剪切流中液滴變形及破裂的數(shù)值模擬

文章編號(hào)：1008?8857（2024）01?0051?12"""" DOI：10.13259/j.cnki.eri.2024.01.007

摘 要：基于格子 Boltzmann 顏色梯度模型，針對(duì)二維剪切流場(chǎng)中液滴的變形及破裂進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究了剪切流動(dòng)中毛細(xì)數(shù) Ca、雷諾數(shù) Re和流體黏度比λ對(duì)液滴變形的影響，并在 Re?Ca 相圖中區(qū)分了三種不同的液滴變形或破裂方式。為了進(jìn)一步掌握界面對(duì)液滴內(nèi)部不同位置流體的作用，引入示蹤粒子并分析其在液滴內(nèi)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。結(jié)果表明：隨著 Ca 的增大，液滴的變形效果和偏轉(zhuǎn)角度更明顯，示蹤粒子運(yùn)動(dòng)受到的影響較大；隨著 Re 的增加，液滴的變形程度加大，但偏轉(zhuǎn)角度受其影響較弱，示蹤粒子運(yùn)動(dòng)受其影響顯著；在低黏度比（λlt;0.8）時(shí)，液滴會(huì)經(jīng)歷大幅度變形過程，當(dāng)黏度比繼續(xù)增大，其變形參數(shù)反而會(huì)減小；示蹤粒子離初始圓心距離越近，運(yùn)動(dòng)路程越大，受到的剪切作用越大，且其在剪切作用下離界面越來越近，并最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

關(guān)鍵詞：顏色梯度模型；剪切流動(dòng)；液滴變形；液滴破裂；示蹤粒子

中圖分類號(hào)： O35" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Numerical simulation of droplet deformation and breakup in shear flow

GONG Wang，YANG Fan

（School of Energy and Power Engineering/Shanghai Key Laboratory of Multiphase Flow and Heat Transfer in Power Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract：Based on lattice Boltzmann color gradient model， numerical simulation was carried out for the deformation and breakup of droplets in two-dimensional shear flow. Effect of capillary number Ca， Reynolds number Re and viscosity ratio λ of different fluids on droplet deformation in shear flow was investigated. Three different deformation or breakup ways of droplets were distinguished in the phase diagram of Re-Ca. In addition， to understand the effect of interface on the fluid inside the droplet， tracer particles were introduced， and their motion patterns in the droplets were analyzed. Results show that the increase of Ca number resulted in enhanced deformation effect and weaker deflection angle of droplets， which affected the motion of tracer particles greatly. With the increase of Re number， the droplets deformation became strong， while weak deflection angle was observed. These phenomena affected the motion of tracer particles significantly. When the viscosity ratio was low （λlt;0.8）， the droplets underwent a large deformation process. When the viscosity ratio continued to increase， the deformation parameter decreased. The closer the tracer particle to the initial center of circle， the longer the movement distance， which caused greater shearing effect on tracer particles. They got closer to the interface and stabilized ultimately.

Keywords：color gradient model; shear flow; droplet deformation; droplet breakup; tracer particle

互不相溶的液?液兩相體系廣泛存在于自然界以及人類的生產(chǎn)、生活過程中，在能源熱轉(zhuǎn)換、石油化工、材料制備和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域均扮演著重要角色。對(duì)由多個(gè)不混溶相組成的高黏度流體組分進(jìn)行加工，將一種液體分散到另一種不混溶液體中，是藥物、化妝品、藥品和食品乳液制造過程中的關(guān)鍵步驟［1-2］。因此，有必要研究剪切流中液滴的流體力學(xué)，以細(xì)致了解多相分散體的流變特性，準(zhǔn)確掌握剪切流動(dòng)中液滴的流變特性及其內(nèi)在機(jī)理，這對(duì)研究液滴動(dòng)力學(xué)行為的理論研究具有重要的學(xué)術(shù)意義。

從20世紀(jì)30年代 Taylor［3-4］的開創(chuàng)性研究開始，許多學(xué)者對(duì)液滴變形和破裂的研究做出了貢獻(xiàn)。在實(shí)驗(yàn)研究方面，部分學(xué)者研究了一些無量綱數(shù)對(duì)液滴動(dòng)力學(xué)行為的影響。張紅光等［5］通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了剪切流場(chǎng)中液滴的變形收縮系數(shù)和拉伸率之間的非線性關(guān)系，通過收縮系數(shù)的變化判定剪切對(duì)液滴形變的影響；林長(zhǎng)志等［6］在實(shí)驗(yàn)中研究了牛頓液滴在不相溶連續(xù)體相中的變形斷裂，結(jié)果表明，液滴的斷裂取決于毛細(xì)數(shù)和黏度比，并通過三種機(jī)理得以實(shí)現(xiàn)，分別為頸縮、端部夾斷和毛細(xì)不穩(wěn)定性；Salkin 等［7］結(jié)合實(shí)驗(yàn)和理論，研究了可變形物質(zhì)（如液滴和氣泡）對(duì)線性微障礙物的破碎動(dòng)力學(xué)，通過黏度對(duì)比討論了其對(duì)臨界毛細(xì)數(shù)的影響。相比于實(shí)驗(yàn)，利用數(shù)值模擬方法能對(duì)液滴運(yùn)動(dòng)的一些內(nèi)在機(jī)理與影響規(guī)律進(jìn)行細(xì)致研究。Rallison 等［8］在二維剪切流的研究中，研究了黏度比和毛細(xì)數(shù)對(duì)液滴變形和破碎的影響； Stone 等［9］研究了低雷諾數(shù)黏性流場(chǎng)中液滴變形和破碎的動(dòng)力學(xué)過程，分析了流動(dòng)條件和物性參數(shù)對(duì)液滴尺寸分布的影響； Li 等［10］對(duì)浸沒在低雷諾數(shù)和中等雷諾數(shù)的簡(jiǎn)單剪切流中的液體球體的內(nèi)部、外部和表面流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值研究，結(jié)果表明，雷諾數(shù) Re=0的流線是液球表面上的閉合 Jeffery 軌道，也是液球內(nèi)外的閉合曲線；王程遙等［11］基于流體體積（VOF）液/液相界面追蹤方法，建立了不可壓縮水/油單乳液液滴動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行數(shù)值求解，模擬了剪切流場(chǎng)條件下兩個(gè)相同體積的液滴在碰撞過程中的相互作用及變形行為；駱政園等［12］研究了流體慣性影響下線性剪切流場(chǎng)中彈性界面液滴的變形動(dòng)力學(xué)行為，從而揭示了雷諾數(shù)對(duì)彈性界面液滴變形特性的影響規(guī)律及其內(nèi)在機(jī)理。

本文基于格子 Boltzmann（lattice Boltzmann，LB）顏色梯度模型，對(duì)剪切流場(chǎng)中液滴的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了數(shù)值模擬與詳細(xì)分析。為了深入研究液滴界面對(duì)其內(nèi)部不同位置流體的作用，研究中引入示蹤粒子并對(duì)其運(yùn)動(dòng)位置和運(yùn)動(dòng)形態(tài)進(jìn)行追蹤，探索液滴在不同毛細(xì)數(shù) Ca、雷諾數(shù)和流體黏度比下的變形現(xiàn)象，在 Re?Ca相圖中區(qū)分了不同的變形及破裂模式，并對(duì)液滴內(nèi)部不同初始位置的示蹤粒子運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究。

1 數(shù)學(xué)方法

在 Liu 等［13］的兩相顏色梯度 LB 模型中，兩種不混溶流體分別表示為紅色流體和藍(lán)色流體。顏色梯度模型由碰撞、重著色和流動(dòng)三個(gè)步驟組成，流場(chǎng)中混合流體分布函數(shù)定義為 fi（x， t）= fik（k=r 或 b），有

式中：x 為粒子當(dāng)前的坐標(biāo)位置；fi k為 k 相流體在位置 x 處第 i個(gè)速度方向上的總分布函數(shù)；t 為時(shí)間；Δt 為時(shí)間步長(zhǎng)； ei 為第 i 個(gè)方向上的格子離散速度；?i（fik （x， t））為碰撞項(xiàng)，由碰撞算子?i（1）（fik （x， t））、擾動(dòng)算子?i（2）（fik （x， t））與重著色算子?i（3）組成。

平衡態(tài)分布函數(shù)fieq （x， t）表示為

式中：ωi為權(quán)重系數(shù)；ρ=∑ρk為流體總密度，ρk為 k 相流體的密度； cs = c/（k）43為聲速；c=dx/dt為格子速度；局部速度由ρu = fikei 來確定。

在 Bhatnagar?Grass?Krook（BGK）碰撞算子中，一個(gè)計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，粒子由一個(gè)位置結(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相鄰的結(jié)點(diǎn)，并在該結(jié)點(diǎn)上與其他流體粒子發(fā)生碰撞，即

式中，τ為弛豫時(shí)間。

考慮到在不互溶流體混合區(qū)域不同流體的黏度不相等，通過調(diào)和平均值來得到混合流體的黏度，即

式中：ν為混合流體運(yùn)動(dòng)黏度；νk為 k 相流體的運(yùn)動(dòng)黏度。

k 相流體的弛豫時(shí)間τ與其運(yùn)動(dòng)黏度有關(guān)。

Liu 等［13］推導(dǎo)出兩相模擬中微擾算子的表達(dá)式，并采用連續(xù)表面力的概念來表示界面張力以及質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒的約束。

式中： Bi為流體界面特性參數(shù)， B0=?4/27，B1～B4均為2/27，B5～B8均為5/108；G 為顏色梯度； Ak 為控制界面張力σ參數(shù)。

梯度算子計(jì)算式為

式中：Δ為梯度算子；ρr 為紅色流體密度；ρb 為藍(lán)色流體密度。

σ的表達(dá)形式為

為了促進(jìn)異相的分離并維持相界面的穩(wěn)定，采用重著色方法減少不同流體的混合。在D'Ortona 等［14］的開創(chuàng)性工作基礎(chǔ)上，Latva?Kokko等［15］提出了一些改進(jìn)，各分布函數(shù)定義為

式中：f *（x， t）為通過擾動(dòng)步計(jì)算后得到的新的混合流體的分布函數(shù)；ρl 為 l 相流體的密度；nkl 為界面處的法向向量；β0為異相界面厚度有關(guān)的分離系數(shù)。

2 物理模型及驗(yàn)證

2.1 物理模型

本文對(duì)剪切流動(dòng)中純液滴的變形及破裂過程進(jìn)行了研究，同時(shí)對(duì)液滴中示蹤粒子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了討論。圖1為液滴初始分布和示蹤粒子示意圖，其中：H 為上、下邊界距離；L 為左、右邊界距離。紅色液滴浸沒在藍(lán)色流體中，初始狀態(tài)時(shí)，液滴被置于整個(gè)流場(chǎng)的中心，流場(chǎng)的上、下邊界以大小相同方向相反的速度 U 移動(dòng)。流場(chǎng)的 L=400，H=200，產(chǎn)生的剪切速率為=2U/H，在該剪切流場(chǎng)下，液滴會(huì)產(chǎn)生形變甚至破碎。整個(gè)流場(chǎng)的水平方向上應(yīng)用周期性邊界條件，同時(shí)在上、下壁面應(yīng)用 Zou?He 速度邊界條件［16］。同時(shí)，在水平方向左側(cè)紅、藍(lán)相界面處放置一個(gè)示蹤粒子跟蹤界面處流體的運(yùn)動(dòng)情況。

液滴在流場(chǎng)中受到的剪切作用為黏性力、慣性力和表面張力的共同作用。定義無量綱時(shí)間t*= tσ/（μk √A），其中： k 為 b、r 時(shí)分別表示藍(lán)色、紅色流體的動(dòng)力黏度；A 為液滴的面積。影響液滴變形的因素可以用雷諾數(shù)、毛細(xì)數(shù)、流體黏度比等無量綱數(shù)來描述，各參數(shù)表達(dá)式分別為：毛細(xì)數(shù)Ca =μkR/σ ， R 為液滴半徑，雷諾數(shù)Re =ρR2/μk ，流體黏度比λ=μr/μb。采用變形參數(shù) D 和偏轉(zhuǎn)角度θ定量表征液滴運(yùn)動(dòng)情況，D =（L1? B1）/（L1+ B1），其中： L1、B1分別為液y 方向的夾角。需要指出的是，若無特別說明，本文中所有物理量均取格子單位。圖2為液滴變形參數(shù)示意圖。

2.2 Young?Laplace 定律驗(yàn)證

首先，為驗(yàn)證模型方法的正確性，模擬了不同半徑紅色液滴懸浮在藍(lán)色流體中的情況。計(jì)算區(qū)域選取200×200，兩種流體初始分布情況為

界面張力和流體黏度分別取σ=0.01和ν=0.1，并且在 x 和 y 方向上使用周期性邊界條件。根據(jù)楊拉普拉斯定律，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)穿過界面的壓差?p 與界面張力σ的關(guān)系為

圖3為Young?Laplace 定律驗(yàn)證結(jié)果。由圖中可知，相界面的內(nèi)外壓差與液滴半徑的倒數(shù)1/R 成正比，其斜率為0.0101，與本文中給定的界面張力（0.01）一致，符合 Young?Laplace 定律。

2.3 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證

本文采用網(wǎng)格密度為200×400進(jìn)行模擬，并選取100×200和400×800兩種網(wǎng)格密度與其進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，計(jì)算中除網(wǎng)格密度外其他參數(shù)均一致。結(jié)果如表1所示，其中ε為誤差。在三種不同的網(wǎng)格密度下，液滴在剪切流場(chǎng)中變形參數(shù)和偏轉(zhuǎn)角度的差別均很小。

3 結(jié)果與討論

3.1 毛細(xì)數(shù) Ca 對(duì)液滴變形的影響

首先，在 Re=0.8、R/H=1/2、λ=1下，研究毛細(xì)數(shù)對(duì)剪切流中液滴變形的影響，結(jié)果如圖4～5所示。將毛細(xì)數(shù)限制在0.05～0.55內(nèi)時(shí)可以控制液滴的變形程度且使其不會(huì)發(fā)生破裂。從圖中可以看到，隨著毛細(xì)數(shù)的變化，液滴的形態(tài)發(fā)生改變，液滴的變形參數(shù)和偏轉(zhuǎn)角度相應(yīng)發(fā)生變化。在剪切力作用下，液滴從靜止開始沿剪切力作用方向不斷拉伸和傾斜，逐漸偏離橢圓形，并在達(dá)到最大形變時(shí)保持穩(wěn)定。當(dāng) Ca較小時(shí)，液滴受到的黏性剪切力不足以抵抗表面張力，液滴的變形程度較小；當(dāng) Ca不斷增大時(shí)，黏性剪切

力對(duì)液滴的影響開始占主導(dǎo)地位，液滴的變形程度加大。同時(shí)，從圖5（b）中也可以發(fā)現(xiàn)，液滴的變形參數(shù)隨 Ca 近似線性變化。

相界面處示蹤粒子在不同 Ca下的運(yùn)動(dòng)路程和剪切作用如圖6所示，其中：S 為示蹤粒子運(yùn)動(dòng)路程；Δux 為示蹤粒子速度在 x 方向上的分量與其所處位置的剪切速度之差，可反映剪切流場(chǎng)對(duì)示蹤粒子產(chǎn)生的作用。圖6（a）中，低 Ca 下示蹤粒子運(yùn)動(dòng)速度較小，其運(yùn)動(dòng)路程也較小。隨著 Ca增加，示蹤粒子運(yùn)動(dòng)速度增大，運(yùn)動(dòng)路程增加；當(dāng) Ca增大到一定程度時(shí)，示蹤粒子的變化趨于穩(wěn)定。圖6（b）中，當(dāng) Ca較小時(shí)示蹤粒子受剪切作用的影響較大，速度變化較大，當(dāng) Ca 增大時(shí)示蹤粒子受剪切作用的影響以及相應(yīng)速度的變化均不大。

3.2 雷諾數(shù) Re 對(duì)液滴變形的影響

在 Ca=0.35、 R/H=1/2、λ=1下，雷諾數(shù)Re 對(duì)剪切流動(dòng)中液滴變形的影響如圖7～8所示，其中將 Re控制在0.2～1.2之間。低 Re 下黏性力占主導(dǎo)地位，液滴不易發(fā)生變形，隨著Re 增大，液滴的變形參數(shù)隨之增大；Re 增大意味著液滴受到的慣性力越大，液滴在水平方向受到的剪切作用增強(qiáng)，液滴的變形效果更加強(qiáng)烈。 從圖 8 中可以看出，隨著 Re 增加，液滴的偏轉(zhuǎn) 角度變化幅度較小，說明液滴的偏轉(zhuǎn)角度已處于 一個(gè)較穩(wěn)定的范圍。

圖 9 為 Re 對(duì)示蹤粒子運(yùn)動(dòng)路程和剪切作用 的影響。圖 9（a） 中界面處示蹤粒子的運(yùn)動(dòng)路程 呈逐漸增大的趨勢(shì)。圖 9（b） 中，Re 越大，示蹤 粒子水平方向速度與剪切速度的差值越大；隨 著 Re 的增大，示蹤粒子受到的慣性力增大，示 蹤粒子的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)路程均增大。在 Re 增 大時(shí)，液滴的變形也隨之加劇。

3.3 紅藍(lán)相黏度比 λ 對(duì)液滴變形的影響

在 Ca=0.35、Re=0.8、R/H=1/2 下，紅藍(lán)相 黏度比 λ 對(duì)液滴動(dòng)力學(xué)行為的影響以及對(duì)液滴變 形參數(shù)和偏轉(zhuǎn)角度的影響分別如圖 10、11 所 示。隨著 λ 的增加，液滴的變形參數(shù)先增大后減 小，其偏轉(zhuǎn)角度先增大后保持穩(wěn)定。這說明當(dāng) λ 較小時(shí)，λ 的增大會(huì)使得施加在液滴上的黏性 剪切力增加，使液滴在剪切作用下的變形加劇， 從而往水平方向逐漸偏轉(zhuǎn)；當(dāng) λ 較大時(shí)，液滴相 對(duì)于外部連續(xù)相表現(xiàn)得更像固體，流場(chǎng)對(duì)其施加 剪切力的作用效果較小，液滴變形效果降低，其 朝水平方向的偏轉(zhuǎn)程度變化不大。

圖 12 為 λ 對(duì)示蹤粒子運(yùn)動(dòng)路程和剪切力作 用 的 影 響 。 從 圖 中 可 以 看 出 ，當(dāng) λ 大于 0.25 時(shí)，不同 λ 對(duì)界面處示蹤粒子的運(yùn)動(dòng)影響較小， 改變液滴的黏性而保持流場(chǎng)區(qū)域流體黏性不變對(duì) 示蹤粒子的驅(qū)動(dòng)力作用不明顯，示蹤粒子受到的 剪切作用效果變化不大，其運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)路程 的變化均較小。

3.4 液滴變形和破裂的 Re?Ca 相圖

圖 13 為剪切流場(chǎng)中液滴不同變形和破裂的 Re?Ca 相 圖 。 可 以 看 到 ， 當(dāng) 將 Ca 控 制 在0.05～0.35時(shí)，液滴會(huì)發(fā)生類型1變形，且在變形穩(wěn)定后其內(nèi)部會(huì)形成一個(gè)渦；此時(shí)增大 Re 或 Ca 會(huì)使液滴的變形加劇，并逐漸被拉伸成啞鈴狀，內(nèi)部形成兩個(gè)渦；如果再進(jìn)一步增大 Re 或 Ca 會(huì)使得液滴達(dá)到變形的極限，啞鈴狀液滴的中間連接部分被拉斷，從而破裂形成兩個(gè)獨(dú)立的液滴。

3.5 液滴不同位置示蹤粒子的運(yùn)動(dòng)情況

在 Ca=0.35、Re=0.8、R/H=1/2、λ=1下，示蹤粒子與液滴圓心初始距離對(duì)其運(yùn)動(dòng)路程以及剪切作用的影響。如圖14所示，其中 p 為示蹤粒子初始位置距離液滴圓心的距離。圖14（a）、（b）分別反映了液滴發(fā)生變形生成單個(gè)渦和兩個(gè)渦時(shí)的情況。離液滴圓心越遠(yuǎn)的示蹤粒子運(yùn)動(dòng)路程越大，直到示蹤粒子接近界面時(shí)，由于表面張力的存在它受到來自界面的約束作用增強(qiáng)，運(yùn)動(dòng)路程才有所減少。

從圖 14（c）可以看到，當(dāng)液滴內(nèi)部生成一個(gè)渦時(shí)，初始位置離液滴圓心越近的示蹤粒子受到的剪切作用越小，其速度越小，運(yùn)動(dòng)路程也越短。圖14（d）中液滴在變形過程中產(chǎn)生兩個(gè)渦，離圓心較近的示蹤粒子會(huì)在變形后向啞鈴狀液滴的一側(cè)運(yùn)動(dòng)，距離較遠(yuǎn)的示蹤粒子則會(huì)在整個(gè)液滴區(qū)域內(nèi)作繞流運(yùn)動(dòng)，同樣離圓心距離越遠(yuǎn)的示蹤粒子受到的剪切作用較小。

圖15（a）為單個(gè)渦中示蹤粒子與界面距離Q 隨時(shí)間的變化。在變形過程中示蹤粒子與界面的距離越來越小，而后保持穩(wěn)定。圖15（b）為在兩個(gè)渦中示蹤粒子與界面距離隨時(shí)間的變化，相比于圖15（a），示蹤粒子最終與界面的距離更小，此時(shí)液滴被拉伸成啞鈴狀，總體呈細(xì)長(zhǎng)狀態(tài)。

4 結(jié) 論

應(yīng)用格子玻爾茲曼顏色梯度模型研究了液滴在二維剪切流動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)行為。討論了雷諾數(shù) Re、毛細(xì)數(shù) Ca 和流體黏度比對(duì)復(fù)合液滴拉伸變形的影響和示蹤粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)液滴變形和破裂的 Re?Ca 相圖進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論：

（1）在剪切流場(chǎng)中，隨著 Ca 的增大，液滴逐漸拉伸為橢圓形，且變形程度逐漸增大，示蹤粒子的運(yùn)動(dòng)路程隨之增大，其受到剪切作用的影響先增大后趨于穩(wěn)定。

（2）隨著 Re 的增加，液滴的變形參數(shù)增大，偏轉(zhuǎn)角度變化不大，示蹤粒子的運(yùn)動(dòng)路程增大，其受到的剪切作用也越大。

（3）隨著λ的增加，液滴的變形參數(shù)先增大后減小，偏轉(zhuǎn)角度先增大后保持穩(wěn)定，示蹤粒子隨黏度比的變化，其運(yùn)動(dòng)路程和受到剪切作用的變化變化均不大。

（4）在 Re?Ca 相圖中可以看到兩種不同的變形類型和液滴破裂形態(tài)的分布，隨著 Re 與 Ca 的增大，液滴形態(tài)由變形轉(zhuǎn)為開始破裂。

（5）離液滴圓心初始距離越近（離界面越遠(yuǎn)）的示蹤粒子運(yùn)動(dòng)路程越大，受剪切作用的影響越大。

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