連續時間晶體的前沿研究綜述

摘 要： 時間平移對稱性表明系統在時間演化下具備不變的動力學特性。時間晶體是一種特殊的多體系統非平衡相態，其因時間平移對稱性的自發破缺而表現出隨時間周期性振蕩。根據自發對稱性破缺的類型，時間晶體可分為離散時間晶體和連續時間晶體。最近在超冷原子-腔系統、摻鉺離子系統、里德堡原子、核自旋固態等不含時的哈密頓量系統中，都觀察到連續時間平移對稱性的自發破缺。文章綜述近期連續時間晶體的實驗成果，可為深入理解連續時間晶體的特性和潛在應用提供參考。

關鍵詞： 平移對稱性自發破缺; 連續時間平移對稱性自發破缺; 連續時間晶體

中圖分類號： TB9; O43 文獻標志碼： A 文章編號： 1674–5124（2024）12–0030–15

1 時間晶體的發展

傳統的晶體結構，是由大量微觀物質單位（原子、離子、分子等），通過分子間相互作用在三維空間中形成排列規律且穩定的周期性結構。以自然界中的水為例，液態水和水蒸汽在空間中具有平移對稱性，在空間中的不同位置上觀察其形態都會展現出同樣的結構。但當溫度降低時，分子間的動能減小，分子間相互的吸引力增大，這會促使水分子排列成有序的晶體結構“冰”，從而具有六邊形對稱性。雖然水分子間作用力的形式并無改變，但這種空間晶體的形成打破了空間上的連續對稱性。整個晶體在空間只能平移離散的、特定的距離才能與初始狀態重合[1-3]，其對稱性由連續平移不變性變為離散平移不變性。這意味著對稱性的減少和破缺。另一方面，若把結晶后的晶格平移任意一段距離，就能得到一個與之前不同的晶格位形，但選擇哪種晶格位形并不是唯一的，這意味著這種對稱破缺是自發的，也是自組織的結果。自組織是從無序轉變為有序狀態的一種自發過程，在生物系統中，隨處可見的螢火蟲的發光，大腦的神經元結構等，都屬于自組織行為[2，4-11]。

時空的概念是相互聯系的，2012 年Shapere 和Wilczek 首次提出時間晶體（time crystal， TC） 的概念，將空間晶體類似對稱性的概念推廣到了時間的維度上。此時，時間連續平移對稱性意味著一個物理系統的基本規律在不同的時間點上是相同的，不隨時間的推移而改變。如果在時間的維度上出現自發平移對稱性破缺，那么系統將自組織地隨時間展現出周期性的變化并形成穩固的時間晶體[1-3，8-12]，它的狀態每隔一段時間就會重復，時間上呈周期性。

Wilczek 最初對時間晶體的構想為：如果一個系統的哈密頓量不依賴于時間，時間平移對稱性自發破缺可以發生在系統能量最低的基態，從而使得基態中的物理量表現出時間上的周期振蕩，這種新奇的物質狀態稱之為 “時間晶體”[11]。時間晶體的概念若應用于經典系統，則要求系統的哈密頓量為最小值的時候粒子進行周期運動。但其在經典物理系統中無法實現，因為此時粒子速度為零，無法尋找到一個能量值最低且速度不為零的值[8，11-13]。同年，Wilczek 設想了在量子系統中[8]，帶電粒子圍繞具有磁通的圓環做運動的情形。在圓環上放置大量的粒子，并假設它們是量子統計意義下的玻色子，可以使得這些粒子發生玻色—愛因斯坦凝聚（BEC）。當它們之間的引力很強時，該凝聚態將會塌縮為一個球[1-2]。塌縮成球的過程類似于空間晶體結構的形成，可以被定位。隨著粒子沿著圓環的不同速率的運動，其空間分布自發表現出隨時間的變化，呈現出時間晶體的特性。

然而，Bruno 證明這樣的時間晶體其實不是在系統的基態上實現的，其能量比基態要高[7，12]。H.Watanabe 和M. Oshikawa 在Bruno 的基礎上嚴格地證明了no-go 定理，表明在基態或有限溫度的熱平衡態下，只具有短程相互作用，且系統的哈密頓量不依賴于時間的多體物理系統，在熱力學極限下不可能實現時間晶體[14]。

在這樣的結論下，平衡態下多體系統基態中出現時間晶體的可能性被排除了，但是人們發現量子時間晶體可以在激發態的系統中實現[9，12-13]。這一發展導致了時間晶體的研究方向轉移到非平衡多體系統，按照時間晶體對稱性的特點，可以將其大致分為離散時間晶體和連續時間晶體兩類。離散時間平移對稱性表示只有移動固定的時間量后，系統才會回到初始的狀態，其自發破缺對應離散時間晶體（discrete time crystal， DTC）；連續時間平移對稱性表明在連續的時間變化下，系統狀態仍保持不變，其自發破缺則對應連續時間晶體（continuous timecrystal， CTC）。一般來說，連續時間晶體被認為更加接近于最初提出時間晶體的設想。

隨著Sacha 在超冷原子系統中引入離散時間平移對稱性自發破缺的概念[15]，離散時間晶體的概念被逐漸推廣到周期性驅動的孤立系統中。因為在周期性哈密頓量驅動下，離散時間晶體可以在非短程相互作用下存在。與外界驅動的周期無關，系統在受到微擾且將驅動撤離后，仍然能夠維持離散時間平移對稱性的破缺[4，6，9，12-13，15]。該自發破缺將引起一個亞諧波（系統的振蕩頻率是其基本頻率的一個分數倍）的振蕩，其振蕩的周期頻率不同于周期驅動的頻率（在最初的實驗中，為驅動頻率的二分之一） ， 這種自發破缺態被稱為弗洛凱時間晶體（Floquent TC）或離散時間晶體（DTC）。其顯著特征是對驅動頻率的亞諧波響應[16]。除了超冷原子-腔系統，在基于自旋的系統中也會出現類似的現象[17-23]。

外部驅動的引入，一方面可以誘導系統出現自發的時間平移對稱性破缺；另一方面，驅動的能量會被系統吸收，變成熱能。若無法及時排出熱量，系統會衰變到熱平衡態，從而導致時間晶體無法持續存在。要觀察到時間晶體，如何解決驅動帶來的熱化并保持時間晶體的長壽命是很關鍵的問題。不同的研究團隊提出了多種機制， 如利用預熱（prethermalization）、多體局域化（ many-bodylocalization）和耗散（dissipation）來減緩熱化[18，22-43]。不同類型的離散時間晶體已經在捕獲離子[10，38]，自旋系統[17-23]，超低溫原子[44-45]，超導量子位[36，46-48]和其他系統[49-51] 的理論和實驗中得到證明。