運用變式教學促進深度學習

劉軍

1 問題呈現

例1? 如圖1所示，在正方形ABCD中，G是BC邊上的任意一點，DE⊥AG，垂足為E，BF∥DE，且交AG于點F.

求證：AF－BF=EF.

例1是“正方形”一課的課后習題，該題是一道典型習題，涉及的知識點較多，可以很好地考查學生知識的遷移、重組能力，促使學生直觀想象和邏輯推理等素養的提升.

八年級的學生已經擁有一定的知識儲備，具有一定的分析和解決問題的能力，也具有一定的邏輯推理能力，這些知識、經驗、能力等為進一步的思考與探究創造了條件.在本題教學中，教師要充分發揮典型習題的作用，通過變式引領學生體會“趙爽弦圖”的運用，充分挖掘蘊含其中的規律、方法，提升學生數學抽象、數學建模、邏輯推理等素養，培養學生勤于思考、樂于探索的良好學習習慣.

2 問題探究

根據已知條件不難發現，將不在同一直線上的線段轉化到同一直線上是解決本題的關鍵.教學過程中，教師不要急于呈現解題過程，應預留充足的時間讓學生思考與交流，引導學生從“看”“想”“得”三方面進行深層次的探究（如圖2）.通過對已知條件和結論的深度剖析后，教師要啟發學生關注在同一直線上的線段AF和EF的關系.結合圖1不難發現，EF=AF－AE，而結論為AF－BF=EF，這樣只要證明AE=BF，問題即可迎刃而解.這樣通過證明△ABF≌△DAE，找到線段之間的數量關系，問題順利獲證.

正方形ABCD

正方形的性質

AB=AD

∠DAB=90°

DE⊥AG

垂直的定義

∠1=90°

BF∥DE

平行線的性質

∠1=∠2=90°

這樣通過深入分析，學生形成解題思路后，教師還應預留時間讓學生將問題解決到底，以此規范解答，加強學生邏輯關系描述的準確性.在講解例1后，教師可以引導學生將圖1中的弦圖補充完整，由此發現小正方形的邊長為Rt△DAE的兩條直角邊的差，為接下來的變式探究作鋪墊.

3 問題變式

為了進一步探究蘊含其中的數量關系，教師基于基本學情對題目進行改編，從而將一道題推廣至一類題，讓學生通過由特殊到一般的深入探究掌握問題的本質，提高分析和解決問題的能力.

變式1? 如圖1，在正方形ABCD中，G是BC邊上的任意一點，DE⊥AG，垂足為E，BF∥DE，且交AG于點F.請直接寫出DE，BF，EF存在的數量關系.

問題給出后，預留時間讓學生思考、交流，教師巡視，并在合適的時機進行適度的啟發和引導.學生通過深入探究，得到如下結論：

（1）如圖1，當點G在線段BC上時，DE－BF=EF.

（2）如圖3，當點G與點C重合時，DE=BF，EF=0；如圖4，當點G在BC延長線時，BF－DE=EF.

（3）如圖5，當點G與B重合時，DE=EF，BF=0；如圖6，當點G在CB延長線上時，DE+BF=EF.

這樣通過深度學習，有效發散了學生的數學思維，培養了學生分類討論素養，激發了學生的探究欲.

變式2? 例1中的已知條件不變，結論改為“求線段EF的取值范圍”.

結合變式1可知，當點G與點C重合時，EF=0，此時EF最小；當點G點B重合時，此時EF的長度等于正方形的邊長.接下來教師展示圖7，讓學生直觀感知隨著點G位置的變化，EF的長度隨之變化，滲透函數思想，從而為接下來研究“一次函數”作鋪墊.

這樣通過對教材問題的拓展研究，既有效溝通了全等三角形的相關知識，又讓學生在由內弦圖到外弦圖的變化過程中形成新想法、新思路，充分感知“趙爽弦圖”的變化之美.同時，在拓展延伸中讓學生初步感受函數思想，充分感知知識間的內在聯系，促進學生知識體系的建構和數學素養的提升.

4 問題推廣

思考? 如圖8所示，當四邊形ABCD是正方形時，則EF=AF－BF.如圖9，△ABC是正三角形，其中∠1=∠2，那么AF，BF，EF存在怎樣的數量關系？如圖10，若將正三角形變為正五邊形，∠1=∠2，此時AF，BF，EF存在怎樣的數量關系呢？

教學過程中，教師在原有基礎上進一步推廣，將正方形背景下線段的數量關系推廣至正三角形和正五邊形中，讓學生充分體會探究方法的一致性，引導學生歸納總結解決此類問題的方法，逐步幫助學生建構“一線三等角”模型，提高學生數學抽象和數學建模素養.

5 遷移應用

談起中考試題，很多學生會用“新”“難”來概括，然深入探究不難發現，有些題實則是教材原題，學生之所以感覺“新”“難”，是因為在平時教學中對教材內容的理解不夠深刻、全面，因此略有變化就感覺無從入手.其實，中考試題中時常會出現基本圖形的變化一類問題，而這類問題往往與“趙爽弦圖”密切相關.因此，在課堂教學中，教師應重視引導學生歸類，讓學生在變化中體會不變的本質，提高綜合解題能力.

例2? 如圖11所示，四邊形ABCD是邊長為6 cm的正方形，點E，F，G，H分別從點A，B，C，D同時出發，以1 cm/s的速度向B，C，D，A勻速運動，當點E達到點B時，四點同時停止運動.問點E運動幾秒時，四邊形EFGH面積取最小值？其最小值為何值？

分析：由題意可知，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，根據已知條件可用含t的代數式表示AE與AH的長，由此得到關于t的二次函數，然后根據二次函數的性質可以求得當點E運動3 s時，四邊形EFGH的面積最小，且最小值為18 cm2.

例3? 如圖12所示，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE，垂足為Q，DP⊥AQ，垂足為P.

（1）求證：AP=BQ；

（2）在不添加輔助線的情況下，圖中各線段蘊含怎樣的數量關系？

分析：學生結合已有經驗易證△ABQ≌△DAP，問題（1）獲證.對于問題（2），根據研究弦圖的經驗易得AQ－AP=PQ，AQ－BQ=PQ，DP－AP=PQ，DP－BQ=PQ.

例2、例3均為中考試題，均以正方形為背景，由基本圖形變換而來，若學生能夠認清問題的本質，自然可以輕松獲解.在日常教學中，若不關注知識間的內在聯系，不重視揭示問題的本質，那么學生在面對“陳題”時也會感覺陌生，這樣在解題時出現“懂而不會”“一錯再錯”等情況也就不足為奇了.因此，在實際教學中，教師要充分挖掘教材資源，通過有效變式讓學生學懂、學透，切實提高學生解題能力.