圓錐曲線中定點問題的解題策略

高玉榮

摘 要：圓錐曲線中的定點問題主要是指圓錐曲線試題中直線過定點或者圓過定點問題.本文結合具體例子給出圓錐曲線中定點問題的解題策略，以期為一線教師提供解題思路與方法.

關鍵詞：圓錐曲線；定點問題；直線；斜率；解題策略

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）09-0024-04

圓錐曲線中的直線過定點問題，主要考查直線與圓錐曲線的位置關系以及化歸思想、數形結合思想和數學運算求解能力等.圓錐曲線中定點問題的題型主要有：切點弦問題、斜率之和為定值問題、斜率之積為定值問題以及定點的存在性問題.筆者對圓錐曲線中的定點問題進行分類解析并給出解題策略.

1 解題策略

（1）從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意.

（2）解題的關鍵是設點，設線，直線與圓錐曲線聯系，然后表示出直線的斜率，進而求直線方程并證明結論等.

2 兩垂直弦的中點所在的直線

3 切點弦問題

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l的方程是x+y-6=0，點M是直線l上一點，過點M作橢圓C的切線MG，MH，切點分別為G，H，設切線的斜率都存在，試問：直線GH是否過定點？若過定點，求出該點的坐標；若不過，請說明理由[2].

（2）證明設G（x1，y1），H（x2，y2），M（x3，y3），直線MG的方程為y-y1=k（x-x1）.

得（9k2+1）x2+18k（y1-kx1）x+9（y1-kx1）2-9=0，

則△=18k（y1-kx1）2-4（9k2+1）9（y1-kx1）2-9=0，

化簡得（y1-kx1）2=9k2+1，

所以（x21-9）k2-2x1y1k+y21-1=0，

同理可得，直線MH方程為x2x+9y2y=9.

所以直線GH方程為x3x+9y3y=9.

又x3+y3-6=0，所以直線GH方程為6x-9+（9y-x）y3=0，

利用切點弦的結論，快速解決下面的例3.

證明 由題意得Ax0+By0+C=0，①

將①代入②消去x0得 （Aa2y-Bb2x）y0=a2b2+Cb2x，

4 斜率之積為定值

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設P為雙曲線的左頂點，直線l過坐標原點且斜率不為0，l與雙曲線C交于A，B兩點，直線m過x軸上一點Q（異于點P），且與直線l的傾斜角互補，m與直線PA，PB分別交于M，N（M，N不在坐標軸上）兩點，若直線OM，ON的斜率之積為定值，求點Q的坐標．

解 （1）略.

因為直線m過x軸上一點Q（異于點P），且與直線l的傾斜角互補，所以km=-kl，即kMQ=-kOA，

整理可得（t+1）2-c（t-1）2y20+c（2t-1）=0，其中t≠1.

（方法2）設線[4].設A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），Q（t，0），由（1）知P（-1，0），

得（k2-1）x2+2k2x+k2+1=0，

因為直線OM，ON的斜率之積為定值，設定值為c，

5 定點的存在性問題

（1）求證：k1k2=1；

（2）若O為坐標原點，作OP⊥MN，垂足為P.是否存在定點Q，使PQ為定值？

化簡得4-r2k2-8k+4-r2=0，

所以k1和k2是方程4-r2k2-8k+4-r2=0的兩根，由韋達定理知，k1k2=1.

（2）設點Mx1，y1，Nx2，y2，

所以直線MN的方程為

如圖1，由橢圓的對稱性[5]可知，直線MN必過軸上一定點Ex0，0

化簡得40+12x0k2+3x0+10=0

點評 對于圓錐曲線中的定點、定值問題的求解策略：

（1）對于定點、定值問題，可考慮能否用特殊點或特殊值求得定點或定值，再把結論推廣到一般結論；

（2）運用函數與方程的思想方法進行解答，一般步驟：①選擇適當的變量；②把要證明的定點、定值的量表示為上述變量的函數或方程；③把定點、定值的量化成與變量無關的結構形式，從而加以判定或證明.

6 結束語

圓錐曲線中的定點問題是高考的難題，令很多考生望而生畏.破解圓錐曲線中定點問題的策略主要是通法（即設點、設線、聯立、韋達等），只不過還需要熟悉一些常用的結論，比如切點弦方程、兩點直徑圓、同構思想、齊次化思想等.在解題時，熟悉通法與常用的數學思想最為關鍵，然后進行分類、總結，再加強訓練，假以時日，定能提高學習效率與解題能力.

參考文獻：

［1］李鴻昌.高中數學一點一題型（新高考版）[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2022：7.

[2] 秦儉，林方.同構思想在處理雙切線問題中的應用[J].數學通訊，2022（07）：28-32.

[3] 李鴻昌.高考題的高數探源與初等解法[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2022：4.

[4] 李鴻昌.圓錐曲線中“非對稱”問題的成因及破解策略[J].數學通訊，2022（22）：32-35.

[5] 李鴻昌.二次曲線系在圓錐曲線四點共圓問題中的應用[J].數理化解題研究，2022（07）：92-94.