反比例函數(shù)圖象中的一個(gè)基本圖形的應(yīng)用

賈文

1 基本圖形與結(jié)論展示

如圖1，反比例函數(shù)y＝kx的圖象上有兩點(diǎn)A，B，過A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，那么S△AOB＝S梯形ACDB.

證明：四邊形OABD的面積S＝S△AOC＋S梯形ACDB.

從另一角度，四邊形OABD的面積S＝S△AOB＋S△BOD，而S△AOC＝S△BOD，所以S△AOB＝S梯形ACDB.

2 運(yùn)用結(jié)論，簡(jiǎn)潔明快

2.1 與矩形結(jié)合，求點(diǎn)的坐標(biāo)再運(yùn)用

例1? （巴中中考改編）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），且反比例函數(shù)y＝k1x（x＞0）的圖象過線段OC的中點(diǎn)A，交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，設(shè)直線EF的解析式為y＝k2x＋b，求△OEF的面積.

分析：先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出反比例函數(shù)的解析式，那么，點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)均可求出，問題便迎刃而解.

解：由D（0，4），B（6，0），知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4）.如圖3，過點(diǎn)A作AH⊥OB于點(diǎn)H.

易知△OAH∽△OCB，那么AHCB=OHOB=OAOC=12.

而CB＝4，OB＝6，易求得AH＝2，OH＝3，因此A（3，2）.

所以k1＝xy＝3×2＝6，則反比函數(shù)解析式為y＝6x.

又xF＝6，那么yF＝1，因此F（6，1）.

同理，得E32，4.

由本文的基本結(jié)論，得S△OEF＝12（BF＋yE）＼5（OB－DE）＝12（1＋4）6－32＝454.

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵在于如何求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，本例運(yùn)用幾何法作平行線并利用三角形相似求出.如果直接用中點(diǎn)公式求點(diǎn)A坐標(biāo)，則解法更簡(jiǎn)捷，但初中課本未明確給出，部分學(xué)生對(duì)中點(diǎn)公式比較陌生.

2.2 與平行四邊形聯(lián)姻，構(gòu)造相似運(yùn)用

例2? （重慶中考模擬）如圖4，四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝kx在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，若D為BA中點(diǎn)，且△COD的面積為6，則k的值為.

分析：平行四邊形的對(duì)邊相等且平行，利用C，D兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，從點(diǎn)C，D作x軸的垂線，會(huì)產(chǎn)生相似三角形，并且可用含有k的式子表示其坐標(biāo)，再利用本文的基本圖形解決.

解：如圖5，從點(diǎn)C，D分別作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).

因?yàn)镺C∥DA，所以∠COE＝∠DAF，∠CEO＝∠DFA.

所以△OCE∽△ADF，那么OEAF=CEDF=OCAD=2.

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為a，ka，則DF＝12CE＝k2a，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為2a，k2a.

由本文基本結(jié)論，知S△OCD＝S梯形CEFD＝12（DF＋CE）·EF＝12k2a＋ka·（2a－a）＝6，解得k＝8.

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用平行四邊形和中點(diǎn)的條件構(gòu)造直角三角形相似，用含有參數(shù)的式子表示C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)△COD的面積為6，再利用本文的結(jié)論，問題得以快速解決.

2.3 與幾何最值相聯(lián)

例3? （山東臨沂）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝kx（x＞0）的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N兩點(diǎn)，△OMN的面積為10，若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，則PM＋PN的最小值是（? ）.

A.62

B.10

C.226

D.229

分析：觀察題目的圖形，可利用本文的基本結(jié)論和已知條件，求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，那么就轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)”型問題，根據(jù)“將軍飲馬”圖形作其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決.

解：由正方形邊長是6，知點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是6，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是6.又y＝kx，所以Nk6，6，M6，k6.如圖7所示，過點(diǎn)N作NH⊥OA于點(diǎn)H.

由本文的基本結(jié)論，知S△OMN＝S梯形NHAM＝12k6＋66－k6＝10，解得k＝24（負(fù)值舍去）.

所以N（4，6），M（6，4）.

作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接NE交x軸于點(diǎn)P，由對(duì)稱性知PM＝PE，則NP＋MP＝NP＋PE＝NE.

由“兩點(diǎn)之間，線段最短”，知NE的長即是PM＋PN的最小值.

由AE＝AM＝4，得BE＝BA+AE=10.又NB=2.

所以，在Rt△NBE中，NE＝NB2+BE2＝22+102＝226.故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題的圖形與“基本結(jié)論”中的圖形高度吻合，因此運(yùn)用基本結(jié)論會(huì)得心應(yīng)手.當(dāng)然，本題的另一解法是分割法，由△OMN的面積等于正方形OCBA的面積減去3個(gè)直角三角形（△OCN，△NBM，△OMA）的面積之差，再綜合運(yùn)用其他條件和所學(xué)知識(shí)解題.

2.4 與一次函數(shù)貫通

例4? （黃石一模）如圖8，直線y＝3x，y＝13x與雙曲線y＝kx在第一象限內(nèi)分別交于A，B兩點(diǎn)，S△ABO＝8，則k＝（? ）.

A.6

B.8

C.4

D.6.5

分析：根據(jù)已知條件，只要能求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用本文的基本圖形，則問題獲解.

解：由直線y＝3x和y＝13x，設(shè)點(diǎn)A（a，3a）.Bb，13b，又點(diǎn)A，B在曲線y＝kx上，

所以a·3a＝b·13b＝k，解得b＝±3a.

又點(diǎn)A，B都在第一象限，那么b＝3a，則B（3a，a）.

如圖9，過點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD垂直x軸于點(diǎn)D.由本文的基本結(jié)論，可知S梯形ACDB＝S△AOB＝8.

所以12（a＋3a）（3a－a）＝8，解得a2＝2，則

k＝3a2＝6.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)B在一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象上的特點(diǎn)，運(yùn)用k的不變性建立方程，求得點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，再運(yùn)用本文結(jié)論解決問題.

2.5 與全等三角形攜手

例5? （孝感改編）如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函數(shù)y＝kx（x＞0）的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，1），則S△OAB＝.

分析：要求△OAB的面積，結(jié)合本文基本圖形，求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.結(jié)合等腰直角三角形的條件，構(gòu)造“一線三垂直”的全等圖形，得出相等的線段，再將點(diǎn)A，B坐標(biāo)用字母n表示出來，運(yùn)用反比例函數(shù)系數(shù)k值的不變性建立方程即可.

解答：略.

在平時(shí)的解題基礎(chǔ)上，我們要立足題目的解答，深度思考，挖掘出簡(jiǎn)單圖形的豐富內(nèi)涵，進(jìn)而借題發(fā)揮，通過建立各種圖形與知識(shí)的聯(lián)系，起到將綜合問題分解、簡(jiǎn)化的作用.關(guān)注核心知識(shí)，關(guān)注基本圖形，加強(qiáng)思維引導(dǎo)，將方法、技能落到實(shí)處.