基于本構模型的超彈性材料有限元仿真

蔡仁燁 李璐 劉佳 吳敏 孔春玉 曾祥坤

基金項目：國家自然科學基金青年科學基金項目（12302081）；中國博士后科學基金面上資助項目（2023M740743）；廣東技術師范大學教學改革研究項目（JGYB202273）

第一作者簡介：蔡仁燁（1987-），女，博士，講師。研究方向為超彈性材料本構建模。

*通信作者：曾祥坤（1984-），男，博士，副教授。研究方向為有限元仿真。

DOI：10.19981/j.CN23-1581/G3.2024.13.005

摘? 要：超彈性材料因其優異的力學性能，在工程科學、醫療、人體工程學和制造等領域具有非常廣泛的應用。該文將研究不同受載情況對變形血管力學性能的影響，預估動脈損傷的風險程度。結果表明，2階多項式（Polynomial）模型可精確描述血管組織的力學行為，隨著外載荷的增大，動脈組織發生的形變和承受的應力均顯著增加，動脈損傷的風險越大。研究成果為超彈性材料的工程制造、醫學輔助治療提供全新思路和方法，具有重要的意義。

關鍵詞：超彈性；有限元建模；本構模型；非線性彈性；力學性能

中圖分類號：TB115? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2024）13-0018-04

Abstract： Hyperelastic materials are widely used in engineering science， medical treatment， ergonomics， manufacturing and other fields because of their excellent mechanical properties. The influence of different loading conditions on the mechanical properties of deformed blood vessels was studied， and the risk of arterial damage was estimated in this paper. The research results show that the second-order polynomial model can accurately describe the mechanical behavior of vascular tissue. With the increase of external load， the deformation and stress of arterial tissue increase significantly， and the greater the risk of arterial injury. The research results provide new ideas and methods for the engineering manufacture and medically assisted treatment of hyperelastic materials， which is of great significance.

Keywords： hyperelasticity; finite element modeling; constitutive model; nonlinear elasticity; mechanical properties

超彈性材料是一種攻獨立于荷載路徑的非均勻彈性材料，具有不可壓縮或者完全不可壓縮以及非線性大變形的力學特點，比較常見的有韌帶、肌腱或動脈壁等[1-2]?！吨袊难芙】蹬c疾病報告2019》公布的數據顯示，目前，心血管病死亡占城鄉居民總死亡原因的首位。對動脈血管組織力學發展進行研究有利于加深對各種動脈力學性質及其病變機制的理解。脈管疾病動脈粥樣硬化是危害人民生命健康的主要因素，已有文獻[3]證實動脈組織的機械應力和應變與動脈粥樣硬化密切相關。楊帥星[4]考慮了殘余應力的影響，研究分析了支架作用下動脈血管壁的應力分布特征，為主動脈夾層患者術后產生支架源性新破口提供預防與治療的理論依據。趙路明[5]以動脈血管壁單軸拉伸實驗為基礎，基于智能算法預測動脈血管壁材料參數，比較分析了各算法在研究動脈血管壁力學性能上的優缺點。Majid等[6]分析各種年齡層次的人體胸主動脈的力學特性，為開發人類衰老和疾病的模型提供信息。

隨著計算機技術的飛躍式發展，有限元法已廣泛用于超彈性材料的力學行為分析。建立這類材料有限元分析模型的難點在于材料本構模型的確定，而本構模型直接影響有限元分析模型計算結果的準確性。作為典型的超彈性材料動脈血管的本構模型可由應變能函數（Strain Energy Function，SEF）-勢能函數推導出[7]。Weiss等[8]提出完全不可壓縮型生物軟組織應變能函數，用于韌帶有限元模型的構建、分析和驗證。文獻[9]采用Fung-type模型對動脈瘤壁組織進行建模，并將模型應用到ABAQUS的子程序中模擬100 mmHg內壓作用下的腦動脈瘤壁應力分布。Mooney-Rivlin模型、Fung-type模型、HGO模型、Yeoh模型和Polynomial模型等超彈性材料模型已成功應用在商用有限元分析軟件ANSYS和ABAQUS平臺。本文將利用牛動脈的單軸拉伸實驗數據，對比不同超彈性材料本構模型表征動脈組織力學行為的能力，確定合適的動脈血管壁本構模型，對成年牛動脈血管壁進行有限元建模，研究不同外部載荷對牛動脈血管壁的影響。

1? 超彈性材料理論基礎

1.1? 超彈性本構模型

近些年來，許多學者對超彈性材料進行了細致的分析與研究，提出許多不同類型的超彈性應變能函數來描述其力學響應。表1為部分經典的超彈性材料本構模型包括Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型和Polynomial模型和Neo-Hookean模型。其中Mooney-Rivlin模型根據階數的高低，可以分為2參數、3參數、5參數、9參數4種常見模型。Mooney-Rivlin模型是多項式（Polynomial）模型的特殊形式。當N=1時，多項式模型縮減為2參數Mooney-Rivlin，當N=2時，多項式模型縮減為5參數Mooney-Rivlin。因此，本文主要研究3參數Mooney-Rivlin模型、Yeoh 模型、2階Polynomial 模型和Neo-Hookean模型。

表1? 超彈性本構模型

1.2? 參數擬合

本文中實驗數據來源于文獻[6]中對牛進行的單軸拉伸實驗，對表1中的本構模型進行了曲線擬合對比，如圖1所示?？梢悦黠@看出，Neo-Hookean模型的曲線擬合效果最差，而2階Polynomial模型的曲線擬合效果最好。

各個本構模型的材料參數見表2，選取殘差Residual作為評價模型擬合效果的指標參數，其定義了因變量真實值與模型擬合值之間的差。殘差值越小，擬合效果就越好。從表2中可以看出2階Polynomial模型的殘差最?。≧esidual=0.005），與圖1中的擬合效果一致，因此，選擇2階Polynomial模型作為后續仿真工作中牛血管動脈組織的本構模型。

圖1? 各本構模型擬合效果對比圖

2? 動脈血管壁生物力學建模

2.1? 仿真模型

動脈血管壁的形態結構特征比較復雜，有3層結構，分別是內膜、中膜和外膜，為簡化模型，本文將動脈血管壁理想化為圓柱形直筒結構。參考文獻[6]，設定動脈血管壁的內半徑為R=4 mm，血管壁厚度為H=3.06 mm，長度為L=40 mm，對動脈血管壁仿真模型的上表面施加一個固定約束（Fixed Support），為了研究動脈血管在外力作用下的力學行為與力的大小對其影響，對動脈血管壁的下表面分別施加大小為1、2.5、5 N的拉伸力，其余設置條件相同，如圖2所示。

圖3為不同拉伸力下動脈血管壁應變應力分布云圖，從上到下拉伸力依次為1 N（上）、2.5 N（中）、5 N（下），左側為應力分布圖，右側為應變分布圖。從圖3可以看出隨著動脈血管壁上的作用拉伸力越大動脈血管壁會變得更細、更長。

圖3? 不同拉伸力下血管動脈組織的應變與應力分布云圖

我們將血管組織發生的應變值與承受的應力值抽取出來對比分析，見表3。結果表明，1 N拉伸力作用下產生的應變最大值與應變最小值最?。ǚ謩e為0.061和0.018），5 N拉伸力作用下產生的應變最大值與應變最小值最大（分別為0.218和0.079）。血管在1 N拉伸力作用下產生的應力最大值與應力最小值最?。ǚ謩e為0.012 MPa和 0.003 MPa），5 N拉伸力作用下產生的應力最大值與應力最小值最大（分別為0.068 MPa和0.014 MPa），隨著拉伸力的增大，血管動脈組織受到的影響越大，動脈組織的形變急劇增大，增加了血管組織因形變過大發生損傷的風險。從表中可以看出2.5 N相比于1 N拉伸力作用下產生的應變最大值增長了115.92%，應變最小值增長了147.12%，應力最大值增長了166.93%，應力最小值增長了150.56%；而5 N相比2.5 N拉伸力作用下產生的應變最大值增長了64.35%，應變最小值增長了82.21%，應力最大值增長了119.87%，應力最小值增長了75.55%。結果表明，當動脈血管壁承受小的拉伸力的作用范圍內，隨著拉伸力的增大，動脈組織發生急劇的形變，承受的應力快速非線性增長，當拉伸力繼續增大，動脈的應變與應力的增長速度反而趨于平緩。同時結合圖3中能夠看出，當拉伸力為5 N時，其最大應變的區域發生了改變，已從力的作用區域轉移到力作用域有一定距離的地方，證明動脈壁組織內部結構發生了變化，此時動脈組織更易于發生損傷。

表3? 不同拉伸力作用下應變應力數值及變化率

3? 結論

本文針對動脈組織血管開展了超彈性本構模型適用性研究，證明二階多項式模型可以精確地表征其力學行為。并在ANSYS軟件中建立動脈組織血管的有限元模型，結果表明，隨著外部載荷的增大，牛動脈血管壁的結構變化越明顯，其承受的應力也越大，外部載荷對牛動脈血管壁的影響也就越大。當外部載荷增大到一定程度后，雖然牛動脈血管壁的應力應變增長率趨于平緩，但是動脈血管的受影響劇烈區域發生改變，動脈更容易發生損傷。

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