示？

生：12+9=21（元）。

以上教學(xué)過程，教師再次使用二年級(jí)課本中出現(xiàn)的情境作為原問題，建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，舊問題、新解決。通過問題，引領(lǐng)學(xué)生把握數(shù)量關(guān)系，并通過板書“1架飛機(jī)的價(jià)格+1輛坦克的價(jià)格=總價(jià)錢”將數(shù)量關(guān)系從語言表征過渡到符號(hào)表征，再次滲透模型意識(shí)，將實(shí)際問題進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化。

2.改變?cè)紗栴}的條件。

師：如果我把問題中的1輛坦克變成2輛坦克。

課件出示例2：笑笑買了1架飛機(jī)和2輛坦克，一共需要多少元？

師：要想解決這個(gè)問題，需要什么信息？

生：需要知道一架飛機(jī)12元（飛機(jī)的價(jià)格），一輛坦克9元（坦克的價(jià)格）。

師：解決這個(gè)問題的思路是什么，你能找到信息和問題之間數(shù)量關(guān)系嗎？

生：2輛坦克的價(jià)錢和1架飛機(jī)的價(jià)錢就是總價(jià)錢。

教師板書：2輛坦克的價(jià)格+1架飛機(jī)的價(jià)格=總價(jià)錢

師：如何根據(jù)上面這個(gè)數(shù)量關(guān)系列算式？

個(gè)別作品展示，組織學(xué)生交流算式的意義，探討混合算式的運(yùn)算順序。

算式一：

9×2=18（元），12+18=30（元）。

算式二：

9×2+12=30（元）。

算式三：

12+9×2=30（元）。

師：以上這三個(gè)算式的結(jié)果都是一樣的，先計(jì)算什么？再計(jì)算什么？

生：都是先算2輛坦克的價(jià)錢，然后再計(jì)算2輛坦克和1架飛機(jī)的總價(jià)錢。

師：你認(rèn)為這道題符合我們的加法模型“總量=分量+分量”嗎？?jī)蓚€(gè)分量分別是什么？

生：這兩個(gè)分量分別指2輛坦克的價(jià)錢和1架飛機(jī)的價(jià)錢。

師：那如果買3輛坦克和1架飛機(jī)；

4輛坦克和1架飛機(jī)；

……

解題思路是否一致？先算什么？再算什么？

以上教學(xué)過程，通過改變?cè)紗栴}的條件，讓學(xué)生在變中發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題的模型（數(shù)量關(guān)系）沒有變，都是用若干坦克的價(jià)錢+1架飛機(jī)的價(jià)錢=總價(jià)錢，從而感受數(shù)學(xué)模型和實(shí)際問題之間的關(guān)系，拓展了學(xué)生的思維。

3.變換信息和問題。

課件出示例3：笑笑有30元，正好買了1架飛機(jī)和2輛坦克，一輛坦克9元，一架飛機(jī)多少元？

師：如果我把這道題的信息和問題進(jìn)行變換，你能找到這道題的數(shù)量關(guān)系嗎？

生：跟剛才那道題的數(shù)量關(guān)系是一樣的，因?yàn)?0元正好買了1架飛機(jī)和2輛坦克，所以1架飛機(jī)的價(jià)格+2輛坦克的價(jià)格=總價(jià)錢。

師：如何根據(jù)數(shù)量關(guān)系解決這道題？

生：加減法是互逆的，用30元減去2輛坦克的價(jià)錢，就是1架飛機(jī)的價(jià)錢。

師：列算式并計(jì)算。

學(xué)生自主完成，教師進(jìn)行作品展示，全班交流乘減混合算式的意義和運(yùn)算順序。

師：仔細(xì)觀察這三個(gè)例題和所對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，有什么相同或者不同，它們的算式是否都可以用我們的加法模型“總量=分量+分量”轉(zhuǎn)換而來？

生：雖然信息和問題在變化，但是它們的數(shù)量關(guān)系是一致的。

以上教學(xué)過程，通過對(duì)一個(gè)問題進(jìn)行擴(kuò)展、互逆等各種變換，讓學(xué)生保持同類問題的解決思路，當(dāng)遇到更復(fù)雜的問題時(shí)，也能從更高的層面上，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題。

三、重視數(shù)學(xué)模型運(yùn)用，強(qiáng)化模型意識(shí)

模型意識(shí)是學(xué)生溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的重要橋梁，是實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的一大助力，同時(shí)也是初中階段學(xué)生形成模型觀念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。教師在教學(xué)過程中、特別是練習(xí)、運(yùn)用環(huán)節(jié)，要注重拓展生活情境，重視數(shù)學(xué)模型運(yùn)用，從中強(qiáng)化模型意識(shí)。

如，本課的練習(xí)，可以這樣進(jìn)行設(shè)計(jì)：

1.說一說，再列式算一算。

2.想一想，應(yīng)找回多少元？

3.一共能坐多少人？

以上教學(xué)過程，教師先是讓學(xué)生用圖來直觀展示情境中所蘊(yùn)含混合運(yùn)算中的加法模型；同時(shí)情境中隱含事物有規(guī)則地排列，從形的角度再次體會(huì)乘法的意義。此外，多樣化的生活情境，讓學(xué)生體會(huì)到問題背景不同，但數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同時(shí)，可以采用相同的方法解決，建立起“總量=分量+分量”這個(gè)數(shù)量關(guān)系的深刻認(rèn)識(shí)。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，既是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一。