負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量和尾概率的界

宋 歡，華志強(qiáng)，侯云艷

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000）

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)成為熱點(diǎn)話題。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識在解決保險(xiǎn)資金投資、消費(fèi)投資等保險(xiǎn)金融的問題中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用［1-3］。尾概率不等式作為概率論的一部分，在解決破產(chǎn)概率、精確大偏差以及大數(shù)定律等數(shù)學(xué)問題中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。近年來，許多學(xué)者開展了關(guān)于服從不同分布的隨機(jī)變量和尾概率不等式研究，并取得了一定的成果。Janson［4］利用Markov 不等式給出幾個(gè)服從幾何分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和尾概率的界；Lu 等［5］通過對服從幾何分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和尾概率的界進(jìn)行改進(jìn)，得到相應(yīng)的定理，并給出了優(yōu)化界限的特定條件。華志強(qiáng)等［6］給出了隨機(jī)變量和在不同分布、負(fù)相依情形下尾概率的界。于海芳［7］討論了寬上限相依隨機(jī)變量和尾概率的界。本文記負(fù)二項(xiàng)分布為NB(r,p)，幾何分布記為Ge(p)，當(dāng)r=1 時(shí)負(fù)二項(xiàng)分布就退化為幾何分布。以此為基礎(chǔ)，本文將研究比幾何分布更為一般的負(fù)二項(xiàng)分布，討論服從不同負(fù)二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量和分別在獨(dú)立和負(fù)相依條件下尾概率的界。

1 預(yù)備知識

首先給出負(fù)二項(xiàng)分布的概念：

定義1［8］設(shè)Yi～NB(ri,pi)，分布列為

其中0 ＜pi＜1，ri∈Z+，i=1,2,…,n（n≥1）。

在負(fù)二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)上給出下列定義：

對于任意非零數(shù)z，當(dāng) |z| (1-pi)＜1 時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布的概率母函數(shù)為

定義2［9］稱隨機(jī)變量序列{Yi,i=1,2,…}是負(fù)相依的。如果對于任意正整數(shù)n及任意實(shí)數(shù)y1,y2,…,yn，均有

成立。

引理1［4］（i）對于任意的正整數(shù)m和n（m≥n），有

（ii）對于任意實(shí)數(shù)l和s，當(dāng)l≥s時(shí)，有

引理2［4］在引理1 的條件下，對于任意y≥0，z≥1 且z(1-p*)＜1，有

引理3［9］設(shè){Yi,i=1,2,…}是一個(gè)隨機(jī)變量序列，{fi(g),i=1,2,…}是一個(gè)實(shí)值函數(shù)序列。

（i）如果{Yi,i=1,2,…}是負(fù)相依的，且{fi(g),i=1,2,…}是單調(diào)函數(shù)序列，則{fi(Yi),i=1,2,…}也是負(fù)相依；

（ii）如果{Yi,i=1,2,…}是取值非負(fù)的、負(fù)相依的隨機(jī)變量序列，則對于n=1,2,…，有

2 主要結(jié)論

文獻(xiàn)［9］中給出了求獨(dú)立隨機(jī)變量和尾概率的界的方法，文獻(xiàn)［4］討論了服從幾何分布獨(dú)立隨機(jī)變量和尾概率的界。在此基礎(chǔ)上，本文通過一個(gè)概率母函數(shù)和Markov 不等式得到負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量和尾概率的上界。

證明如果0 ≤t ＜p*，由式（1）知

通過Markov 不等式可以得到

由于f(x)=-ln(1-x)在(0,1)上是凸函數(shù)，對于0 ≤t＜p*，則式（4）可寫成

令t=(1-α-1)p*，將其代入式（6）中，即可證得定理。

當(dāng)對p*進(jìn)行定義時(shí)，可以在一定的程度上改進(jìn)式（4），使得服從不同負(fù)二項(xiàng)分布獨(dú)立隨機(jī)變量和尾概率的上界更加精確。

定理2在滿足定理1 的條件下，則有

證明當(dāng)p*＜1 時(shí)，定義

因?yàn)?|z|(1-pi)＜1，則有z-1＞1-p*≥1-pi，對任意的i都成立。通過式（1）有

由f(x)=-ln(1-x)凸函數(shù)的性質(zhì)及式（8）、式（9）可得

由引理2、式（8）和式（10）可知

對于任意α≥1，利用凸函數(shù)的性質(zhì)，可知

因此，通過對式（12）積分，對所有α≥1，有

成立。將式（13）代入式（11）中，并對兩邊取對數(shù)，即可證得式（7）成立。

當(dāng)α≤1 時(shí)，可以使用同樣的方法限定P(Y≤αu)的上界。

證明類似定理1 的討論，從而得到

將t=(α-1-1)p*代入式（14）中，即可得證。

以上討論了服從不同負(fù)二項(xiàng)分布獨(dú)立隨機(jī)變量和尾概率的上界，下面給出了負(fù)二項(xiàng)分布獨(dú)立隨機(jī)變量和尾概率的下界。

定理4在定理1 的條件下，有

證明當(dāng)B≥1，0 ≤x≤B時(shí)，令f(x)=B(x-ln(1-x))-ln(1-Bx22)，并且f(0)=0。由于函數(shù)f(x)是單調(diào)遞減的。即

令β=r**u，再根據(jù)定理3（令α=1-β）和 式（15）（令B=p*μ≥r*），從而有。再由式（3）可知

將β=r**u代入式（16）中，即可得證。

對隨機(jī)變量序列添加相依關(guān)系，得到服從負(fù)二項(xiàng)分布的負(fù)相依隨機(jī)變量序列和的尾概率的上、下界。

證明當(dāng)0 ≤t＜pi，由泰勒展開式有e-t-1+pi≥pi-t＞0。因此由式（1）知

證明方法與定理1 類似，從而可得

將t=(α-1-1)p*代入式（17）中，即可得證。

證明若t≥0，有et-1+pi≥pi+t＞0,則由式（1）可知

因此，由引理3 可知

類似地，由Markov 不等式［9］和函數(shù)的凸性，可以得到

將t=(α-1-1)p*代入式（18）中，即可得證。

本文對比服從不同負(fù)二項(xiàng)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和的尾概率不等式，可以發(fā)現(xiàn)服從不同負(fù)二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量和在獨(dú)立和負(fù)相依下的尾概率具有相同的界。

3 結(jié)語

本文首先討論了服從不同負(fù)二項(xiàng)分布獨(dú)立隨機(jī)變量和的尾概率，給出了服從不同負(fù)二項(xiàng)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和的尾概率的界，并對p*的范圍進(jìn)行限定從而改進(jìn)了界的范圍。其次討論了服從不同負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量和在負(fù)相依條件下的尾概率的上界和下界；最后可以發(fā)現(xiàn)在負(fù)二項(xiàng)分布中，引入相依關(guān)系后得到的隨機(jī)變量和尾概率的上界和下界與獨(dú)立隨機(jī)變量和尾概率的界一致。