從“方程”到“不等式”

文／許斌

方程和不等式是刻畫現實世界中相等與不等關系的數學模型，是一類應用廣泛的數學工具。從理解方程和不等式及其解的意義，到靈活地解方程和不等式，再到應用方程（組）、不等式（組）解決數學問題和現實問題，我們一路走來，感受到數學的別樣精彩和廣泛的應用價值。

一、知識塊解析

等式的基本性質是解方程的基本依據。一元一次方程是學習其他方程的基礎，解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1。

二元一次方程組的考點主要是掌握方程組的解的意義，靈活利用代入法或加減法解二元一次方程組，理解消元是解決多元方程組的常規思路，能運用二元一次方程組解決實際問題。

解一元二次方程是中考必考知識點。一元二次方程的解法有：直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法，我們要根據方程的特點靈活選用適當的方法。一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當b2-4ac≥0 時，方程有實數根，且兩個實數根為。法國數學家韋達發現了一元二次方程的根與系數之間的密切關系，即后人也稱之為韋達定理。利用韋達定理，我們可以很方便地求一些代數式的值或字母參數的值。

分式方程可以通過去分母轉化為整式方程，但需要注意這種變形不是恒等變形。因此，我們在求出整式方程的解后，還要增加檢驗這一步驟。

不等式的考點有：理解不等式的基本性質，能正確運用不等式的基本性質求一元一次不等式（組）的解集，將解集在數軸上表示出來等；對于含字母參數的一元一次不等式（組），能根據題意列出不等式（組），求出字母參數的值或范圍；能根據題意正確使用不等號，列出不等式，解決實際問題。

求方程、不等式的解（解集），我們還可以通過畫函數圖像來說明。這種方法為求方程、不等式的解（解集）打開了一片新的天地，體現了方程、不等式、函數之間的聯系與轉化。

二、易混點解析

1.解一元一次方程與解一元一次不等式

在它們的求解（解集）過程中，當系數化為1 時，需要將等式（不等式）兩邊同時乘一個不為0 的數，等號仍成立，而不等式兩邊同時乘一個負數時，不等號方向要改變。不少同學會習慣性照抄不等號，導致解題錯誤。

2.解整式方程與分式方程

不少同學在解方程的時候，不去辨識方程的類型。由于整式方程的各步驟變形都是恒等變形，計算沒有問題的話，得到的答案自然也正確。但如果是解分式方程，得到整式方程的解后，還要代入公分母檢驗根是否能讓分式有意義。檢驗是解分式方程不可或缺的一步，有些同學經常會忘記檢驗，從而失分。

3.根的判別式和根與系數的關系

一元二次方程是使用根的判別式和根與系數的關系的前提，有些同學容易忽略這一點。因此，在利用此方法解決問題后，我們需要檢驗求出的值是否符合題意，或是否使實際問題有意義。

4.不等號的使用

兩個量之間的關系有三種：大于、等于、小于，如果是不大于，那應該是小于或等于。在解決問題時，同學們要仔細揣摩“不超過”與“超過”、“不高于”與“低于”、“至少”與“大于”等的區別，從而正確使用不等號。

三、真題應用

1.已知關于x的方程x2+mx-20=0 的一個根是-4，求m的值及它的另一個根。

2.若方程的解使關于x的不等式（2-a）x-3＞0 成立，求實數a的取值范圍。

3.若實數x、y、m滿足x+y+m=6，3xy+m=4，求代數式-2xy+1的最大值。

復習建議：做第1 題時，可以先說說解題的方法；從這道題出發，還能有哪些改編。做第2 題時，可以將條件改為“不成立”，思考a的取值范圍又是什么。做第3 題時，注意思考求代數式最值的方法，我們還有哪些巧算的方法。