參數估計與假設檢驗理實一體化教學探索

陳學云

摘 要 文章在闡明標準正態分布分位數、置信水平、置信區間和樣本均值的抽樣分布的基礎上，通過計算樣本均值落在總體均值兩側任何位數抽樣標準差范圍內的概率，運用中心極限定理建立總體均值的參數估計區間； 根據估計區間，提出假設檢驗的基本思想，明確雙側檢驗和單側檢驗的拒絕域，并提醒學生左側檢驗與右側檢驗容易誤判的地方；通過引例，實施理實一體化教學，邊講原理邊做實驗，化抽象為具體，從具體再到抽象，消除學生對參數估計和假設檢驗的畏懼感，明晰推導思路，讓學生在完成操作任務的過程中學習統計學知識。

關鍵詞 參數；區間估計；假設檢驗；理實一體化教學

中圖分類號：G642?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.9.047

Integration of Theory and Practice Teaching Exploration of the Principle of

Estimation Interval Estimation and Hypothesis Testing of Parameters

CHEN Xueyun

（School of Economics and Management， Chuzhou University， Chuzhou， Anhui 239000）

Abstract On the basis of elucidating the sampling distribution of standard normal distribution quantiles， confidence levels， confidence intervals， and sample means， the article calculates the probability that the sample mean falls within the sampling standard deviation range of any digit on either side of the population mean， and uses the central limit theorem to establish the parameter estimation interval of the population mean. Based on the estimated interval， propose the basic idea of hypothesis testing， clarify the rejection domains of bilateral and unilateral tests， and remind students of the areas where left and right tests are prone to misjudgment. By citing examples， implementing integrated teaching of theory and practice， teaching principles while conducting experiments， transforming abstract concepts into concrete ones， and moving from concrete to abstract ones， students' fear of parameter estimation and hypothesis testing is eliminated. The reasoning process is clarified， allowing students to learn statistical knowledge while completing operational tasks.

Keywords parameters; interval estimation; hypothesis testing; integrated teaching of theory and practice

現行的本科統計學（非統計學專業）教材對于參數估計和假設檢驗原理的講解大致有下列兩條思路：一是先計算樣本均值落在總體均值兩側任何倍數的標準誤差范圍內的概率，然后利用樣本均值與總體均值的對稱性解釋置信區間建立的原理；二是利用中心極限定理和標準正態分布的分位點定義建立置信區間。前者顯得有些抽象，學生難得要領；后者顯得煩瑣，學生不易理解。本文嘗試結合案例，使用理一體化教學方式綜合這兩種思路，進一步明晰置信區間的建立過程，使學生更易理解。假設檢驗則利用參數估計區間確定拒絕域來實現，消除學生抽象感。

理實一體化教學是一種采用理論與實踐有機結合的方式，促進學生認知能力發展和實踐能力提高的混合式教學方式。在參數估計和假設檢驗的教學中，全面突出教學做一體，將每個知識點視為一個模塊，并完成一個實驗操作任務，采用示范教學法、分組操作等多種教學方法，讓學生在完成任務的過程中學習統計學知識。通過實例，在講解理論的同時進行實驗（統計軟件）操作，有利于學生對參數估計和假設檢驗基本原理的深刻理解，突破教學難點。

1? 參數估計與假設檢驗

1.1? 參數估計

參數估計是在抽樣及抽樣分布的基礎上，根據樣本統計量來推斷總體參數的過程；點估計是指通過樣本數據得到總體參數的一個單值估計。點估計的常用方法有矩估計、極大似然估計、最小二乘法和順序統計量法等，它不考慮估計的誤差，直接用樣本估計量估計總體的參數。區間估計是指通過樣本數據得到總體參數的一個區間估計，是在點估計的基礎上估計總體參數所在的區間范圍。在區間估計中，我們能給出一個范圍，有一定的把握說這個區間包含真實參數值。常用的區間估計方法包括置信區間和預測區間。置信區間是用于估計總體參數的一個范圍，而預測區間則是用于估計未來觀測值的范圍。

1.2? 假設檢驗基本原理

假設檢驗是根據樣本信息對總體某特征值做出決策判斷，但抽樣有其偶然性。因此，要判斷抽樣結果是偶然性在起作用還是系統誤差造成的，需給出一個量的界限（臨界值），如果超出這一界限，則抽樣結果是由系統誤差造成的。具體運用小概念原理加以判斷（概率反正法）：假定原假設成立，如果小概率事件在一次試驗中竟然發生了，則拒絕原假設；若原假設正確，則某個統計量（計算樣本值與假設值差異的大小）落入某個區域（拒絕域）是一小概率事件，如果該統計量的值真的落入該區域，則說明原假設不可信，有理由拒絕之。

2? 引例

一個班級共有60名學生，身高服從正態分布。假定該班學生平均身高為170cm，標準差為6.08cm，試估計該班學生身高在160cm到180cm之間的人數。

該問題可以歸結為求該班學生身高落在[160，180]cm區間上的概率，可用SPSS函數CDF.Normal（180，170，6.08）-CDF.Normal（160，170，6.08）計算之。學生操作統計學軟件，邊實驗邊學理論，達到理實一體化教學效果。得到的結果大約為0.9，說明該班大概有90%的學生（54個）身高在160cm到180cm之間。

那么，如果以170cm為中心構建一個區間，要求落在該區間上的概率為0.9，則該區間一定為[160，180]，這個區間稱為置信水平（置信度）為90%的置信區間。若對該班學生的身高進行標準化處理，則該班學生的身高服從標準正態分布，置信區間轉換為[-10/6.08，10/6.08]，約為[-1.645，1.645]。我們把Z0.05=1.645稱為此標準正態分布的上分位數，Z0.95=-Z0.05=-1.645稱為此標準正態分布的下分位數。

3? 參數的區間估計

3.1? 解釋分位數

解釋分位數是連續分布函數中的一個數，這個數對應的概率為。上分位數是指使得標準正態分布中有一定比例的數據大于等于該值的臨界點；下分位數是指使得標準正態分布中有一定比例的數據小于等于該值的臨界點。

3.2? 解釋置信水平與置信區間

置信水平表示我們對于置信區間的可信程度，通常以百分比的形式表示，常見的有90%、95%和99%。置信區間是根據樣本統計量所構造的關于總體參數在一定置信水平下的估計區間。因此，置信水平與置信區間是一對相依相伴的概念，其中置信水平用1― 來表達。若置信水平為1― ，意思是說，重復構造置信區間若干次，有比例為1― 的區間包含總體參數真值，有 比例的樣本不包含總體真值。需要注意的是，置信水平和置信區間是表示估計結果的可靠性程度，并不是針對具體的某個樣本，而是概括了在相同條件下多次抽樣所獲得的區間。同時，置信水平和置信區間是相互關聯的，較高的置信水平通常對應較寬的置信區間。

3.3? 解釋樣本均值的抽樣分布

樣本均值的抽樣分布是指在重復選取容量為n的樣本時，由樣本均值所有可能取值所形成的相對頻數分布。當樣本容量n足夠大時，樣本均值的抽樣分布是正態分布，且均值等于總體均值，方差為總體方差的1/n倍。可以作出這樣的判斷：在樣本均值的抽樣中，有90%的樣本均值落在 ？.645 區間內，有95%的樣本均值落在 ？.96 區間內等。為對此判斷作檢驗（以90%為例），把樣本均值的抽樣分布作標準化，已知有90%的落在區間[-1.645，1.645]內，運用SPSS函數CDF.Normal（1.645，0，1）-CDF.Normal（-1.645，0，1）來驗證之，使學生容易理解。

3.4? 構造總體均值的置信區間

基本思路：中心極限定理保證了樣本均值的數學期望等于總體均值，樣本均值落在總體均值 兩側任何倍數標準誤差范圍內的概率都可以計算。由于和 的距離是對稱的，如果某個落在 的某倍數的標準誤差范圍內，則 也被包括在以為中心兩側一該倍數的標準差范圍之內。這意味著，約有1― 比例的樣本均值所構造的該倍數標準誤差的區間會包括總體均值 。在上述對分位數、置信水平和置信區間以及樣本均值的抽樣分布的概念做解釋的基礎上，構造總體均值的置信區間。

4? 假設檢驗原理

如果假設值在置信區間內，則不能拒絕原假設，如果不在，則拒絕原假設，這是假設檢驗的基本思想。在引例中，假如我們隨機抽到一個均值為165cm的樣本（樣本容量為36），可計算出具體的區間為[163.35，166.65]，然后看總體均值的假設值（為170cm）是否在這一區間（不在），來判斷關于總體的假設是否正確（不正確）。

人們相信一次抽樣所得到的統計量的值在置信區間內。以均值為例，一次抽樣的樣本均值標準化之后應該在區間上下分位數之間；若計算的標準化值不在這個區間，則有理由拒絕原假設（雙側檢驗），因為小概率事件發生了。因此，我們把置信區間以外的區間稱為拒絕域，從而得出拒絕域和非拒絕域的概念。

在引例中，若抽到的是一個均值為165cm的樣本（樣本容量為36），把該值進行標準化處理得到的值為-5，不在[-1.645，1.645]區間內，拒絕原假設。

在引例中，若假設全班學生平均身高大于等于170cm，而抽到的樣本均值為165cm，比170cm要小，但是否小到達到明顯的程度呢？如上所述，樣本均值的標準化值為-5，小于-1.645，在（-∞，-1.645]區間內，所以在90%的置信度下要拒絕原假設，表明全班學生的平均身高不足170cm。

這里要提醒學生，根據樣本計算的統計量的值的正負不能作為判斷是左側檢驗還是右側檢驗的依據。在引例中，如果假設全班學生平均身高小于等于170cm，則是右側檢驗問題。而統計量的標準化值仍然是-5，在左邊。而此時的區間為[1.645，-∞]，顯然-0.882不在這一區間內且明顯小于1.645，不能拒絕原假設，表明沒有充分的理由說明該班學生的平均身高不小于170cm。由于樣本計算的統計量的值為負，而拒絕域在右，注意這時觀察到的顯著水平p值會很大（超過0.5），在用p值進行檢驗時要充分注意這一點。

參數估計和假設檢驗是統計學教學的重點也是難點，實現融會貫通及靈活運用較為困難。因此，需要教師在教學過程中貫徹理實一體化教學理念，采用系列化探究式項目教學法，將實驗實訓和理論知識相結合，用直觀的形式展現抽象的內容，使學生在完成設定的任務中深刻理解所學內容，同時做好過程性考核，提高學習效率，增強學習效果。

5? 進一步討論

5.1? 參數估計與假設檢驗的一般性步驟

參數估計一般性步驟：①定義問題。明確要估計的參數是什么，屬于哪一個參數（均值、比例、方差）。②收集數據。收集與該參數相關的數據樣本。③構造區間。根據總體和樣本特征，使用適當的參數估計公式構造估計區間。

假設檢驗一般性步驟：①假設定義。明確要檢驗的假設、假設的前提條件和假設的預期結果。②數據收集。抽取樣本，收集與該假設相關的數據，并確保數據的可靠性和完整性。③作出決策。根據所收集的數據，計算出統計量（均值、比例、方差等），根據規則作出決策。必要時對結果作進一步解釋，并提出對策建議。

5.2? 參數估計與假設檢驗的關系

參數估計和假設檢驗是數理統計的兩個基本問題，也是推斷統計的兩種重要統計方法，兩者密切聯系。①兩者都是以樣本統計量的抽樣分布為依據，對總體參數進行推斷。在區間估計中用到的樣本標準化統計量和在假設檢驗中用到的檢驗統計量本質上是同一個函數，選擇標準也相同。②在區間估計中置信水平與假設檢驗中顯著性水平具有對偶關系，而區間估計中置信區間與參數假設檢驗中的接受域（“接受域”的說法，主要是為了方便，而并不是說在現有的樣本信息條件下不能拒絕原假設時就等于“接受”原假設）一致。③區間估計與假設檢驗所得結論相容。如果總體參數落在置信區間里，則假設檢驗的決策結果就不會拒絕原假設。相反，如果總體參數沒有落在置信區間里，則假設檢驗的決策結果就會拒絕原假設。

5.3? 置信區間表述與兩類錯誤

用一個具體的樣本所構造的區間是一個特定的區間，該區間要么“絕對包含”，要么“絕對不包含”總體參數的真值，不存在“以多大的概率包含總體參數”的問題。因此，置信水平只是說明用多次抽樣所得到的樣本構造出的區間中大概有多少個區間包含了參數的真值，而不是針對某一具體區間而言的。如果在構造的所有區間中有95%的區間包含總體參數的真值，5%的區間不包含總體參數的真值，那么用該方法構造的區間是置信水平為95%的置信區間（其他置信水平的區間也同樣表述）。其中的5%在假設檢驗中稱為顯著性水平，即事先確定的用于拒絕原假設時所必須的證據，能夠容忍的犯第Ⅰ類錯誤的最大概率（上限值），或者說原假設為真時拒絕原假設的概率。

基金項目：安徽省本科教學質量工程一流課程項目“統計學原理與實驗”（2021XSXXKC210）。

參考文獻

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