滲透數(shù)學(xué)思想方法 提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

張菲菲

圓周角、圓周角定理及其推論是解決圓內(nèi)有關(guān)角的問題的基礎(chǔ)，并為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接四邊形的角的關(guān)系提供前提，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.在學(xué)習(xí)本課內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了圓的基本概念，本課是對(duì)圓周角的度數(shù)及其所對(duì)弧的度數(shù)關(guān)系的深入探究.在本課教學(xué)中，教師從學(xué)生已有知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為學(xué)生搭建平等、和諧的自主探究環(huán)境，并在“有形”的定理證明中滲透“無形”的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).筆者結(jié)合教學(xué)片斷進(jìn)行說明，以期在教學(xué)中重視挖掘和滲透數(shù)學(xué)思想方法.

1 教學(xué)片斷

學(xué)習(xí)了圓周角的定義后，教師以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為起點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生自主研究圓周角與圓心角（弧的度數(shù)）之間的關(guān)系.過程如下：

問題? 如圖1，在圓O上任取兩點(diǎn)A，B.過圓心O作圓的直徑BC，連接BA，OA，圓心角∠AOC的度數(shù)與它所對(duì)的弧AC的度數(shù)相等.根據(jù)這一結(jié)論，試探究圓周角∠ABC的度數(shù)與它所對(duì)的弧存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.

該問題較為簡(jiǎn)單，教師讓學(xué)生獨(dú)立解決問題，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)易證∠ABC=12∠AOC，進(jìn)而得到結(jié)論：∠ABC的度數(shù)等于弧AC的度數(shù)的一半.結(jié)論給出后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入探究.

師：弧AC所對(duì)的圓周角有幾個(gè)？

生齊聲答：無數(shù)個(gè).

師：圖1所示的圓周角∠ABC的兩邊具有怎樣的特點(diǎn)？

生1：其中一條邊BC經(jīng)過圓心，是圓的直徑.

師：很好，∠ABC的兩邊還有其他情況嗎？

生2：它的兩條邊可能都不經(jīng)過圓心.

師：大家動(dòng)手畫一畫，若∠ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心可以怎么畫？

學(xué)生動(dòng)手畫，教師巡視，然后組織學(xué)生互動(dòng)交流，進(jìn)一步分類.

生3：圓周角∠ABC的兩邊不過圓心時(shí)，可以分為兩種情況，即圓心在圓周角∠ABC的內(nèi)部（如圖2）和圓心在圓周角∠ABC的外部（如圖3）.

師：很好，大家觀察得非常仔細(xì).這兩種情況下，圓周角∠ABC與弧AC的度數(shù)存在怎樣的關(guān)系？上述結(jié)論是否依然成立？（生沉思.）

師：能否將以上兩種情況轉(zhuǎn)化為其中一邊過直徑的情況呢？

在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生積極思考，很快找到了解決問題的方案.

生4：對(duì)于圖2，連接BO并延長(zhǎng)，使其交圓O于點(diǎn)D，如圖4.這樣圓周角∠ABC被分解成兩個(gè)角，分別為∠ABD和∠CBD，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為圖1所示的情況，即圓周角的一邊過圓心.

師：非常棒，這樣通過添加輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題.現(xiàn)在你能否得到與圖1相同的結(jié)論呢？

生5：因?yàn)椤螦BC=∠ABD+∠CBD=12∠AOD+12∠COD=12∠AOC，所以得到了與圖1相同的結(jié)論.

師：非常好！對(duì)于圖3呢？它是否也可以轉(zhuǎn)化為圖1的形式，并得到與圖1相同的結(jié)論呢？

與圖2的探究方法相類比，學(xué)生很快找到了解決問題的方法.

生6：如圖5，連接BO，并將其延長(zhǎng)，使其與圓O相交于點(diǎn)F.因?yàn)椤螦BC=∠ABF－∠CBF=12∠AOF－12∠COF=12∠AOC，所以得到了與圖1和圖2相同的結(jié)論.

至此，通過特殊化思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生順利得到了結(jié)論，促進(jìn)了知識(shí)的深化和思維能力的發(fā)展.

2 教學(xué)思考

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識(shí)的講授過程，也是學(xué)生能力提升的過程.在日常教學(xué)中，為了追求成績(jī)，部分教師常常通過講授的方式直接將相關(guān)的概念、結(jié)論、公式等基礎(chǔ)知識(shí)告知學(xué)生，讓學(xué)生記憶，然后通過大量的練習(xí)進(jìn)行強(qiáng)化.這樣“講授＋練習(xí)”的方式雖然可以在短時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，但是不利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，有悖于教育的初衷.因此，在日常教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)造條件讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考和合作交流，引導(dǎo)學(xué)生共同探究數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力.在圓周角定理的證明中，教師從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.現(xiàn)將其中所蘊(yùn)含的思想方法進(jìn)行梳理，以期引發(fā)共鳴.

2.1 分類討論思想

在遇到一些復(fù)雜的問題時(shí)，可以按照一定的標(biāo)準(zhǔn)把要研究的問題分為幾類或幾種情況進(jìn)行討論，以此化整為零，各個(gè)突破.

圓周角定理揭示的是一條弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系，而一條弧所對(duì)的圓周角與圓心存在三種不同的位置關(guān)系，分別為圓心在圓周角的一條邊上，圓心在圓周角內(nèi)部和圓心在圓周角外部，因此證明定理的過程中需要分三種情況討論.對(duì)于該定理的證明，若僅有一種或兩種情況成立并不能證明該結(jié)論成立，因此需要“分而治之”，逐一證明.

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是解決問題的重要工具和有效策略.在解決問題的過程中，通過分類將不確定的問題分解為若干個(gè)相對(duì)確定的問題，然后通過對(duì)相對(duì)確定問題的解決得到結(jié)論.其實(shí)，很多知識(shí)中都蘊(yùn)含著分類討論的思想.例如，研究反比例函數(shù)y=kx（k≠0）時(shí)，需要將k分為k>0和k<0兩種情況討論.又如，在研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c時(shí)，需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a進(jìn)行分類，即分為a>0和a<0兩種情況.在分類討論時(shí)，需要從全局出發(fā)，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分類，做到不重復(fù)、不遺漏，以此充分發(fā)揮分類討論的優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)思維的縝密性，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

2.2 特殊化思想

所謂特殊化，就是先將一些不易于理解和接受的一般性問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，以此借助特殊情形找到解決問題的突破口，然后逐漸將問題推廣至一般情況，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，得到一般結(jié)論.

在證明圓周角定理時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從圓周角∠ABC的一邊過圓心這一特殊情況出發(fā)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角與不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，證得∠ABC=12∠AOC，進(jìn)而得到結(jié)論：∠ABC的度數(shù)等于弧AC的度數(shù)的一半.在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一般推廣，思考圓周角∠ABC的兩條邊都不過圓心時(shí)，是否能夠得到∠ABC=12∠AOC這一結(jié)論.這樣以特殊情況為切入點(diǎn)，使結(jié)論的證明變得更加輕松、自然.特殊化思想的應(yīng)用也是非常廣泛的，例如在解決一些定值問題、動(dòng)點(diǎn)問題、探究性問題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)特殊化的身影，借助特殊情況往往可以輕松解決問題.

2.3 化歸思想

數(shù)學(xué)問題是靈活多變的，但其中往往蘊(yùn)含著一定的規(guī)律.在研究一些復(fù)雜、陌生的問題時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將它們轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問題，從而將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的問題來解決，以此快速找到解決問題的突破口，提高解題效率.

例如，在研究圖2和圖3時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生向已解決的圖1的形式轉(zhuǎn)化.這樣在明確的目標(biāo)指引下，學(xué)生通過添加輔助線，將圓心在圓周角內(nèi)和圓心在圓周角外的兩種情況轉(zhuǎn)化為其中一條邊過圓心的情況，進(jìn)而利用已有經(jīng)驗(yàn)解決問題.其實(shí)，化歸思想在解題中是非常常見且應(yīng)用非常廣泛，如在解決方程問題時(shí)，有時(shí)候需要將多元化為一元，將高次化為低次.在日常教學(xué)中，教師不要急于給出結(jié)論，應(yīng)嘗試引導(dǎo)學(xué)生將陌生的、難以解決的問題向熟悉的、易于理解的問題轉(zhuǎn)化，以此借助已有經(jīng)驗(yàn)高效解決問題.

2.4 類比思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在研究一些相似或相關(guān)的問題時(shí)，可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將這些相似或相關(guān)的內(nèi)容相類比，從而推測(cè)結(jié)論相似或解法相似，以此提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力.

例如，在分析圖3時(shí)，啟發(fā)學(xué)生與探究圖2的經(jīng)驗(yàn)相類比，從而得到直徑BF，借助解決圖1和圖2的經(jīng)驗(yàn)解決問題.其實(shí)，許多結(jié)論的得出和問題的解決都需要運(yùn)用類比思想.如，在研究平行四邊形的判定和性質(zhì)時(shí)，一般會(huì)與矩形、菱形、正方形的相關(guān)知識(shí)相類比；又如，在學(xué)習(xí)三角形相似的判定定理時(shí)，會(huì)與全等三角形的判定定理相類比.教學(xué)過程中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有結(jié)論去推測(cè)相似的未知結(jié)論，以此拓寬學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)挖掘知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法，充分發(fā)揮教育的育人功能，提高學(xué)生的認(rèn)知能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).