經歷推理過程，培養代數推理能力

蔡楊琴

摘要：將推理能力的培養任務交給幾何是不當的，教師應充分挖掘代數中的推理素材，讓學生經歷推理的過程，以培養學生的代數推理能力.文章以一節“等式的基本性質的應用”的研究課為例進行了一次嘗試，讓學生感受推理過程，積累推理經驗，提升核心素養.

關鍵詞：代數推理；等式的基本性質；課堂教學

作為數學基本思維方式之一，推理對于人們的學習與生活具有十分重要的意義和價值.《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出將推理能力的發展貫穿于整個數學學習過程之中.這就需要教師將發展學生的推理能力置于首位.然而我們在實際教學中可以發現，學生推理能力的發展并未貫穿學生數學學習的始終，一些教師在幾何教學中常常加以滲透和培養，但對代數推理卻知之甚少，更不要說貫穿于代數教學的始終.筆者多番查閱資料，認為代數推理就是解決代數問題時的推理方法，而初中代數推理就是將代數式變形為特定目標或用代數的方法予以證明.簡言之，代數推理就是由已知推理出一個關系或結果，又或是對關系或結果進行證明或說理的過程.因此，在代數教學中，教師要不失時機地對學生滲透代數推理，讓學生真切感受到推理的過程，積累代數推理經驗，提升自身的核心素養［1］.在課堂教學中如何讓學生深刻感受抽象的代數推理過程呢？筆者以一節“等式的基本性質的應用”的研究課為例進行了嘗試.

1 教學過程

問題1? 試著回憶并描述等式的基本性質.

追問：你能以符號的形式予以表示嗎？用符號表示有何好處？

說明：通過問題引導學生回顧“等式的基本性質”，并以符號的形式表示，這樣的新課導入是一般性導入方式.此時若教師直入新課，自然無法讓導入環節達到預期效果.因此，在追問“能否以符號形式予以表示”之后，教師不妨順勢追問“有何好處”，讓學生體會多種形式表示數學知識的方法，切實感悟到“一些概念或法則需要符號來參與運算”的事實.

問題2? 已知2x－3y=6，你會用含有x的代數式表示y嗎？

變式? 已知S=（a+b）h2，你會用含S，a，h的代數式表示b嗎？

說明：課本上并沒有變式給定等式的類似例題或習題，那么筆者此處設計此題的目的是什么呢？一方面是為了給學生創造運用等式基本性質進行推理的機會，盡管教材中還沒有出現問題2中所示的含有兩個字母的等式，對于學生而言也具有較大的難度，不過由于“算理”相同，且變形的思路與依據相同，因而學生的推理是有一定依據且具有價值的；另一方面，這樣的推理過程可以為后續解二元一次方程組打下基礎.顯然，高質量的教學并非對某個知識點的理解和掌握，很多時候是新舊知識的聯通，讓數學學習在關聯中變成具有意義.

問題3? 若a=b，你能用等式的性質證明2a+13=2b+13嗎？

變式? 若2a=3b+c，試證明4a－2c3=2b.

說明：借助等式的基本性質，由簡到繁地根據已知等式證明新等式，是推理的過程.在之前學習一元一次方程的解法時，學生在一步又一步變形之后得到的新等式是最簡潔的，但在解決問題3時，學生會發現越變形越復雜，進而認為自身的設想存在問題，甚至是錯誤的.事實上，還是有一部分學生會由2a+13=2b+13的變形開始，最終得到a=b；也會由4a－2c3=2b的變形開始，最終得出2a=3b+c.

問題4? 如圖1，用“●”“█”及“▲”代表3種不同物體，且前2個天平是平衡的狀態.現需在第3個天平的“？”處放置幾個“█”才能使得天平也平衡？為什么？

說明：以生活情境問題引領學生深入推理，讓學生饒有興趣地投入到探索和推理中去，不亦樂乎.在解決這一問題時，學生在了解題意后首先應想到用字母來表示“●”“█”及“▲”的質量，這是推理成功的第一步.當學生以a，b，c分別表示“●”“█”“▲”

的質量時，就是實現了實際問題數學化，也就是將問題4提煉為“已知2a=b+c，a+b=c，試求出a+c與多少個b相等？”提煉出問題后，自然是借助等式的基本性質變形兩個等式，并獲得a，b，c中的兩個量的關系.進一步地，自然是求解a+c.此求解過程中，涉及多個要素，如一般化、表征、計算、論證等，對學生代數推理能力的發展大有裨益.學生一步步探究時，雖心存疑惑，但能夠充分體會推理對于數學問題的力量，發展了代數推理能力.

2 教學反思

2.1 課堂內學生代數推理表現如何？

事實上，在本節課中，學生的代數推理表現并不樂觀，他們常常不清楚從哪里開始推理、推理到哪里終結.例如，在解決問題3時，一些學生會錯誤地認為由2a+13=2b+13的變形開始，最終得到a=b就是本題的推理過程.究其根源在于這樣的題目在教學中出現的次數少之又少，一般情況下，題目的結構都是“已知x+5=2，試求x值”之類，盡管題目呈現的是“解方程x+5=2”這樣的形式，但學生依舊會思維定式地錯誤理解.

除此之外，學生在表述代數推理時也存在一些問題，大抵是由于教材中并未呈現例題范式.倘若教師想要讓學有余力的學生“跳一跳摘果子”，以實現低階思維朝著高階思維的轉化，可以嘗試創造性地改編或整合例題，為學生的深度學習提供助力.

2.2 需要為學生代數推理的基本表達提供示范嗎？

縱觀整節課學生的表現不難看出，學生不管是在理解代數推理層面，又或是語言形式或書面陳述都表現出一定的困惑.事實上，推理與語言是密不可分的，一般來說，推理的語言形式常常是一些因果關系的復句或句群，例如“因為……所以……”“之所以……是因為”“因此”“由此可見”等.

這就需要教師在日常教學中把握住示范時機時時訓練，逐步促進學生代數推理表達體系的發展和完善.例如，解決問題3時，教師則可以不失時機地滲透“分析法”，也就是“倒推思考法”——這里想要證明2a+13=2b+13，只需說明2a+1=2b+1；要說明2a+1=2b+1，只需說明2a=2b；要說明2a=2b，只需說明a=b.此時教師若能以示意圖的方式加以輔助，并及時板書不失為提供示范、深化理解的好方法.

當然，若學生在具體探究中表現出對“含有兩個字母等式的變形”的困惑或迷茫，教師還可以用“含有一個字母等式的變形”為學生提供推理上的幫助，如“已知2a+3=5，說明a=1”或“已知a=－2，試說明2a+1=－3”.試想，長此以往，學生如何不能真正意義上掌握代數推理的方法？

2.3 是否需要適度拓展利于代數推理能力發展的課本例題或習題？

事實上，教材編寫者并沒有在教材中刻意為學生代數推理能力的發展設置對應題目.倘若教師能適度延伸，對一些學有余力的學優生而言自然是十分有利的.因此，教師可以從數學教學本身的連續性、一致性出發，從七年級學生開始，挖掘課本例題或習題中的代數推理能力發展的因素，抓住時機強化培養，從而為后續的學習作足準備.在本課的教學中，問題2與問題4就是為后續教學作鋪墊.

3 結束語

將推理能力的培養任務交給幾何是不當的，教師應充分挖掘代數中的推理素材，讓學生經歷代數推理的過程，以培養學生的推理能力［2］.首先，教師需充分預設，以學生易于接受的方式引導學生推理，并為學生提供充足的推理時空，循序漸進地促進學生推理能力的落地生根；其次，需要創設多樣化的活動讓學生經歷數學探索的過程，體驗代數推理的本質，自然而然地促進學生推理能力的發展；再次，教師還需適時為學生提供代數表達的推理示范，讓學生真正掌握代數推理的方法，加深對代數推理的領會.當然，例題或習題的有效拓展實際上有利于學生代數推理能力的發展.雖然對初中生來說代數推理具有一定難度，但日積月累后，就能將其真正融入自身的關鍵能力之中，提升學習力，真正實現數學核心素養的發展.

參考文獻：

［1］李其踴.初中數學核心素養之推理能力培養［J］.新課程（中學版），2017（8）：181.

［2］劉光輝.綜合與實踐：推理能力和應用意識雙提升——“編碼”教學設計與意圖［J］.小學數學教師，2018（10）：55-58.