構造圖形，以形解數

湯愛花

摘要：構造圖形解決代數問題的依據和思路是數形結合思想，通過由“數”到“形”的巧妙轉換，將原本繁瑣的代數問題轉化為簡潔的幾何問題來解決，具有“化繁為簡，直觀易懂，便于解答”的特點.構造幾何圖形的關鍵是善于通過對實際問題的分析，抓住其本質，聯想到相應的幾何圖形，建立數學表達式，并應用其性質找到解決問題的途徑.本文中通過對典型例題的解析、方法對比與“一題多解”式的拓展演練，從一個側面展示了運用構造法解題的優越性.

關鍵詞：以形解數；典例解析；方法對比；變式演練；一題多解

用構造法解題是一種間接、簡捷的解題思路，它不是直接去解決某個問題A，而是構造一個與問題A有關的輔助問題B，通過對問題B的解決來實現問題A的解決，而問題B的解決顯然更簡便、直觀.

在初中數學解題中，數形結合思想有著廣泛的應用，其中通過構造幾何圖形來解決代數問題就是數形結合思想中“以形解數”的一種常見的方法與技巧［1］.當問題條件中的數量關系具有明顯的幾何意義，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯系時，可以考慮通過構造圖形將題設條件與結論在圖形中反應出來，然后，借助圖形的性質，解決待求或待證明的問題.

借助幾何圖形的直觀性既能夠看出“數”之間的某種關系［2］，例如統計圖表，同時也有望從“形”中獲得靈感，得到啟發，找到解決問題的方法，例如在列方程解應用題時畫的分析示意圖等.

1 典例解析，方法對比

已知正數a，b，c，x，y，z，滿足a+x=b+y=c+z=k，求證：ay+bz+cx

證法1：因為a，b，c，x，y，z為正數，且a+x=b+y=c+z=k，所以k3=（a+x）（b+y）（c+z）

=ay（c+z）+bz（a+x）+cx（b+y）+abc+xyz

=（ay+bz+cx）k+abc+xyz>（ay+bz+cx）k.

又k＞0，所以k2>ay+bz+cx.

思路與總結：通過觀察已知條件式中的a與x，b與y，c與z的平列關系及求證式中左邊的輪換對稱形式，啟發我們，可嘗試從k3=（a+x）（b+y）（c+z）入手，經過恒等變形和適當縮放，即可得到欲證的不等式.

證法1是站在代數的角度思考，采用綜合法來證明.但是這種方法的缺陷也較明顯，主要表現在思路不易暢通，較難看出或建立已知與未知的聯系，如果缺乏敏銳的觀察能力和較強的恒等變形能力，以及缺乏適當去掉一些正項的技巧，就很難實現從未知向已知的轉化.

證法2：如圖1，

作邊長為k的正三角形ABC，

在其三邊上分別取點P，Q，R，使AP=a，BR=b，CQ=c，

則CP=x，AR=y，BQ=z.

由S△APR+S△BRQ+S△CQP

整理，得ay+bz+cx

思路與總結：證法2是從a+x=b+y=c+z=k>0，聯想到以k為邊長的等邊三角形.這種證法思路開闊，擺脫了僅對“數”與“式”進行變形的束縛，在全面深入觀察、合理聯想的基礎上，構造了邊長為a+x，b+y，c+z（都等于k）的等邊三角形，又從結論聯想到面積公式，得到了一種新穎的證明方法.與證法1相比較，證法2顯然更簡捷.

2 變式演練，一題多解

例題? 求15°的三角函數值.

解法1：如圖2，作Rt△ABC，∠C=90°，∠BAC=30°，

延長CA到點D，使AD=AB，連接BD.

在Rt△ABC中，因為∠BAC=30°，設BC=a，則AB=2a，AC=3a.

在△BAD中，AD=AB=2a，所以∠D=∠DBA=15°.在Rt△DBC中，BC=a，DC=DA+AC=（3+2）a，所以BD=BC2+DC2=a2+（3+2）2a2

=2a2（1+3）2=（1+3）2a=（6+2）a.

所以sin15°=BCBD=6－24，cos15°=DCBD=6+24，

tan15°=BCDC=2－3.

解法2：如圖3，作Rt△ABC，

∠C=90°，∠BAC=30°，AD是∠BAC的平分線，交BC于點D，則∠DAC=15°.設BC=a，則AB=2a，AC=3a.又設BD=x，CD=y，則x+y=a.

由AD是∠BAC的平分線，得xy=ABAC=23，

即

2y=3x.①

將y=a－x代入①式，得x=2（2－3）a.

所以y=a－x=（23－3）a.

在Rt△DAC中，因為∠C=90°，∠DAC=15°，

所以tan15°=DCAC=2－3.

又AD=DC2+AC2=（23－3）2a2+（3a）2=（32－6）a，

所以sin15°=DCAD=6－24，cos15°=ACAD=6+24.

解法3：如圖4，

在Rt△ABC中，因為∠BAC=∠B=45°，

所以BC=AC.

作∠DAC=30°，

∠BAD=15°.

過點D作DE⊥AB于點E，則

∠BDE=45°，BE=ED.

設BE=DE=x，則BD=2x.

在Rt△ADC中，設DC=y，則AD=2y，AC=3y.因為AC=BC，所以2x+y=3y，x=6－22y.因為∠BAC=∠B=45°，所以AB=2AC=6y，AE=AB－BE=6y－6－22y=6+22y.

所以sin15°=EDAD=（6－2）y212y=6－24，

cos15°=AEAD=（6+2）y212y=6+24，

tan15°=EDAE=2－3.

解法4：如圖5，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，所以∠ABC=∠C=75°.

過點B作BD⊥AC于點D，所以∠ABD=60°.

設BD=x，在Rt△ABD中，AB=2BD=2x，AD=3x，所以DC=2x－3x=（2－3）x.

在Rt△BCD中，BC2=BD2+DC2=x2+（2－3）2x2

=［（6－2）x］2，則

BC=（6－2）x.

所以sin15°=DCBC=（2－3）x（6－2）x=6－24，

cos15°=BDBC=x（6－2）x=6+24，

tan15°=DCBD=（2－3）xx=2－3.

解法5：如圖6所示，在正方形ABCD中，作正三角形DOC，連接AO，BO，過點O作EF⊥AB，分別交AB，CD于點E，F.設邊長AB=2a，因為△DOC為正三角形，所以DF=AE=a.因為∠FDO=60°，所以∠DOF=30°，DO=2DF=2a，

FO=3a.所以EO=EF－FO=2a－3a=（2－3）a.

因為∠CDO=60°，所以∠ODA=30°.因為DA=DO，所以∠DAO=∠DOA=75°，則∠OAE=15°.在Rt△AOE中，AO2=AE2+EO2=a2+［（2－3）a］2=（8－43）a2，

所以AO=（6－2）a.

所以sin15°=OEAO=6－24，

cos15°=AEAO=6+24，tan15°=OEAE=2－3.

思路與總結：由于15°是一個特殊的角，它等于30°的一半，因此要求它的三角函數值，除了“利用湊角或拆角、利用三角函數的誘導公式”等代數方法外，還可以考慮構造一個含有15°的直角三角形，然后再利用三角函數的定義及直角三角形的邊角關系來求解.其中解法1就是利用三角形的外角作Rt△ABC，使∠BAC=30°，且使∠BAC是等腰三角形的外角，求出各邊，再利用三角函數的定義求解；解法2是利用30°角的角平分線得15°角，再由角平分線性質求邊的關系，進而求解；解法3是利用45°與30°的差是15°，使問題轉化為線段的比而獲解；解法4是利用75°與60°的差是15°，通過構造直角三角形來求解；解法5是利用90°與75°的差是15°，通過構造正方形、正三角形、直角三角形等圖形來求解.本題旨在考查解直角三角形知識的靈活運用能力，尤其適合訓練學生如何根據題意巧妙構造幾何圖形、尋求一題多解的綜合解題能力.

綜上所述，構造法是通過對條件和結論的敏銳觀察與廣泛聯想，在已知與未知間架起了一座橋梁，即通過構造一定的數學模型巧妙地完成解題.上述典型例題的解析與一題多解的實戰演練，就是靈活運用數形結合思想“以形解數”的精彩呈現，讓我們充分感受到了構造圖形法解題具有“構思精巧、手法靈活、形象直觀、化繁為簡、簡捷實用”的巨大優越性，值得參考與學習［3］.在教學過程中，學生在運用構造圖形法解決代數問題時，要在深刻理解題意的基礎上，確保構圖的準確性與完整性，避免“胡構”“亂造”和“碰運氣”，教師要引導學生從不同的角度去分析、思考、比較，形成多樣化的解題方法，最終才能達到事半功倍的解題效果.

參考文獻：

［1］李明，張銳.構造幾何圖形解決代數問題［J］.數學教學研究，2012（2）：67-68.

［2］李國峰.構造幾何圖形，解決代數問題［J］.中學數學，2020（8）：49.

［3］楊詩婷，馬紹文.構造幾何圖形 妙解代數問題［J］.數學學習與研究，2022（29）：134-136.