函數(shù)域中差集與不可約多項(xiàng)式的一個(gè)注記

藺玉榮，吳家淼，李國(guó)全，許貴橋

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

設(shè)N 為全體自然數(shù)的集合，記N+=N{0}，P 為全體素?cái)?shù)的集合，記P-1={p-1：p∈P}.對(duì)于B?N+，如果|B∩{1，2，…，N}|/N=0，則稱(chēng)B 為正密度的.定義B 的差集為B-B={b-b′：b、b′∈B}.文獻(xiàn)[1]采用定量的方法證明了，如果B?N+是正密度的，那么（B-B）∩（P-1）=.此后，文獻(xiàn)[2-5]改進(jìn)或推廣了文獻(xiàn)[1]的估計(jì).目前，文獻(xiàn)[3]得到的界是已知最佳的，文獻(xiàn)[3]得到如下定理1.

定理1[3]設(shè)N∈N+，B?N∩[1，N].若（B-B）∩（P-1）=，則有

這里D≥1 和0

設(shè)Fq為q 個(gè)元的有限域，記Λ?Fq[t]為Fq上的多項(xiàng)式環(huán).記Ω={ω∈Λ：ω 是首1 不可約的多項(xiàng)式}，對(duì)于N∈N+，令GN={m∈Λ：deg m

命題設(shè)N∈N+，A?GN.設(shè)r∈Fq[t]{0}.如果（AA）∩（Ω+r）=，則有

這里C≥1 和0

文獻(xiàn)[6]在命題的條件下得到

本文的主要結(jié)果如下：

定理2設(shè)N∈N+，A?GN，r∈Fq[t]{0}.如果（AA）∩（Ω+r）=，則有

這里C≥1 和C～>0 為只與q 有關(guān)的常數(shù).

1 相關(guān)引理

對(duì)于N∈N+，記=qN.對(duì)于m∈Λ，記|m|=qdegm.對(duì)于Λ 中的一個(gè)有限集A，|A|表示A 的基數(shù).定義Λ+={m∈Λ：m 是首1 的多項(xiàng)式}.

引理1[6]設(shè)N∈N+，r∈Fq{0}，m∈Λ+，A?GN，且則存在N′∈N+，m′∈Λ+，集合A′?GN′，且|A′|=，滿足

這里，0 < κ、c1、c2< 1，C1≥1，C2≥1 為只與q 有關(guān)的常數(shù).

構(gòu)造序列{（Ni，Ai，mi，δi）}i≥0.定義（N0，A0，m0，δ0）=（N，A，1，δ），設(shè)j∈N+，假設(shè)已定義序列如果下式成立

那么由引理1，存在（Nj，Aj，mj，δj），滿足

如果式（2）不成立，則終止定義（Nj，Aj，mj，δj）.

由δj-δj-1≥c2δ>0 和①可得，因?yàn)棣膉≤1，所以上面的定義過(guò)程必終止于有限步.設(shè)其終止于第J 步.

則上面的定義過(guò)程將進(jìn)行到第Z+1 步，而Z+1>J，這導(dǎo)致矛盾，從而應(yīng)有.

由①和②可得

再由③可得

通過(guò)計(jì)算ln R（x）的導(dǎo)數(shù)，可得下面的引理2.

引理2設(shè)

則R（x）在（0，ξ）上單調(diào)遞減，在（ξ，+∞）上單調(diào)遞增，且ξ≤，其中C4≥1 為與q、N 有關(guān)的常數(shù).

文獻(xiàn)[6]通過(guò)說(shuō)明

成立，從而確保式（3）是成立的.而對(duì)于1 ≤j0

即j=j0+1 時(shí)式（2）未必成立.因此，文獻(xiàn)[6]的證明不能確保定義過(guò)程進(jìn)行到第j0+1 步，從而不能保證式（3）有效.

為了確保定義過(guò)程進(jìn)行到第Z 步，需要說(shuō)明對(duì)任意1≤j

對(duì)于x≥0，記

這里C5=C2（1+ c1），則|mj|≤Q（j）.由式（4）和式（5）可知，式（6）應(yīng)修正為

證明使用反證法.假設(shè)δ

2 定理2 的證明

當(dāng)N（只與q 有關(guān)）充分大時(shí)，有l(wèi)n R（x）≥ln C1.

從而，當(dāng)N（只與q 有關(guān)）充分大時(shí)，有l(wèi)n R（x0）≥ln C1.證畢.

引理5如果δ≥C2exp（），則當(dāng)N（只與q有關(guān)）充分大時(shí)，對(duì)于x≥0，有κln R（x）≥ln Q（x）.

證明記

則有

設(shè)

必有κ lnR（x）+lnS（x）≥0.當(dāng)N（只與q 有關(guān)）充分大時(shí)，式（15）成立.

當(dāng)N（只與q 有關(guān)）充分大時(shí)，有

因此，由式（12）—式（14）可知引理結(jié)論成立.證畢.

定理2 的證明

由引理4—6 可知，當(dāng)δ≥C2exp（），N（只與q 有關(guān)）充分大時(shí)，對(duì)于x≥0，有κ lnR（x）-lnQ（x）≥0，ln R（x）≥ln C1，κ ln R（x）+ln S（x）≥0，從而式（7）成立.取C=C2，，則定理得證.

定理2 也可以通過(guò)反證法證明.設(shè)前述定義給出了一個(gè)有限序列，則下面3 個(gè)不等式

至少有一個(gè)成立，進(jìn)而得到一個(gè)關(guān)于δ、N、q 的關(guān)系式，從而得到定理2 的結(jié)論.具體思路參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-9].相比反證法，本文方法利用函數(shù)性質(zhì)可精準(zhǔn)確定δ 的范圍，得到最佳結(jié)果.