基于自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法的鋰電池荷電狀態(tài)預(yù)測

蒙永龍 艾學(xué)忠 鄭巍 王明達(dá) 汪冬冬

基金項(xiàng)目：吉林省科技發(fā)展計(jì)劃（批準(zhǔn)號：20190302063GX）資助的課題。

作者簡介：蒙永龍（1996-），碩士研究生，從事檢測技術(shù)與自動化裝置的研究。

通訊作者：艾學(xué)忠（1970-），教授，從事檢測技術(shù)與自動化裝置的研究，1135916263@qq.com。

引用本文：蒙永龍，艾學(xué)忠，鄭巍，等.基于自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法的鋰電池荷電狀態(tài)預(yù)測［J］.化工自動化及儀表，2024，51（2）：294-300.

DOI：10.20030/j.cnki.1000-3932.202402019

摘 要 針對無跡卡爾曼濾波在噪聲不穩(wěn)定和工況復(fù)雜的情況下鋰電池荷電狀態(tài)預(yù)測準(zhǔn)確度低的問題，提出基于二階等效RC電路模型，采用遺忘因子遞推最小二乘法對模型參數(shù)進(jìn)行辨識，使用自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法（AUKF）對鋰電池荷電狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，最后在DST數(shù)據(jù)工況下，驗(yàn)證預(yù)測模型的準(zhǔn)確性。對無跡卡爾曼濾波（UKF）算法和提出的AUKF算法進(jìn)行仿真對比，結(jié)果表明：所提算法的最大誤差在±0.02之內(nèi)，預(yù)測精度更高、適用性更強(qiáng)。

關(guān)鍵詞 鋰電池 荷電狀態(tài) 自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波 遺忘因子遞推最小二乘

中圖分類號 TM912? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A? ?文章編號 1000-3932（2024）02-0294-07

鋰電池的荷電狀態(tài)（State of Charge，SOC）是電動汽車電池管理系統(tǒng)的重要數(shù)據(jù)之一，它可以提供有關(guān)車輛電池管理策略的信息。目前，鋰電池的荷電狀態(tài)只能間接測量，通過路端電壓、放電電流及內(nèi)阻等參數(shù)去預(yù)測是現(xiàn)在常用的方法。鋰電池荷電狀態(tài)預(yù)測的精準(zhǔn)度直接影響著電池的壽命和安全性能［1］。

鋰電池荷電狀態(tài)的預(yù)測方法主要有以下兩種：

a. 依照鋰電池各項(xiàng)數(shù)據(jù)計(jì)算得出，如電流積分法和開路電壓法［2］；

b. 對電池建模然后引入算法預(yù)測，如粒子濾波算法、BP算法及卡爾曼濾波（KF）算法等。

當(dāng)初始容量已知時(shí)，電流積分方法計(jì)算電流隨時(shí)間的積分，以獲得流入或流出電池的電量，從而獲得剩余電量［3］。該方法操作簡單、穩(wěn)定，在短時(shí)間內(nèi)具有較高的精度。然而，當(dāng)長時(shí)間測量電流時(shí)，可能會出現(xiàn)累積誤差，導(dǎo)致估計(jì)精度下降。開路電壓法需要知道電池的開路電壓和荷電狀態(tài)之間的特性關(guān)系，由于電池電動勢和開路電壓之間的誤差很小，可以通過測量電池靜置電動勢來找到相應(yīng)的荷電狀態(tài)，但實(shí)驗(yàn)過程需要很長時(shí)間，不利于研究［4］。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在樣本學(xué)習(xí)過程中不斷更新模型的權(quán)重和誤差，以提高模型的準(zhǔn)確性。該算法可以在一定條件下準(zhǔn)確快速地估計(jì)電池的荷電狀態(tài)，但仍面臨許多問題，如樣本算法的計(jì)算和存儲需要大量訓(xùn)練，難以建立準(zhǔn)確的模型［5］；粒子濾波算法運(yùn)算繁雜［6］；KF算法比較依賴模型的精度。在模型精確的基礎(chǔ)上，KF濾波算法的荷電狀態(tài)預(yù)測精度較好［7］。

傳統(tǒng)的KF算法用于非線性系統(tǒng)時(shí)精度低、效果差，所以很多學(xué)者提出擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）算法與無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法［8］。EKF用在非線性系統(tǒng)效果差且雅可比矩陣運(yùn)算繁雜；UKF通過U變化得到Sigma點(diǎn)集，經(jīng)過非線性處理后得到結(jié)果，然后用此結(jié)果更新均值和協(xié)方差［8］。UKF在預(yù)測鋰電池的荷電狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)噪聲繁雜，預(yù)測精度低。

筆者針對UKF估計(jì)荷電狀態(tài)時(shí)預(yù)測精度與實(shí)用性不理想等問題，提出自適應(yīng)的無跡卡爾曼濾波算法（AUKF），在系統(tǒng)預(yù)測時(shí)一直更新狀態(tài)噪聲協(xié)方差與測量噪聲協(xié)方差，從而提升算法的精度和魯棒性。

1 鋰電池模型的建立及參數(shù)辨識

1.1 建立等效鋰電池模型

因?yàn)殡姵貎?nèi)部是非線性的，所以建立優(yōu)良的鋰電池模型是荷電狀態(tài)估算的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的一階RC模型預(yù)測精度較低，理論上來說模型的階數(shù)越多越貼近真實(shí)狀態(tài)，但是模型參數(shù)計(jì)算會越復(fù)雜，綜合考慮之后，決定采用二階RC模型來對鋰電池建模，電路如圖1所示［9］。

圖1 等效電路模型

該二階RC鋰電池模型由歐姆內(nèi)阻R、極化電容C、極化電阻R、極化電容C、極化電阻R、開路電壓U和端電壓U組成。由基爾霍夫定律知［10］：

U=U（SOC）-U-U-I（t）R? ?（1）

=-+? ? ?（2）

=-+? ? ? （3）

其中，I為鋰電池內(nèi)部發(fā)的環(huán)路電流；U、U分別為R、C兩端的電壓與R、C兩端的電壓。

由式（1）～（3）建立電池連續(xù)系統(tǒng)方程：

U=U（SOC）-I（t）R-I（t）R（1-e）-

I（t）R（1-e）? ? ? （4）

其中，Δt為采樣周期；τ=RC，τ=RC，表示圖1中兩個(gè)RC電路的時(shí)間響應(yīng)常量。

1.2 等效鋰電池模型參數(shù)辨識

使用INR18650-20R電池，容量2 000 mAH，標(biāo)稱電壓為3.7 V，充電電壓為4.2 V，放電截止電壓為2.75 V。在動態(tài)應(yīng)力測試（Dynamic Stress Test，DST）工況下測試電壓電流數(shù)據(jù)。然后采用遺忘因子遞推最小二乘算法辨識模型參數(shù)，該算法首先要將等效電路轉(zhuǎn)化為最小二乘的形式。將式（1）進(jìn)行拉氏變換［11］：

U（s）-U（s）=I（s）R++ （5）

其中，s為Laplace算子，線性變換公式為：

s= ? ?（6）

其中，z為離散z域上的對應(yīng)算子；T為采樣周期。通過線性處理實(shí)現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)變，系統(tǒng)z域上的傳遞函數(shù)由s域映射到z域得到，化簡后的公式為：

G（z）==? （7）

其中，θ、θ、θ、θ、θ分別是k時(shí)刻的簡化代表系數(shù)，表達(dá)式為：

θ=θ=-1θ=? ? ? θ=θ=（8）

其中，a=R；b=ττ；c=τ+τ；d=R+R+R；e=R（τ+τ）+Rτ+Rτ；τ=RC；τ=RC。

將式（7）離散化得：

y（k）=θy（k-1）+θy（k-2）+θI（k）+

θI（k-1）+θI（k-2）（9）

最小二乘法的觀測向量為：

φ（k）=（（y（k-1），y（k-2），I（k），I（k-1），I（k-2））

待估計(jì)參數(shù)向量為：

θ（k）=θ，θ，θ，θ，θ

由式（8）可得：

a=b=c=d=e=? ? ?（10）

結(jié)合以上公式可得：

R=aR=［τ（d-a）+ac-e］/（τ-τ）R=R-d+aC=τ/RC=τ/R （11）

τ=

τ=（12）

系統(tǒng)的待估計(jì)參數(shù)向量是θ（k），增益系數(shù)是K（k），協(xié)方差矩陣是P（k），遺忘因子最小二乘遞推方程為：

K（k）=P（k）=［I（k）-K（k）φ（k）］P（k-1）θ（k）=θ（k-1）+K（k）［U（k）-U（k）-θ（k-1）φ（k）］（13）

其中，λ為遺忘因子，取值范圍為0.95≤λ≤1，本研究中取0.997。用增益系數(shù)K（k）不斷地修正更新系統(tǒng)觀測向量φ（k）和實(shí)際觀測值y（k）的差值。

根據(jù)所辨識結(jié)果，在MATLAB/Simulink里搭建模型（圖2），在DST數(shù)據(jù)工況下，對所辨識的參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。

仿真電壓與實(shí)際輸入電壓的對比如圖3所示，圖中紅色曲線是根據(jù)模型辨識參數(shù)預(yù)測端電壓值，藍(lán)色曲線為實(shí)際值，可以看出跟隨效果良好，且電池端電壓誤差小，整體誤差在±0.21 V之內(nèi)，具體如圖4所示，證明帶有遺忘因子的遞推最小二乘（Forgetting Factor Recursive Least Square，F(xiàn)FRLS）算法對二階RC鋰電池參數(shù)辨識有很好的效果。

圖3 仿真電壓與實(shí)際輸入電壓對比

圖4 模型誤差

2 基于AUKF算法的鋰電池荷電狀態(tài)預(yù)測

根據(jù)圖1所示二階RC電路，分別用兩個(gè)RC電路兩端的電壓U和U鋰電池荷電狀態(tài)結(jié)合為狀態(tài)變量X=［U，U，SOC］，所以鋰電池荷電狀態(tài)的狀態(tài)方程為：

X=AX+BU（k）+w（k）? ? （14）

測量方程為：

Z（k）=U［SOC（k）］-U（k）-U（k）-I（k）R+v（k）（15）

X=U（k+1）U（k+1）SOC（k+1）

A=1-? ?0? 0? 0? 1- 0? 0? ? ? ?0? 1

B=-

其中，v（k）代表系統(tǒng)的測量噪聲；w（k）代表系統(tǒng)的過程噪聲；Q代表鋰電池的電池容量［12］。

UKF算法的主要思想是U變換，用U變換處理均值與協(xié)方差的非線性傳遞，用一系列確定樣本來貼近狀態(tài)的概率分布，并不是對非線性函數(shù)近似，避免了計(jì)算繁雜的雅可比矩陣。AUKF預(yù)測鋰電池荷電狀態(tài)的過程如下。

a. Sigma點(diǎn)和相應(yīng)權(quán)值的構(gòu)造。

給出輸入變量x的Sigma點(diǎn)采樣方法，求出Sigma點(diǎn)集{x}（i=0，1，2，…，2n，n是狀態(tài)變量維度），利用輸出的統(tǒng)計(jì)信息得到期望權(quán)重w和方差權(quán)重w，再對｛x｝非線性變換求出｛y｝，最后求出y的平均值和協(xié)方差P［13］。

b. 給協(xié)方差P0和誤差0設(shè)置初值。

=E（x）P=E［（x-）（x-）］? （16）

c. 計(jì)算Sigma點(diǎn)、狀態(tài)變量預(yù)測以及協(xié)方差更新。

x=? ? ? ? ，i=0+（） ，1≤i≤n-（），（n+1）≤i≤2n（17）

x=f（x，u）? ? （18）

=wx ?（19）

P=w=（x-）（x-）+Q（20）

其中，λ為調(diào)節(jié)變量，λ=α（n+β）-n（α、β是比例因子）；x為k-1時(shí)刻的第i個(gè)采樣點(diǎn)，用來控制平均值到點(diǎn)的間距；u為k-1時(shí)刻的輸入；Q為系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣。

d. 更新觀測變量。

y=h（x，u）? ? ? ?（21）

=wy? ? ?（22）

e. 更新誤差協(xié)方差以及卡爾曼增益。

P=w（y-）（y-）+R? （23）

P=w（y-）（y-） （24）

Kk=? ? ? ?（25）

=+K（y-）? ? （26）

P=P-KPK（27）

其中，K為卡爾曼增益矩陣；k｜k-1為基于k-1時(shí)刻對k時(shí)刻的估計(jì)值；k|k表示在k時(shí)刻時(shí)，已經(jīng)經(jīng)過了預(yù)測和更新步驟，綜合考慮了系統(tǒng)動態(tài)和觀測數(shù)據(jù)，得到的最終狀態(tài)估計(jì)值，用于表示系統(tǒng)在時(shí)刻k時(shí)的最優(yōu)估計(jì)狀態(tài)；R為觀測噪聲協(xié)方差矩陣。

分別把狀態(tài)方程與測量方程（14）、（15）代進(jìn)上述AUKF算法，經(jīng)過不斷地更新計(jì)算，使荷電狀態(tài)不斷貼近真實(shí)值。當(dāng)UKF用于評估狀態(tài)變量時(shí)，測量誤差和噪聲系統(tǒng)通常為固定值。然而，鋰電池系統(tǒng)是一個(gè)非線性系統(tǒng)，隨著算法重復(fù)次數(shù)的增加，會導(dǎo)致誤差累積，甚至產(chǎn)生不同的結(jié)果。因此，為了提高荷電狀態(tài)準(zhǔn)確性，有效減少噪聲對過濾結(jié)果的影響，需要加入自適應(yīng)協(xié)方差匹配方法。

系統(tǒng)在k時(shí)刻的誤差為e，自適應(yīng)算法為：

H=ee ? （28）

R=H-CCQ=KHK? （29）

其中，H為估算協(xié)方差函數(shù)；M為累計(jì)新息數(shù)量，在這里取3.2。將Q、R代入式（20）、（23）中進(jìn)行自適應(yīng)更新。

3 仿真驗(yàn)真與分析

鋰電池在實(shí)際使用的時(shí)候，工況復(fù)雜，因此使用DST工況對算法進(jìn)行驗(yàn)證。筆者使用INR 18650-20R電池，容量為2 000 mAH，標(biāo)稱電壓為3.7 V，充電電壓為4.2 V。由于過度放電會使鋰電池壽命縮短，因此在DST工況循環(huán)15次后停止放電。在MATLAB中編寫AUKF算法并進(jìn)行鋰電池荷電狀態(tài)的預(yù)測，結(jié)合所得數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。圖5為算法仿真模型。

以電流積分法計(jì)算出的荷電狀態(tài)為參考值，模型輸入電流、電壓如圖6、7所示。圖8為荷電狀態(tài)預(yù)測結(jié)果，AUKF能實(shí)時(shí)更新系統(tǒng)噪聲且通過噪聲協(xié)方差更新荷電狀態(tài)預(yù)測值，從仿真圖中可以看出AUKF算法對荷電狀態(tài)的預(yù)測效果比UKF要好，能夠快速貼近參考值且波動情況小于UKF。圖9為兩種算法的誤差對比，可以看到，無跡卡爾曼濾波算法預(yù)測偏差較大，最大誤差為0.03，相比而言，加入自適應(yīng)因子的無跡卡爾曼濾波算法預(yù)測效果較好，預(yù)測誤差保持在了±0.02以內(nèi)，驗(yàn)證了AUKF算法對濾波發(fā)散的控制作用。

圖6 DST工況電流數(shù)據(jù)

圖7 DST工況電壓數(shù)據(jù)

圖8 UKF和AUKF算法估計(jì)荷電狀態(tài)的曲線

圖9 UKF和AUKF算法估計(jì)荷電狀態(tài)誤差曲線

4 結(jié)束語

基于二階RC等效電路模型完成鋰電池建模，然后通過帶有遺忘因子非線性最小二乘算法實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)辨識，通過仿真模型驗(yàn)證了鋰電池模型參數(shù)的優(yōu)良性能。在未知噪聲的影響下，傳統(tǒng)UKF算法的預(yù)測準(zhǔn)確度不高。因此，引入帶有自適應(yīng)因子的UKF算法來預(yù)測鋰電池的荷電狀態(tài)。仿真結(jié)果表明，通過自適應(yīng)調(diào)整后的UKF算法，將最大誤差控制在了±0.02之內(nèi)，具有良好的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

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（收稿日期：2023-04-05，修回日期：2024-01-22）

Prediction of Li-ion Battery Charge State Based on Adaptive Untraced Kalman Filtering Algorithm

MENG Yong-long， AI Xue-zhong， ZHENG Wei， WANG Ming-da， WANG Dong-dong

（College of Information and Control Engineering ， Jilin Institute of Chemical Technology）

Abstract? Considering the fact that unscented Kalman filter（UKF） has low accuracy in predicting Li-ion battery charge state in the case of unstable noise and complex working conditions， a model based on second-order equivalent RC circuit was proposed， including having the forgetting factor recursive least square（FFRLS） method employed to identify model parameters， and the UKF algorithm adopted to predict Li-ion charge battery state， as well as verify the accuracy of the prediction model in DST data condition. The simulation results show that， the maximum error of the proposed UKF algorithm stays within ±0.02， and its accuracy is higher and the applicability is stronger.

Key words? ?Li-ion battery，charge state， UKF， FFRLS