基于ISM法的中英初中數(shù)學教材比較研究

吳佳敏　林子植

摘? ? ? 要 ISM法（解釋結(jié)構(gòu)模型）經(jīng)過修正和實踐已經(jīng)是一種比較成熟的分析教材結(jié)構(gòu)的科學方法。運用ISM法對中國滬教版和英國CCM版初中數(shù)學教材中“概率”內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)進行分析，通過抽取知識要素、確定要素間關(guān)系和鄰接矩陣、繪制要素層級分布圖，對教材的邏輯順序從起始要素安排、知識要素選取、各要素間關(guān)系和最高要素安排四個方面的異同點進行梳理和對比。基于研究結(jié)果對教材編寫提出知識要素的選取注重知識的深度和聯(lián)系性；知識結(jié)構(gòu)的編排重視內(nèi)在邏輯緊密和整體化；知識要素的價值取向加強與跨學科內(nèi)容融合的建議。對教師教學提出基于知識要素的呈現(xiàn)特點把握教學重難點；基于知識結(jié)構(gòu)的編排優(yōu)化大單元教學設(shè)計；基于知識編排的順序統(tǒng)籌規(guī)劃教學序列的建議。

關(guān) 鍵 詞 解釋結(jié)構(gòu)模型法（ISM法）；初中數(shù)學教材；概率；知識要素層級；中英教材比較

引用格式 吳佳敏，林子植.基于ISM法的中英初中數(shù)學教材比較研究[J].教學與管理，2024（12）：73-77.

2022年教育部頒布《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022版）》），為全面落實立德樹人的根本任務(wù)和進一步深化課程改革提供了綱領(lǐng)性文件[1]。教材作為課程標準的重要載體，是課程標準的具體化，在基礎(chǔ)教育改革中處于基礎(chǔ)性、戰(zhàn)略性的地位。隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷推進，中小學教材的研究逐漸成為數(shù)學教育研究的熱點[2]。教材知識內(nèi)容的編寫質(zhì)量和順序結(jié)構(gòu)對課程改革的成敗起著舉足輕重的作用[3]。國內(nèi)外教材的對比研究是編寫和完善教材的重要途徑之一，通過對比我國與不同國家的教材，借鑒他國教材中的長處，從而完善我國教材。

ISM（Interpretive Structural Modeling Method）法，即解釋結(jié)構(gòu)模型法，是一種運用于解決較為復雜的社會經(jīng)濟系統(tǒng)問題的理論方法。在當前的教學理念中，ISM法可以將教材內(nèi)部知識要素凌亂錯落的關(guān)系，結(jié)合自身主觀認識和經(jīng)驗整理成客觀清晰的結(jié)構(gòu)模型[4]，對教材的結(jié)構(gòu)進行量化分析最終以可視化的方式呈現(xiàn)，構(gòu)建教材的知識結(jié)構(gòu)模型，促進教師和學生對教材的理解。隨著對ISM法研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)有不少學者將ISM法運用于地理、物理、化學和數(shù)學等多個學科領(lǐng)域的教材分析中。原玉娟和徐章韜用ISM法分析人教A版高中數(shù)學必修系列5冊教科書，指出教科書的教學序列安排[5]；呂超等人結(jié)合《拋物線》實例展示將ISM法應(yīng)用于教材分析的意義[6]；曹月使用ISM法分析人教A版和北師大版指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，得到兩個版本教材關(guān)于指對函數(shù)的編寫特點[7]；楊莉運用ISM法對人教版、英國CIE版以及澳大利亞IB版關(guān)于高中數(shù)學教材的“復數(shù)”內(nèi)容實際編排順序進行比較分析，得到各個版本的要素之間的關(guān)系[8]；鄭金借助修正后的ISM法對人教A版和蘇教版數(shù)學必修4的各章知識內(nèi)容進行梳理，得出不同編排順序的優(yōu)劣勢[9]。

ISM法經(jīng)過修正和實踐已經(jīng)是一種比較成熟的分析教材結(jié)構(gòu)的科學方法，但從已有的研究中發(fā)現(xiàn)涉及數(shù)學學科領(lǐng)域的教材分析較少，主要集中在高中數(shù)學教材分析，且以國內(nèi)的各個版本的比較為主。在大數(shù)據(jù)時代，概率素養(yǎng)是當今公民需要具備的一項不可或缺的數(shù)學素養(yǎng)[10]。因此，本文以“概率”內(nèi)容為例，通過借助ISM法對上海教育出版社出版的初中數(shù)學教材和英國劍橋大學出版社出版的《Cambridge Checkpoint Mathematics》（以下簡稱“滬教版”和“CCM版”）進行比較，以期為新教材編寫工作提供理論依據(jù)，為教師教學提供一定參考。

一、研究設(shè)計

1.研究對象

課程標準在各個國家的教育改革中起著綱領(lǐng)性的作用，是教材編寫的主要依據(jù)。本文選取了2019年出版的中國滬教版初中數(shù)學教材和2013年出版的英國CCM版初中數(shù)學教材作為研究對象。兩個版本的教材是根據(jù)各自國家的課程標準編寫，中國滬教版依照2004年《上海市中小學數(shù)學課程標準（試行稿）》[11]，英國CCM版依照2007年《國家數(shù)學課程》進行編寫[12]。根據(jù)兩個版本教材中關(guān)于“概率”的內(nèi)容要求，選取兩個版本教材關(guān)于“概率”的具體章節(jié)內(nèi)容（見表1），其中滬教版涉及“概率”的章節(jié)分布在八年級下冊第二十三章“概率初步”，CCM版涉及概率的章節(jié)分別分布在七年級Unit16 Probability、八年級Unit15 Probability和九年級Unit16 Probability。

2.研究方法

運用ISM法可以將教材內(nèi)部知識要素間雜亂無章的關(guān)系整理成清晰明確的遞階結(jié)構(gòu)模型，對教材進行量化研究形成相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)圖，以此實現(xiàn)教材分析的科學性、嚴謹性和直觀性。ISM法分析教材的具體操作步驟如圖1所示。

3.研究過程

（1）抽取知識要素

按照研究方法對知識要素進行抽取，結(jié)合兩國課標中關(guān)于“概率”的內(nèi)容標準整理知識要素，為了保證教材研究的科學性和客觀性，知識要素的抽取要滿足以下三個條件：①教材明確提出且字體加粗的概念；②教材主要的知識點；③在教材中處于承上啟下的地位。結(jié)合這三個條件，對滬教版和CCM版“概率”內(nèi)容主題抽取知識要素，并對其進行編碼（見表2）。

（2）確定要素間關(guān)系，形成鄰接矩陣

根據(jù)ISM法的規(guī)定，為了最大程度減少確定要素間形成關(guān)系的主觀判斷，明確要素間的關(guān)系，需準確把握教材的知識結(jié)構(gòu)，按照教材的實際編排順序。若學習者想掌握要素S2，則先要學會和掌握要素S1，則稱要素S1和S2之間存在“直接關(guān)系”，稱S1為先行要素，S2為可達要素。根據(jù)表2抽取的知識要素和上述定義，對滬教版和CCM版的“概率”知識要素進行“直接關(guān)系”分析（見表3）。

根據(jù)滬教版和CCM版教材關(guān)于“概率”知識要素直接關(guān)系表，形成鄰接矩陣。對表3進行分析形成雙向形成表格，其中縱軸表示“先行要素”，橫軸表示“可達要素”，兩者若有直接關(guān)系，則用“1”標記，若兩者不存在關(guān)系則用空格表示，其次將滬教版和CCM版的雙向形成表格用鄰接矩陣表示，根據(jù)可達要素的個數(shù)（M），繪制一個M*M的矩陣，在矩陣中將雙向形成表格中的空格用“0”來表示，表格中“1”不變，將鄰接矩陣定義為A，得到鄰接矩陣后利用Matlab軟件進行編程求出可達矩陣P，其中表示可達要素到要素之間存在直接或間接的關(guān)系，0表示可達要素到要素之間不存在直接或間接的形成關(guān)系（不考慮兩個要素之間鏈接路徑的長度）。

（3）形成要素層級分布圖

根據(jù)可達矩陣運算要素層級分布并繪制要素層級分布圖。首先明確可達和先行集合的概念定義：可達集合P（si）是從要素si出發(fā)能到達的全部知識要素的集合；先行集合A（si）是所有能達到的知識要素si的集合。若滿足P（si）∩A（si）=P（si），則稱要素si為該層級的最高層級。通過以上步驟，對滬教版和CCM版的“概率”知識要素進行處理，得到兩個版本知識要素層級分布表（見表4）。

根據(jù)表4的兩個版本“概率”知識要素層級分布表可以發(fā)現(xiàn)，滬教版有10層目標，CCM版有9層目標，從低層到高層繪制要素層級有向圖（如圖2）。

二、研究結(jié)果與討論

通過上述步驟得到滬教版和CCM版關(guān)于“概率”知識要素層級有向圖，可以發(fā)現(xiàn)滬教版一共涉及10個層級，CCM版涉及9個層級，根據(jù)兩個版本的層級有向圖從起始要素安排、知識要素選取、各要素間關(guān)系和最高要素安排四個方面進一步比較。

1.起始要素安排的異同

要素層級有向圖中最低層級的要素，只有指出箭頭，沒有指入箭頭。滬教版和CCM版的起始要素略有不同，但均是讓學生明確事件發(fā)生的可能性。滬教版選取“必然事件”作為起始要素，描述在一定條件下必定會出現(xiàn)的現(xiàn)象。采用4個日常生活例子引出關(guān)于不同事件的概念，引導學生從現(xiàn)實生活情境中初步理解概率知識。CCM版以“可能事件”作為起始要素，描述某一事件發(fā)生的可能性，直接通過給出事件發(fā)生可能性大小的程度副詞的相關(guān)定義，幫助學生理解在特定條件下某一現(xiàn)象發(fā)生的概率大小。可以看出，兩個版本教材均在起始要素中滲透事件發(fā)生的可能性大小，感悟數(shù)據(jù)的隨機性，初步形成數(shù)據(jù)意識。

2.知識要素選取的異同

通過對兩個版本“概率”知識要素進行比較，發(fā)現(xiàn)中英教材對知識要素的選取存在共性與差異。首先從數(shù)量上，滬教版一共有12個知識要素，CCM版有15個知識要素，相差不大。其次從具體要素的選擇上，兩個版本教材關(guān)于“事件及其發(fā)生的可能性”上涉及知識要素的分類大體一致，其中滬教版的“枚舉法”和“樹形圖”對應(yīng)CCM版的“樣本空間圖”，CCM版囊括滬教版其他知識要素，雖命名稍有差異，但所指知識點內(nèi)容是一致的。然而，CCM版比滬教版多“概率度量”“相對頻數(shù)”和“互斥事件”等知識要素。“概率度量”用某事件發(fā)生的概率作為度量標準，是一個[0，1]之間的實數(shù)，等價于滬教版中的“古典概型”，但滬教版未將其進行細分。“相對頻數(shù)”指相對于總數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，滬教版將其體現(xiàn)在頻率中，未將其單獨列出。“互斥事件”是滬教版未涉及的知識要素，是兩個版本關(guān)于知識要素的主要不同點，國內(nèi)關(guān)于“互斥事件”的知識要素在高中學段才出現(xiàn)明確定義，而CCM版在初中階段出現(xiàn)。

3.各要素間關(guān)系的異同

通過比較兩個版本知識要素層級有向圖發(fā)現(xiàn)，兩個版本在層級的分布編排上大體按照“事件及其發(fā)生的可能性大小—事件的概率—概率的計算”這一邏輯順序循序漸進地呈現(xiàn)知識點內(nèi)容。這種教材的編排方式符合學生認知發(fā)展規(guī)律，有利于學生由簡單到復雜、由具體到抽象，循次而進地加深對于“概率”知識的理解。在具體知識的邏輯編排上，兩個版本具有一定區(qū)別。滬教版和CCM版對于“事件及其發(fā)生的可能性大小”的相關(guān)概念采取不同的處理方式，滬教版按照必然事件、不可能事件到確定事件，從隨機事件到很可能發(fā)生事件再到很不可能發(fā)生事件的次序依次展開，既包括歸納順序也有演繹的邏輯順序，CCM版主要以歸納的邏輯順序進行編排知識點內(nèi)容，從可能事件到不可能事件再到確定事件，讓學生明晰事件發(fā)生可能性大小的相關(guān)概念。

4.最高要素安排的異同

要素層級有向圖中最高層級的要素，只有指入箭頭，沒有指出箭頭。滬教版牽涉的兩個最高要素分別為“概率估計值”和“樹形圖”，通過畫樹狀圖的方法求出簡單隨機事件的所有可能結(jié)果，借助樹狀結(jié)構(gòu)的分層特征，對某一事件發(fā)生的可能情況進行逐一枚舉，從而直觀求解，能夠領(lǐng)悟在大量重復試驗下，隨機事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，通過頻率估計概率，初步構(gòu)建學習概率內(nèi)容所需的知識和方法。CCM版涉及四個最高要素分別為“隨機事件” “互斥事件”“樣本空間圖”和“相對頻數(shù)”，均是學習概率內(nèi)容的最高要素，明晰“隨機事件”和“互斥事件”的概念對計算和理解概率具有重要作用，“樣本空間圖”讓學生學會列舉所有可能發(fā)生情況，“相對頻數(shù)”是學生通過列舉之后進行統(tǒng)計所有可能發(fā)生的數(shù)量，鞏固先前所學事件發(fā)生的可能性大小及概率求解的知識點內(nèi)容。兩個版本均將枚舉法作為最高層級的知識要素，說明該知識要素是初中階段學習概率內(nèi)容的基本技能。

三、思考與建議

通過ISM法對中英兩個版本初中數(shù)學教材“概率”內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)進行比較分析，試圖把教材中關(guān)于概率內(nèi)容的知識要素間的實質(zhì)聯(lián)系以層級有向圖進行直觀地展示，有助于研究者和教師更好地把握教材知識結(jié)構(gòu)，為教材的編寫和修訂，教師的教學提供一定的參考。

1.關(guān)于教材編寫的建議

（1）知識要素的選取注重知識的深度和聯(lián)系性

在選取知識要素時，CCM版教材注重初高中內(nèi)容的銜接，因此需要考慮知識的縱向和橫向聯(lián)系，利用知識間的聯(lián)系和恰當?shù)臄?shù)學方法來促進深度學習，有利于學生高階思維的發(fā)展[13]。高中知識的抽象概括性和初中知識具有一定跨度，這需要在初中階段適當增加某些內(nèi)容領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識要素，為之后學習打下基礎(chǔ)。概率和統(tǒng)計相輔相成，需以聯(lián)系的眼光看待。概率是推斷統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)，概率是在特定條件下可收集到的研究數(shù)據(jù)，而推斷統(tǒng)計是根據(jù)已有數(shù)據(jù)進行推測[14]。因此，教材對于概率知識要素的選取要為后階段學習打下基礎(chǔ)，同時注重與統(tǒng)計內(nèi)容的聯(lián)系。

（2）知識結(jié)構(gòu)的編排重視內(nèi)在邏輯緊密和整體化

CCM版在知識要素的邏輯編排上非常緊密，考慮學生現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)，并妥善地編排了各個知識要素。在充分理解課程標準和學生原有認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，教材的編排應(yīng)注重知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，并實現(xiàn)知識之間的相互轉(zhuǎn)化，這有助于提高學生的思維品質(zhì)，并促進學生構(gòu)建完整的知識體系[15]。最新研究指出，學生需要先理解樣本空間，即通過枚舉法列舉出試驗的所有可能結(jié)果，才能量化某個事件發(fā)生的概率。因此，教材在概率內(nèi)容的編排上應(yīng)基于學生的認知水平，逐步過渡從定性認識到定量認識，從感知隨機性到了解簡單隨機事件中所有可能發(fā)生的結(jié)果，并逐步感知和描述可能性的大小——事件概率[16]。

（3）知識要素的價值取向加強學科內(nèi)容融合

兩個版本在“概率”內(nèi)容知識要素的選取上涉及該內(nèi)容領(lǐng)域的核心概念，而數(shù)學具有方法的普適性、應(yīng)用的廣泛性和理性思維的獨特性等特點，因此數(shù)學與其他學科融合有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)[17]，以跨學科思維確定知識要素的價值取向，有助于學生系統(tǒng)地建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)。選擇學生熟悉的跨學科知識要素素材，以合適的問題情境創(chuàng)設(shè)，不僅能引導學生進行數(shù)學地分析、思考和反思，還可以激發(fā)學生的創(chuàng)新意識[18]，例如將航空航天、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學、藝術(shù)、科學、工程、信息等對國家發(fā)展重要的知識素材融入到概率內(nèi)容中，學生可以積累在未來從事的工作中通過概率知識來解決問題的經(jīng)驗。

2.關(guān)于教師教學的建議

（1）基于知識要素的呈現(xiàn)特點把握教學重難點

概率統(tǒng)計的目的是為了解決問題，而概率背后的基本知識要素是教學重難點[19]，對于數(shù)據(jù)、期望、分布、樣本和抽樣等思想都應(yīng)該囊括其中。ISM法呈現(xiàn)知識要素的聯(lián)系和層級結(jié)構(gòu)有向圖，將“概率”內(nèi)容的知識要點呈層級性排列，教師通過知識要素的結(jié)構(gòu)有向圖把握基礎(chǔ)要素和要素間的聯(lián)系以及最高層級的要素，準確把握知識的重難點[20]，通過呈現(xiàn)滬教版和CCM版的層級結(jié)構(gòu)有向圖，教師以各要素間的銜接為依據(jù)，對教材的層次和脈絡(luò)整體把握，對知識要素分類和分析，系統(tǒng)地組織教學內(nèi)容，促進學生概率素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

（2）基于知識結(jié)構(gòu)的編排優(yōu)化大單元教學設(shè)計

《標準（2022版）》重視數(shù)學學科知識的體系化，需要教師結(jié)合課標回歸教材，關(guān)注概率內(nèi)容的整體性。基于ISM法輸出的知識要素層級圖幫助教師把握和明晰概率知識的層次和整體結(jié)構(gòu)。隨機事件到古典概型再到概率估計值，體現(xiàn)知識生成性和層次性[21]。以ISM法對“概率”內(nèi)容繪制整個內(nèi)容領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)圖，有助于教師對概率有系統(tǒng)和完整的把握，將零散繁雜但又緊密聯(lián)系的知識要素形成有機整體，而大單元教學同樣強調(diào)單元知識結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)建，引領(lǐng)前后知識的聯(lián)系。因此教師可以基于知識層級結(jié)構(gòu)圖進行大單元教學設(shè)計。

（3）基于知識編排的順序統(tǒng)籌規(guī)劃教學序列

利用ISM法對知識要素進行編排，為教師融合不同章節(jié)或單元的內(nèi)容提供參考依據(jù)，調(diào)整教學序列，提高教學效率，幫助學生系統(tǒng)地把握整個知識內(nèi)容框架，理清知識要素之間的關(guān)系，學生也可以將課堂中所學知識應(yīng)用于解決現(xiàn)實生活中的問題，實現(xiàn)知行統(tǒng)一[22]。在日常教學中，教師應(yīng)以ISM法對知識要素的梳理為基礎(chǔ)，根據(jù)概率與實踐的緊密聯(lián)系，優(yōu)化教學過程，提升課外實踐水平，豐富學生的業(yè)余生活。同時，教師還應(yīng)根據(jù)學生的認知規(guī)律，統(tǒng)籌規(guī)劃整個概率內(nèi)容的教學順序，選取符合學生實際生活的問題進行教學[23]。

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[作者：吳佳敏（1998-），女，上海人，中南民族大學中華民族共同體研究院，博士生；林子植（1983-），男，江西九江人，江西科技師范大學大數(shù)據(jù)科學學院， 副教授，碩士生導師，博士。]

【責任編輯? ?王澤華】

*該文為2022年全國教育科學“十四五”規(guī)劃教育部重點課題“學業(yè)成就測試中的表現(xiàn)標準建構(gòu)方法研究”（DHA220399）的研究成果