統(tǒng)籌·路徑·階梯：“倍的認識”單元教學設(shè)計與實踐研究

浙江杭州市半山實驗小學（310000） 虞歡歡

“倍的認識”是人教版教材三年級上冊第五單元的內(nèi)容，內(nèi)涵豐富，是促進后續(xù)數(shù)學知識學習的重要基礎(chǔ)。“倍的認識”也是學生對兩個量關(guān)系認識從“相差關(guān)系”到“比率關(guān)系”的一次“質(zhì)變”。

一、“倍”單元的教材研讀及編排分析

（一）教材研讀，倍的關(guān)聯(lián)知識豐富

“倍”表示的是兩數(shù)關(guān)系，而三年級上冊“倍的認識”是比較兩個數(shù)量關(guān)系的第四個階段。此前其實也有涉及兩個量關(guān)系的學習，但只局限于相差關(guān)系，教材從三年級“倍的認識”單元開始討論兩個量的“比率關(guān)系”。筆者對人教版教材兩數(shù)關(guān)系的學習內(nèi)容進行了整理。

兩個數(shù)量的關(guān)系從“比多少”開始，到形成兩個數(shù)量之間的特殊關(guān)系“倍”，再到五、六年級用“小數(shù)”“分數(shù)”“百分數(shù)”“比”來表示兩個數(shù)量的倍比關(guān)系。整個概念體系的建構(gòu)是按照“整數(shù)—分數(shù)—小數(shù)—比”的順序依次進行的。

（二）編排分析，倍的課例安排不足

三年級上冊“倍的認識”這一單元的編排順序為引入概念、建立概念、應(yīng)用概念。筆者通過實踐發(fā)現(xiàn)本單元教材存在兩個不足。

1.知識分散、重復(fù)、不全，不利于學生形成知識結(jié)構(gòu)

知識單向重復(fù)多，不利于學生整體思考。“倍的認識”實質(zhì)上就是對“倍數(shù)”“標準量”和“比較量”三者之間關(guān)系的認識，教材通過3 個例題，采用小步子漸進的教學安排。這樣的教學會有明顯的分散性和重復(fù)性，同時缺乏挑戰(zhàn)性。

2.編排缺少后續(xù)關(guān)聯(lián)，不利于學生形成知識結(jié)構(gòu)

內(nèi)容編排缺乏關(guān)聯(lián)性，不利于學生形成知識結(jié)構(gòu)。“倍”是數(shù)量之間的一種特殊關(guān)系，在學習“倍”之前我們已經(jīng)在用“比多少”表示兩個量之間的關(guān)系，后續(xù)還會學習“不到1 倍時用一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾來表示”。教材編排中缺乏這樣的知識關(guān)聯(lián)，學生只是孤立地認識“倍”，不能很好地實現(xiàn)知識遷移，難以形成知識結(jié)構(gòu)。

二、“倍”單元的學情調(diào)查及教學現(xiàn)狀

（一）學情分析，收集學生學情

為了更好地進行單元教學，筆者在研究“倍的認識”前對學生進行了前測（略）并分析了結(jié)果。

1.學生對倍的理解，因相差關(guān)系產(chǎn)生一定的負遷移

前測第1 題中沒有出現(xiàn)有關(guān)“倍”的字眼，學生習慣性用學過的“比多少”來描述兩個量的關(guān)系，很少有學生用“倍”來描述兩個數(shù)量之間的關(guān)系。筆者還發(fā)現(xiàn)，有些學生把3倍理解成了“相差3”，還有學生把3 倍理解成了“多3 倍”。對此，教師教學時要考慮“相差關(guān)系”的負遷移，引導(dǎo)學生從“相差關(guān)系”的概念中轉(zhuǎn)變過來。

2.學生對倍有一定的認知基礎(chǔ)，但缺乏本質(zhì)理解

學生對“倍”的概念有豐富的生活經(jīng)驗和一定的認識基礎(chǔ)，但缺乏本質(zhì)的理解。前測中，有43.6%的學生畫出的關(guān)系圖中，蘋果的數(shù)量是香蕉的3倍，但畫的時候仍會把蘋果放在香蕉的前面，這說明學生缺乏以香蕉為標準量的概念。另外，還有學生認為2 的1 倍是4，說明學生沒有明白“比較量”的概念。這樣的現(xiàn)象說明學生對“倍”的理解層次不一，對“標準量”“比較量”和“倍數(shù)”三者之間的關(guān)系是模糊的，沒有真正明白倍數(shù)關(guān)系。

（二）教學分析，收集教學問題

除了學生對“倍的認識”這一學習內(nèi)容存在一定困惑，教師在教學時也有許多的問題。教學中常見的問題收集如下。

1.概念教學集中于起始課，忽略概念的建構(gòu)需要過程

學生一看到倍就用乘法，說明教師教學時并沒有落實“對倍概念本質(zhì)屬性的認識”，其主要原因是教師在教學這個單元時只關(guān)注答題，忽視了對倍的理解。

2.學生的核心素養(yǎng)停留于關(guān)注，缺少素養(yǎng)提升的系統(tǒng)性規(guī)劃

這個單元指向的核心素養(yǎng)主要是“幾何直觀”，具體表現(xiàn)在用圖來表征倍的能力、用圖來解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合意識。在實際的教學中，教師對學生學習畫圖方法缺少進階性指導(dǎo)，缺少由易到難的進階規(guī)劃，對學生幾何直觀的培養(yǎng)缺少系統(tǒng)性的規(guī)劃。

三、倍的單元統(tǒng)籌教學實踐及思考

（一）統(tǒng)籌安排：規(guī)劃倍的課時結(jié)構(gòu)及內(nèi)容

1.整合與劃分單元課時，統(tǒng)籌規(guī)劃課時結(jié)構(gòu)

基于以上整理和分析，筆者對“倍的認識”單元的課時結(jié)構(gòu)進行了重新規(guī)劃設(shè)計，規(guī)劃后的課時安排如圖1所示。

圖1 “倍的認識”規(guī)劃后的課時安排

本單元內(nèi)容由原來的4 課時變?yōu)? 課時，分別是操作認識倍、應(yīng)用認識倍、對比認識倍、整理認識倍、拓展認識倍。原來的課時安排缺乏結(jié)構(gòu)性以及倍知識的完整性。而規(guī)劃后的5 課時，先通過操作比較，把抽象的新知識“倍”與學生已經(jīng)掌握的“幾個幾”建立聯(lián)系，讓學生初步認識倍的概念。再通過大量比較兩個量的倍數(shù)關(guān)系，幫助學生建立倍的直觀模型，使學生在解決問題的過程中表達出倍的本質(zhì)特征，抽象概括出基本數(shù)量關(guān)系。最后，倍的復(fù)習和拓展促使學生整體地理解“標準量”“比較量”和“倍數(shù)”三者的關(guān)系，進而能夠應(yīng)用倍的意義去解決問題。教學內(nèi)容涵蓋了教材原來缺失的部分，并且建立了與后續(xù)知識的關(guān)聯(lián)。

2.概念要素分解與重組，合理規(guī)劃課時內(nèi)容

倍的概念的內(nèi)涵與外延非常豐富，這也是造成許多教師在教學中顧此失彼的原因。每個課時的教學內(nèi)容要做合理的安排，避免有些課時內(nèi)容過多、過難，有些課時過于簡單。筆者認為概念要素的分解與重組是一個非常好的策略。

本單元內(nèi)容分為四個一級要素，包括“倍的意義”“倍數(shù)”“標準量”“比較量”。這四個一級要素又可以分解成多個二級小要素（見表1）。

具體要素分布如圖2所示。

圖2 “倍的認識”要素分布

合理分解要素是為了把大概念拆分成一個個小概念，然后合理地分配到每個課時中。這樣一方面能使教師明確單元設(shè)計中要落實的具體內(nèi)容，為后面課時做好鋪墊，避免要素過多導(dǎo)致重復(fù)和遺漏；另一方面，有利于引導(dǎo)學生有梯度、有增量、有系統(tǒng)、有結(jié)構(gòu)地進行學習。

（二）路徑建構(gòu)：厘清倍概念的建構(gòu)路徑

要想建構(gòu)正確的概念，首先要讓學生經(jīng)歷從“差比”到“率比”的討論過程，從而規(guī)避知識的負遷移。

1.經(jīng)歷從“相差”到“比率”的辨析過程，消除知識經(jīng)驗的負遷移

在第1 課時的教學中，筆者用前測第1 題中四名學生的作品作為活動一的材料，其中三人的作品是相差關(guān)系，一人的作品是比率關(guān)系，也就是倍數(shù)關(guān)系（如圖3）。

圖3 第1課時活動一材料

筆者讓學生用分類、對比的方式對這四幅圖進行學習，感知“倍”也是兩數(shù)關(guān)系的一種，且與比大小有所不同。

2.經(jīng)歷從“具象”到“抽象”的概括過程，剔除非本質(zhì)因素的干擾

在第1 課時中，學生在認識到倍是一種新的兩個數(shù)量之間關(guān)系后，聚焦圖3 的第3 幅作品深入討論“什么是倍？”。

在第1 課時活動二教學過程中，聚焦第3 幅作品，圍繞為什么說“蘋果是香蕉的3 倍”開展討論。教師在此時為學生提供操作支架“圈一圈”，以及語言支架，即“香蕉有（）根，蘋果有（）個（），所以（）的數(shù)量是（）的數(shù)量的（）倍”，幫助學生清晰、準確地建立“倍”的具象概念。

接著，筆者出示前測中學生的其他四幅作品（圖略）。筆者先帶領(lǐng)學生圍繞“這些數(shù)量是不是3倍關(guān)系？”“怎么看出3 倍關(guān)系？”兩個問題進行辨析、討論、思考，重點引導(dǎo)學生用圈一圈的方式來清晰表達3 倍關(guān)系，接著讓學生圍繞“這四幅圖都表示3 倍關(guān)系，它們有什么共同點？”進行討論。通過隱去圈內(nèi)的圖形，啟發(fā)學生逐步發(fā)現(xiàn)3 倍關(guān)系的特征（如圖4）。

圖4 3倍關(guān)系圖

最后讓學生重點圍繞圖3的第4幅作品進行討論。這幅圖中，香蕉和蘋果可能有幾個？通過討論明確香蕉與蘋果的個數(shù)有無數(shù)種可能，從而剔除非本質(zhì)因素的干擾，逐漸將“倍”的具象概念過渡為“倍”的抽象概念。

3.經(jīng)歷從“認識”到“運用”的關(guān)系建構(gòu)，認識倍中的三者關(guān)系

本單元第2 課時活動一和活動二的具體設(shè)計結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 第2課時活動設(shè)計

在第2 課時的活動一中，學生圍繞同一題材，提出三個不同的求倍數(shù)問題，經(jīng)歷數(shù)量由少變多的過程，體驗將數(shù)量圖轉(zhuǎn)化為線段圖的過程，用語言、畫圖、算式表示求倍數(shù)就是“求比較量里面有多少個標準量”。橫向?qū)Ρ热齻€問題的求解過程，總結(jié)比較量和標準量的關(guān)系。

活動二則通過改變已知條件，引出求比較量和求標準量的兩種應(yīng)用。其中，求比較量被作為重點內(nèi)容進行探究，通過語言、畫圖、算式等方式體驗求比較量就是求幾個標準量是多少。在滲透求標準量的過程中，逐步完善“倍”的概念中三個數(shù)量之間的關(guān)系建構(gòu)。

4.經(jīng)歷從“一般”到“特殊”的演變過程，了解倍的內(nèi)涵與外延

第3 課時的安排是在整倍數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)上，對“比較量的數(shù)量”進行調(diào)整。學生的學習順序是從“香蕉是蘋果的3 倍”到“香蕉比蘋果的2 倍多4 個”或者“香蕉是蘋果的3 倍少2 個”，即當數(shù)量不是整倍的時候，可以用幾倍多幾或者幾倍少幾來表示關(guān)系。這樣，學生對“倍”的認識就有了新的突破。具體設(shè)計如圖6所示。

圖6 第3課時活動設(shè)計

5.經(jīng)歷從“零散”到“結(jié)構(gòu)”的關(guān)聯(lián)過程，促進倍的概念結(jié)構(gòu)形成

在經(jīng)歷了多次比較、擴充概念學習活動后，學生對“倍”的認識雖是連續(xù)的，但不夠系統(tǒng)。因此在第4 課時設(shè)計復(fù)習課，以進行溝通和整理。本課時活動一設(shè)計如圖7所示。

圖7 第4課時活動設(shè)計

在活動二中，教師列舉了4 種不同情境下成倍數(shù)的數(shù)量關(guān)系，旨在讓學生活用“倍”的概念解決問題，體驗不同情境中倍的表征。雖然在第2 課時中學生對“倍”的三類應(yīng)用已經(jīng)有了比較全面的學習，但第4 課時不僅對倍的應(yīng)用進行了鞏固，還和生活中其他倍的應(yīng)用進行了統(tǒng)整與聯(lián)系。這不僅豐富了倍的概念的應(yīng)用，還完善了學生的學習建構(gòu)體系，使學生達到觸類旁通的效果。

（三）階梯推進：有序促進學生核心素養(yǎng)提升

在本單元的學習中，從用圈一圈來理解倍，到用簡單的符號畫數(shù)量圖來解決倍的問題，再到用線段圖來解決倍數(shù)問題，培養(yǎng)學生的圖文轉(zhuǎn)化能力和用畫圖的方法來幫助思考的意識。整條線層層推進，逐步深入，最終指向核心素養(yǎng)“幾何直觀”的培養(yǎng)。具體推進路線如圖8所示。

圖8 “倍的認識”單元教學推進路線

1.關(guān)注標準量：細化畫圖方法的指導(dǎo)

這個單元指向的核心素養(yǎng)主要是“幾何直觀”，具體表現(xiàn)為用圖來表征倍的能力、用圖來培養(yǎng)解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合意識。在前測中，筆者發(fā)現(xiàn)利用圖形表征能夠明顯幫助學生更好地理解兩數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題。

先定標準量的指導(dǎo)。在第1 課時中主要指導(dǎo)學生用圈的方法表示倍，引導(dǎo)學生先圈標準量，再圈比較量，有幾個這樣的標準量就是幾倍。在圈畫過程中，學生理解了“倍”的概念，建立了“倍”的模型，感受了“倍”與圖形之間的聯(lián)系。

數(shù)量圖到線段圖的指導(dǎo)。在第2 課時中，主要落實從數(shù)量圖到線段圖的指導(dǎo)。對于比較小的數(shù)量之間的關(guān)系，學生習慣于用數(shù)量圖的方式呈現(xiàn)其關(guān)系。但是數(shù)量一旦增大，學生會自然而然地運用線段圖代替數(shù)量圖。在后續(xù)的3 個課時中，也持續(xù)用線段圖表示兩數(shù)之間的關(guān)系，便于更清晰地表達倍的關(guān)系，更快地建立“倍”的模型。

2.正逆結(jié)合：加強圖文轉(zhuǎn)化的訓練

在前面的課時中比較側(cè)重對文字轉(zhuǎn)化成圖形的指導(dǎo)，即指導(dǎo)學生學會怎么畫圖。在第3 課時，則側(cè)重對圖形轉(zhuǎn)化成文字的指導(dǎo)，讓學生看圖說意思、看圖解決問題、看圖編題等。

3.變式運用：新問題中培養(yǎng)畫圖意識

筆者在教學第4、第5 課時側(cè)重指導(dǎo)學生用畫圖解決新問題。當學生遇到新問題而束手無策的時候，畫圖能成為突破問題、厘清數(shù)量關(guān)系的重要抓手。學生通過畫圖建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，有助于把握問題的本質(zhì)、明確思維。

教學中，教師要對教材進行整體把握，形成抓本質(zhì)教學的能力，統(tǒng)籌安排，建構(gòu)路徑，階梯推進，始終以核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為目標促進數(shù)學教學的實施。