混合策略改進的蜣螂優化算法及其工程應用

摘要：針對原始蜣螂優化算法（dung beetle optimizer， DBO）容易陷入局部最優，收斂精度不夠等問題，提出一種混合策略改進的蜣螂優化算法（TDBO）。運用Tent 混沌映射策略初始化種群，使得初始蜣螂的位置分布更加均勻，提高種群的多樣性；在蜣螂繁衍階段使用自適應慣性權重，提升尋優能力；在蜣螂偷竊行為公式中引入萊維飛行，提高算法的搜索能力，使算法跳出局部最優，平橫搜索多樣性與收斂準確性之間的關系。在9 個測試函數上分別與基礎DBO 算法、4 種對比算法以及單一策略改進的DBO 算法進行比較，并通過Wilcoxon 秩和檢驗驗證TDBO 算法的性能。結果證明，TDBO 算法在多個函數上速度和精度優于對比算法，并具有顯著性差異。通過基準函數的測試、Wilcoxon 秩和檢驗，以及3 個工程優化問題的驗證，TDBO 算法具有較優的收斂精度和速度。

關鍵詞：蜣螂優化算法；Tent 混沌映射；自適應慣性權重；萊維飛行

中圖分類號：TP 301 文獻標志碼：A

蜣螂優化算法（dung beetle optimizer，DBO）[1]作為2022 年提出的一種新型元啟發算法，其靈感來源于蜣螂的滾球、跳舞、覓食、偷竊和繁殖行為。與灰狼優化算法（ GWO） [2]、鯨魚優化算法（WOA）[3] 等其他學習算法相比，DBO 算法在基準函數上具有更強的優化能力和更快的效率。但是，DBO 算法和大部分智能算法一樣，在后期迭代中，很容易陷入局部最優。為了進一步提升DBO算法的性能，本文對該算法進行了研究改進。

對于類似的元啟發式算法，已經有很多學者對各種算法的精度、速度和魯棒性等進行優化改進。王娟等[4] 使用Tent 混沌映射增加了算法種群的多樣性，有效提高了海鷗算法的求解精度和速度；Wang 等[5] 在螢火蟲算法（FA）中引入慣性權重，平衡了FA 的收斂速度和局部尋優能力，提升了算法的精度和速度；趙青杰等[6]應用動態自適應慣性權重有效提升了算法局部和全局搜索能力；李陽等[7] 在算法中引入萊維飛行策略，擴大了種群的搜索范圍，一定程度上優化了算法的性能；鄔貴昌等[8] 在麻雀算法中也使用了萊維飛行策略，有效提升了算法的尋優精度和穩定性。

本文針對DBO 算法的精度和收斂速度進行了優化改進，提出了混合策略改進的蜣螂優化算法（TDBO），從3 個方面對DBO 算法作出改進：采用Tent 混沌映射策略使初始蜣螂種群在搜索空間中分布得更加均勻，以此增加種群多樣性；引入自適應慣性權重改進蜣螂繁衍公式，提升算法尋優能力；在蜣螂偷竊行為公式中引入萊維飛行，產生隨機步長，為解增加一個擾動量，提高算法的搜索能力，使算法跳出局部最優。通過上述3 方面的改進，在基于9 個經典基準測試函數上進行測試， 且進行Wilcoxon 秩和檢驗，并通過3 個工程優化問題的驗證。實驗結果證明了TDBO 算法在性能上的優越性。

1 蜣螂優化算法介紹

蜣螂優化算法是基于蜣螂的滾球、跳舞、覓食、偷竊和繁殖行為而提出的一種元啟發式算法，主要包括蜣螂滾球、覓食、繁衍、偷竊4 個優化過程。

1.1 蜣螂滾球

a. 無障礙模式。

當蜣螂前行無障礙時，蜣螂在滾動過程中通過太陽來導航，以保持糞球在直線上滾動。滾球蜣螂的位置更新如式（1） 所示。

式中：t表示當前迭代次數；xti表示第t次迭代時第 i只蜣螂的位置信息；k∈（0，0.2]是一·個常數量，表 示偏轉系數，本文取0.1； b是屬于（0，1）的常數 值，本文取0.3；α是自然系數，取1或-1，當 α取1時表示無偏差，取-1時表示偏離原來方 向，α的具體取值根據概率方法確定，用來模擬復 雜的環境；xw表示全局最差位置；Δx是蜣螂當前 位置與全局最差位置的絕對距離，用以模擬光強 度變化，越大表示光源越弱，該參數可以提升算 法搜索的性能，盡可能地使算法探索整個空間。

b. 跳舞。

當蜣螂遇到障礙物而無法前進時，它會通過跳舞來重新定向自己，以獲得新的路線。因此，蜣螂的位置更新如式（2）所示。

2.3 萊維飛行

萊維飛行[12] 是通過隨機交替大、小步長使得算法跳出局部最優的方法。由上述偷竊蜣螂的更新公式可以發現，其搜索步長是固定的，因此算法可能會陷入局部最優的情況。引入萊維飛行后可以避免搜索空間的逐步縮小，使算法跳出局部最優解。改進后的蜣螂偷竊位置更新函數如式（10）所示。

式中：y符合萊維分布。

因為萊維飛行過程的復雜性， 所以使用Mantegna算法模擬其過程[13]， y步長大小的公式如下：

式中，Γ為Gamma函數，參數β= 1.5。

2.4 算法流程

a. 算法參數初始化，如：種群數量，空間維度和最大迭代次數等；

b. 種群初始化，通過式（6）的tent 混沌映射，得到初始化蜣螂位置；

c. 計算種群的適應度值，獲得最優個體；

d. 通過式（1）或（2）更新滾球蜣螂的位置；通過式（9）更新繁衍蜣螂的位置；通過式（4）更新覓食蜣螂的位置； 通過式（ 10） 更新偷竊蜣螂的位置；

e. 更新蜣螂種群信息，找出并保存適應度最優的蜣螂位置；

f. 當滿足迭代條件時，輸出算法最優結果，否則繼續進行從d～f的流程。

2.5 時間復雜度分析

假設DBO算法的種群大小為N，空間維度為 M，那么該算法的初始化時間復雜度為O（1），計 算適應度為〇（N），總的迭代過程的復雜度為 O（NM），DBO算法總的時間復雜度為

O（1）+O（N）+O（NM） = O（NM）

在TDBO 算法中，Tent 混沌映射的初始化時間復雜度為O（NM），計算適應度為 O（N），萊維飛行和自適應慣性權重對位置更新的時間復雜度分別為O（NM） ，總的迭代過程的復雜度為O（NM），TDBO 算法總的時間復雜度為

O（NM）+O（N）+O（NM）+O（NM）+O（NM） = O（NM）

綜上所述，TDBO 算法的時間復雜度并沒有提升。

3 實驗結果分析

本文將從以下3 個部分進行實驗驗證：a. 將TDBO 算法與GWO 算法、麻雀搜索算法（SSA）[14]、WOA 算法、北方蒼鷹優化算法（NGO）[15] 和DBO算法這5 個基本元啟發式算法進行對比， 驗證TDBO 算法的尋優能力和魯棒性; b. 將TDBO 算法與單獨策略改進型的DBO 算法進行比較，驗證不同改進策略的有效性; c. 采用Wilcoxon 秩和檢驗的方法驗證TDBO 算法與對比算法的差異性。

如表1 所示，本文選取了多個常用的基準測試函數。其中，F1～F5 為多維單峰值函數，F6 和F7 為多峰函數，F8 和F9 為固定維度多峰函數。為了避免實驗的隨機性，算法的最大迭代次數設置為500，種群規模大小均設為30，每個算法依據相應的參考文獻設置其他的參數。

3.1 與其他基準算法進行對比

為了驗證改進后DBO 算法的收斂性以及穩定性， 將本文提出的TDBO 算法與WOA， GWO，SSA，NGO，DBO 算法在9 個基準測試函數上進行對比實驗。

各個算法在上述函數上都獨立運行30 次，避免一次運行結果的偶然性。每個算法所得數據的平均值和標準差如表2 所示。

從表2 可以看出， 在多維單峰值函數F1～F5 中，TDBO 函數的性能遠優于其他對比函數，并且除了F4 函數，其他均達到了理論最優值。在多峰函數F6～F7 中，TDBO 算法也展現了不錯的性能，均達到了理論最優值。其中的F6 和F7 函數，SSA 和NGO 算法也都達到理論最優，無法比較TDBO 算法與這兩者的性能，但是相對于未改進的初始DBO 算法，TDBO 算法的性能均有較大提升。在固定多峰值函數F8 和F9 中，TDBO算法相較于基礎DBO 算法均有所改善，但是在F8 函數中，無法比較與SSA 算法的性能；在F9 函數中，性能不及NGO 算法和SSA 算法。

3.2 算法收斂曲線對比分析

本文給出了算法在上述測試函數上的曲線收斂圖，用來直觀地比較TDBO 算法和對比算法的收斂速度。

由圖1 可知，在多維單峰值函數F1～F5 和多峰值函數F6～F7 中，TDBO 算法的收斂速度和精度明顯高于其他對比算法。說明TDBO 算法具有較好的性能并且可以跳出局部極值點，收斂到最優值。在固定多峰函數F8 上，TDBO 算法相對于對比算法也展現出了極快的收斂速度。雖然在F9 上精度和速度略低于NGO 算法和SSA 算法，但是相對于未改進的DBO 算法，TDBO 算法的精度和速度均有所提升。

3.3 消融實驗

通過將TDBO 算法與基于Tent 映射改進的DBO1 算法、融合萊維飛行的DBO2 算法和融合自適應慣性權重的DBO3 算法在9 個測試函數中作性能比較，進一步研究單個改進策略的有效性，實驗結果見表3。

由表3 可知，在函數F1～F4 和F8 中TDBO 算法的性能均優于單一策略改進的DBO 算法和基本DBO 算法。在函數F5 中，TDBO 算法尋優精度和DBO2 算法相同，在F6 中，TDBO 算法的精度和DBO2， DBO3 算法相同，都達到了理論最優值。在F7 中，TDBO，DBO1 和DBO2 算法均到達最優值。在F9 中，DBO2 算法展現出了最優的性能。在所有的函數中，單一策略改進的DBO 算法和多策略改進的TDBO 算法均優于基本DBO 算法。由此可知，經過3 種改進策略的TDBO 算法，尋優精度和魯棒性明顯優于單一策略改進的算法，能夠有效彌補單一策略的不足，從而最大限度地提升基本DBO 算法的性能。

3.4 Wilcoxon 秩和檢驗

為了驗證TDBO 算法相較于對比算法的優越性，運用Wilcoxon 秩和檢驗[16] 的方法來進行驗證，顯著性水平p設置為5%。將算法對立運行的30 次結果進行統計檢驗，當p值小于5% 的情況下，說明兩種算法顯著性明顯，否則兩種算法之間的性能相差不大。當TDBO 算法與對比算法得到的實驗數據相差不大時，說明兩個算法之間性能相當，則Wilcoxon 秩和檢驗的結果表示為NaN。

由表4 可知， TDBO 算法和GWO 算法在F9上性能顯著性差異不明顯；和SSA 算法在測試函數F6～ F8 上性能相當； 和WOA 算法在F6 和F9 上性能沒有顯著性差異；和NGO 算法在函數F6～F7 上性能相當，和DBO 算法在F6，F7 和F9上性能沒有顯著性差異。除此之外，其余值均小于5%?？傮w看來，本文提出的TDBO 算法相較于其他對比算法具有顯著性差異。

4 工程優化問題應用

4.1 壓力容器設計問題描述

壓力容器設計問題是在4 個約束條件下使得總成本最小。它包括4 個變量，分別為殼體厚度x1、封頭厚度x2、殼體半徑 x3以及圓柱形截面長度，其具體數學模型如下所示。

目標函數：

如表5 所示，在壓力容器設計問題優化中，TDBO 算法求解出的最優值是6 種算法之中最小的，說明TDBO 算法在求解該工程設計問題時具有較好的性能。

4.2 懸臂梁設計問題描述

懸臂梁設計問題是在滿足開口端垂直位移上限的條件下使得懸臂梁的重量最小化。x1，x2，x3， x4， x5分別表示5 個空心方塊的長度，具體數學模型如下所示。

目標函數：

min f （x） = 0.06224（x1 + x2 + x3 + x4 + x5）

約束條件：

如表6 所示，TDBO 算法的最優值以較小的優勢達到最小。相較于初始DBO 算法，尋優結果得到了較好的改善。

4.3 工字鋼設計問題描述

工字鋼結構設計問題是通過調整其長和高以及兩個厚度來達到最小的垂直撓度。其具體數學模型如下所示。

目標函數：

如表7 所示，除了GWO 算法和WOA 算法的最優值稍差之外，其余4 個算法達到了相同的最優值。以此得出，改進后的TDBO 算法并未降低初始DBO 算法的性能。

5 結 論

根據DBO 算法易陷入局部最優，可能存在收斂精度不夠的問題。本文依據Tent 映射策略、自適應慣性群權重和萊維飛行策略，提出一種混合策略改進的蜣螂優化算法（TDBO），從而有效提高了算法的搜索能力，使算法較容易跳出局部最優，更好地平衡搜索多樣性與收斂準確性之間的關系。在9 個基準測試函數上進行實驗，并與GWO，SSA， WOA， NGO 和DBO 算法進行對比得出，TDBO 算法的收斂速度、精度和魯棒性都表現較好，且通過秩和檢驗證明了TDBO算法與其他算法具有差異性。最后，在3 個工程優化問題中，TDBO 算法也取得了不錯的效果。當然，算法的改進策略不局限于本文所提出的幾種方法。未來的研究，一方面會嘗試更多的改進策略，另一方面也會把TDBO算法用于解決實際問題，如深度神經網絡的超參數優化、路徑優化等。

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（編輯：丁紅藝）

基金項目：國家自然科學基金資助項目（72174121，71774111）；上海市2022 年度“科技創新行動計劃”軟科學研究項目（22692112600）；上海市自然科學基金資助項目（21ZR1444100）