基于改進fal 函數ADRC 算法的直升機姿態控制研究

廖興勇，李智

（四川大學 電子信息學院，四川成都，610065）

0 引言

傳統無人直升機憑借其可懸停、可低空低速、可機頭方向不動的機動飛行、能垂直起降等優點使其一直具有廣闊發展前景，并廣泛用于軍事、農業等方面。目前國內外軍事競備激烈，更需要性能更強大、低噪聲、抗干擾、高穩定性的無人直升機。傳統無人直升機的姿態控制方法主要有比例積分微分控制、反步控制、模糊控制、滑模控制、線性二次型調節器、反饋線性化等方法。但上述方法往往具有一定的局限性和缺陷，例如：依賴數學模型、收斂速度過低、控制復雜度過高、設計缺乏系統性。無人直升機的姿態控制是一個高階、非線性、強耦合的控制系統，在這方面，自抗擾控制算法（ADRC）本身具有天然的解耦性，且自抗擾控制算法中的擴張狀態觀測器（ESO）能應對不同高階系統進行擴張，并且自抗擾控制算法中的跟蹤微分器（TD）具有天然的濾波特性，可以有效提高系統的抗干擾能力和魯棒性。

ADRC 算法的核心在于擴張狀態觀測器，其思想在于將系統的內部擾動和外部干擾都歸結為總擾動，將此總擾動作為新的狀態量加入原系統中，并將系統的輸入和輸出作為觀測器的輸入值，結合系統的狀態量對該總擾動進行估計，在系統最終輸出前對估計的擾動值進行修正從而抵消干擾，達到抗干擾的能力，觀測器藉由對擾動的估計準確性能決定ADRC 算法的抗干擾能力。目前為應對不同的系統和環境，ADRC 也衍生出了許多改進思路，其中最主要的改進方向分為自身算法改進和融合算法改進。自身算法方改進方面，又細分為ADRC 結構改進和算法改進[1]。ADRC 算法分為跟蹤微分器，非線性反饋律與擴張狀態觀測器三個部分，結構改進體現在其中某個模塊的構成或者結合上的改進；算法方面的改進主要體現在fal 函數的改進，fal 函數作為擴張狀態觀測器的核心函數，其主要作用在于對非線性系統的近似替換，fal 函數的設計直接影響了ESO 的觀測效果，本文便是基于對fal 函數的改進提出一種新的ADRC 算法，并通過理論和實驗證明新的ADRC 算法在直升機姿態控制上有著更好的抗干擾能力。

1 傳統無人直升機數學模型

以傳統直升機為研究對象，直升機的動力學方程如下：

其中，θ為俯仰角，ψ為偏航角，φ為滾轉角；p為滾轉角速度、q為俯仰角速度、r為偏航角速度；u、v、w為三軸軸向速度；L、M、N為三軸力矩；X、Y、Z為三軸的力；m為機體質量；Ix、Iy、Iz為三軸轉動慣量；Ixz為直升機對Ox和Oz軸的慣性積。

得到直升機的非線性動力學方程后，需要對非線性模型進行線性化。根據小擾動法，利用泰勒級數在平衡點處展開，解析地得到懸停條件下的矩陣A 和B，可得到線性狀態空間模型的表達：

在線性狀態空間模型中，u為輸入量，x為狀態量，形式如下：

設無擾動情況下的無人直升機運動狀態為：

小擾動為：

其中：

忽略高階量，對上式中增量進行泰勒展開便可得到狀態空間模型矩陣A 和B。

2 ESO 中fal 函數的改進

2.1 ADRC 控制器組成結構

目前普遍的ADRC 控制器通常由3個部分組成（不排除有其他改進后融合了其他算法的ADRC 控制器可能不只是3 部分）：分別是TD 跟蹤微分器、ESO 擴張狀態觀測器、NLSEF 非線性反饋律，組成結構如圖1 所示。

圖1 ADRC 控制器

ADRC 算法是由解決傳統PID 算法的缺點并保留其優點而設計的算法[2]，主要優化的部分在于：

（1）以跟蹤微分器替代PID 由誤差提取微分的方法，解決線性微分器的缺陷。

（2）以非線性反饋替代加權和策略，解決加權和的缺陷。

（3）以擴張狀態觀測器替代積分反饋，解決傳統積分消除誤差帶來的系統延后的缺陷。

本文重點關注ESO 擴張狀態觀測器的設計與優化，ESO 把系統中的不確定項和干擾項視為系統的狀態之一，并建立新的狀態空間，對這個新的狀態空間中的狀態進行觀測，即可得到不確定項的估計值。考慮如下非線性系統：

對非線性系統中的不確定項f(x1,x2)定義為x3 ，并定義x3′=w(t)，可將原非線性系統擴張為增廣系統，不確定項f(x1,x2)作為狀態之一參與到狀態空間中。

對新的增廣狀態空間建立ESO 擴張狀態觀測器形式如下，其中β0i是可調參數。

其中αi,σ為fal函數的可調參數。fal函數的設計思想是符合“大誤差，小增益；小誤差，大增益；光滑連續，處處可導，關于原點對稱，原點增益有限”的原則，雖然fal函數基本滿足這個設計原則，但是仍然存在諸多缺點。

2.2 lnfal 函數的設計

ADRC 算法的核心是ESO，而決定ESO 觀測性能的是非線性函數。考慮到原始fal函數的缺點，設計新的lnfal函數的形式如下：

lnfal與原fal函數對比圖如圖2~3 所示。

圖2 fal 與lnfal 原點波形對比

圖3 fal 與lnfal 增益波形對比

圖4 階躍信號波形

圖5 階躍信號局部波形

圖6 含輸入噪聲階躍信號波形

圖7 含輸入噪聲階躍信號局部波形

圖8 正弦信號波形

圖9 正弦信號局部波形

圖10 含反饋噪聲階躍信號波形

圖11 含反饋噪聲階躍信號局部波形

圖12 含輸入/反饋噪聲階躍信號波形

圖13 含輸入/反饋噪聲階躍信號局部波形

對比兩者的波形可以看出，fal函數在切換區間處的增益過大，容易引起系統抖振；在小誤差區間內的增益雖然較大，但是并不連續；在大誤差區間內的增益也大于lnfal函數，這在抑制過沖上效果不如lnfal函數。

2.3 改進ESO 的收斂性判斷

基于lnfal函數設計的ESO 擴張觀測器形式如下：

以新的ESO 計算新的誤差方程為：

誤差方程表示了原系統與觀測系統狀態變量之間的觀測誤差，要滿足e' 趨近于e，也就是觀測準確，這需要觀測矩陣穩定，其中：

引理1[3]若存在矩陣：

矩陣D 的主對角線的值均為正，并且矩陣DA(e)為正定對稱陣，則系統的零解是Lyapunov 漸近穩定的，從而觀測器的狀態 1z,z2 ,z3 可以很好地跟蹤 1x,x2 ,x3 。

計算矩陣DA(e)可知：

這里的lnfal(e,k)/e代表的是函數lnfal(e,k)在x=e處的切線斜率，從lnfal(e,k)的函數波形可以看出，該函數在全區間內的切線斜率的范圍是：00 時，一定存在矩陣D 使得DA為正定對稱矩陣。

其中，β=β01β02-β03；f=lnfal(e,k)/e；ε1，ε2，ε3 都是趨近于無窮小的正數。

綜上所述，可知當f=lnfal(e,k)/e為(0，k)中的有界值，β=β01β02-β03 > 0，A矩陣是漸近穩定的。

3 改進fal 函數的直升機姿態ADRC 算法仿真驗證

3.1 仿真實驗數據

為驗證本文所提出改進ESO 方案的可行性，在matlab上設計多組對比實驗，與直升機三軸通道的一致性，本文只對直升機俯仰通道進行仿真實驗。ADRC 參數如表1 所示。

表 1 ADRC參數

3.2 直升機姿態控制仿真對比實驗

為進一步驗證改進fal 函數的ADRC 算法在直升機姿態控制中有更好的抗干擾性能，在matlab 的simulink 進行仿真實驗，與原始fal 函數、文獻[4]提出的faln 函數、文獻[5]提出的xfal 函數進行對比實驗，本文以俯仰通道為例進行以下幾組仿真驗證：

（1）幅值為10 的方波信號輸入，模擬直升機遇到突發干擾；

（2）幅值為10 且含噪聲的方波信號輸入，模擬含噪聲的突發干擾；

（3）幅值為27 的正弦波信號輸入，模擬直升機遇到持續且平滑變化的干擾；

（4）包含反饋角度噪聲的幅值為10 的方波信號輸入，模擬直升機實際情況下傳感器數據有噪聲的突發干擾；

（5）包含反饋角度噪聲且包含輸入噪聲的幅值為10的方波信號輸入，模擬直升機實際情況下傳感器數據有噪聲且輸入信號也有噪聲的突發干擾。

對比上圖中的不同fal 函數構造的ADRC 算法的角度跟蹤效果，可以看出在階躍信號發生時，不同ADRC 算法均能迅速做出跟蹤，且跟蹤性能相差不大，但是在超調量和收斂速度對比上，lnfal 函數的ADRC 算法比其他fal 函數的ADRC 算法效果更好，其收斂速度更快，超調量也更小，并且相比其他算法，lnfal 在階躍信號的跟蹤上并未出現振蕩現象；無論是包含噪聲的階躍信號，還是在實際角度的反饋過程中加入噪聲，各ADRC 算法在階躍信號的跟蹤性能上都相似，主要的區別在于超調量和收斂速度；在正弦波信號的跟蹤上，各ADRC 算法體現了幾乎一致的性能。結合上述現象可以得出結論，改進后的lnfal 函數構成的ADRC 算法在直升機姿態控制中，會比其他ADRC 算法起到更好地抑制過沖和超調的效果，且有著更快的收斂速度，說明改進的ADRC 算法具有更強的抗干擾能力。

4 結論

本文基于對ADRC 算法中ESO 模塊的fal 函數的改進，針對原ADRC 算法的fal 函數不光滑、切換區間與大誤差區間增益過大的問題，遵循fal 函數的設計原則提出了lnfal函數。首先在原理上驗證了lnfal 相較于fal 的優越性以及證明了A 矩陣的穩定性，其次通過設計幾組仿真實驗，在matlab 上對比目前已提出的不同改進fal 函數的ADRC 算法分別作用于直升機的姿態控制，最后分析不同fal 函數的控制效果波形可以得出基于lnfal 函數的ADRC 算法在直升機姿態控制上有著更好抑制過沖效果以及更快的收斂速度。