基于深度學習理論的初中數學活動課教學設計*
——以折紙做60?,30?,15?角的教學為例

廣東省廣州市黃埔區會元學校(510530) 蔡寶柱

廣東省廣州市荔灣區教育發展研究院(510375) 蔡琳

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》教學提示指出[1]:教師要整體把握教學內容,注重教學內容結構化和教學內容與核心素養的關聯.教師要豐富教學方式,讓學生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程中感悟基本思想,積累基本活動經驗,促進學生核心素養的發展.深度學習強調對知識的深度理解和學生的深度參與,這與《標準》提倡的數學活動教學提示高度吻合.同時數學活動課要求學生綜合運用知識解決問題,也為深度學習提供了條件.

基于此,本文以深度學習理論為指導,以八年級下初中數學活動“折紙做60°,30°,15°的角”的教學為例,談談如何實現教師深度教學,學生深度學習.

1 深度學習理論下的教學設計原則

深度學習被認為是指向學科核心素養的學習,基于深度學習理論的教學設計,體現兩個原則:

1.1 深度把握學習內容

深度學習理論認為[2],知識的結構由兩部分構成, 外部結構指符號表征,內部結構指邏輯形式和意義系統,如圖1.邏輯形式指內隱于知識的學科思想方法,只有深刻理解知識的邏輯形式,深入到知識的內核——邏輯形式和意義系統,深度學習才能發生,核心素養才能達成,學科育人才能實現.

圖1

1.2 深度參與學習過程

杜威[3]認為知識的學習需要學習者經歷一個復雜的學習過程: 還原與下沉、體驗與探究、反思與上浮的過程,郭元祥教授把杜威的經驗理論概括為“U 型”學習.其中,還原與下沉是指還原知識產生的背景,還原學生已有的經驗.體驗與探究指的是在逐層深入的問題鏈指引下,開展“層進式”學習的過程,在這個過程中學習者情感行為深度參與,體驗與感悟學科思想方法.反思與上浮是學習者進行個人意義的建構和遷移應用的過程.

2 深度學習理論下的教學設計實現

遵循上述教學設計原則: 一是要深度分析教學要素,深挖“折紙做60°,30°,15°的角”活動課所覆蓋的知識間的“聯結”,形成結構,深挖知識背后的學科思想方法,關聯核心素養與育人功能.二是要基于“U 型”學習設計學習過程,讓學生經歷知識生成的完整過程,體驗與感悟學科思想方法,發展學生核心素養.

2.1 深度分析教學要素

教學設計要素分析主要包括內容與內容解析、目標與目標解析、教學問題診斷解析,是教學設計的主要環節.

2.1.1 內容和內容解析

本節課是《義務教育課程標準試驗教科書》新人教版八年級下冊第十八章“平行四邊形”中的一節數學活動課,具有一定的趣味性和知識性.依據深度學習理論, 本節內容的符號表征是軸對稱、全等等常見數學圖形的性質.學科思想方法有轉化與化歸、從特殊到一般.同時學生動手操作,在直觀理解和掌握基本事實的基礎上,經歷得到和驗證數學結論的過程,形成幾何直觀和推理能力,感悟具有傳遞性的數學邏輯,感受數學美,發揮數學學科的育人功能.

教學重點 通過探究折60°的角,并能嚴謹證明.

2.1.2 目標和目標解析

(1)通過折疊,加深對軸對稱、全等圖形性質的認識.

(2)探索并能折出60°,30°,15°的角,并能驗證證明,體悟從特殊到一般、轉化與化歸思想,發展幾何直觀和邏輯推理核心素養.

(3)初步體會研究幾何問題的方法,感悟具有傳遞性的數學邏輯,感受數學美.

2.1.3 教學問題診斷分析

八年級學生已經學習過軸對稱變換,而且利用軸對稱變換進行過折紙活動,還學習過角平分線、平行與垂直、三角形全等、直角三角形、矩形等知識,學生的抽象思維能力、識圖能力等已基本形成.但由于學生空間觀念發展不均衡,對所學知識不能靈活運用.所以,本節課設計遵循從易到難,從特殊到一般的認知規律,抓住學生的興趣點,將教學重難點在學生的快樂學習中解決突破.

教學難點 折出60°角的方法的探究和證明.

2.2 深度設計學習過程

依據深度學習理論,本節活動課遵循“U 型”學習,深度設計還原與下沉、體驗與探究、反思與上浮的學習過程.

2.2.1 還原與下沉: 創設情境,引入新課

問題1 同學們,你們玩過折紙嗎? 都會折什么? 在折紙的過程中,蘊含著什么數學知識呢? 今天我們試著用數學的眼觀去發現折紙的奧秘吧!

師生活動 學生欣賞動畫折紙,教師引導動物、花、船和人等都是折紙的創作題材,在折的過程中要用到很多的數學知識,比如: 軸對稱、全等、特殊的角度等等.

設計意圖 通過觀察生活中的實例,從真實情景入手,點出課題,激起學生的學習興趣,問題1 下沉到知識的內部結構學科思想方法.

2.2.2 體驗與探究: 動手操作,深度感悟

問題2 在一張矩形紙片上,你怎么折出一個正方形?

任務1 利用一張A4 紙折出一個正方形,畫出折痕和重疊的邊,并說明理由.

師生活動 學生在小組內動手折,教師指導,及時調整,并通過課件明確紙質過程,如圖2.

圖2

追問 正方形的對角線與每一邊的夾角是多少度?

師生活動 學生觀察所折圖形,思考教師提出的問題,并明確折出的特殊角是45°,口述理論依據.

設計意圖 深度學習理論提倡還原學生已有的經驗,從最熟悉的正方形為知識生長點, 折出本節課第一個特殊角,為接下來的折一般等腰三角形積累經驗,并感悟從特殊到一般的數學思想方法.

問題3 能否通過折疊和畫圖,得到等腰三角形? 請同學們畫出折痕、畫出三角形,并說明理由.

任務2 不利用量角器或三角尺,用一張矩形紙片折出等腰三角形.(小組合作、學生分享)

師生活動 小組合作討論,教師巡堂點撥,師生共同明確3 種折法,并總結折疊性質: 一線兩身份,對稱出全等.即折痕是角平分線和垂直平分線,翻折過程中對稱圖形全等,翻折邊相等.

折法1 垂直平分線模型,正方形變為箏形(只有兩組鄰邊相等),連接點C其對稱點C′,可得到兩個等腰三角形,如圖3.

圖3

折法2 “角平分線+平行”模型,如圖4.

圖4

折法3 矩形的對稱性模型,如圖5.

圖5

設計意圖 通過探究等腰三角形的不同折法,學生進一步積累了折紙活動經驗,建立了對稱、全等、四邊形等知識的“聯結”,在知識結構化的同時,培養學生運用綜合知識解決問題的能力,同時,為折等邊三角形搭好知識的“腳手架”.

問題4 不利用量角器或三角尺,用一張矩形紙片能否通過折疊和畫圖得到以矩形短邊為邊的等邊三角形? 說說你的折法和依據.

任務3 不利用量角器或三角尺,用一張矩形紙片,能否通過折疊和畫圖,得到等邊三角形.(展示折紙過程)

師生活動 在小組合作交流的基礎上,小組代表上臺分享折疊過程.師生共同明確探究思路和具體折法(略),如圖6.

圖6

追問 你能說出以上操作的道理嗎?

師生活動 教師引導學生觀察、分析、思考、驗證,歸納折疊的本質,黑板書寫證明過程,證明過程略.

設計意圖 通過問題和追問, 讓學生完整經歷動手操作—直觀感知—思辨論證的過程,由感性上升為理性,感悟具有傳遞性的數學邏輯,形成幾何直觀和推理能力.

問題5 觀察所得的∠ABM,∠MBN和∠NBC,這三個角有怎樣的大小關系? 怎樣折15°的角呢?

師生活動 學生獨立操作.

設計意圖 鞏固折60°角的方法,深化理解,使學生再次感受折痕是角平分線.

2.2.3 反思與上浮: 遷移應用,意義建構

問題6 對折正方形紙ABCD使AD與BC重合, 得到折痕EF, 把紙片展平, 在AD上選一點P(點P不與點A,D重合),沿BP折疊,使點A落在正方形內部點M處, 把紙片展平,連接PM,BM,并延長PM交CD于點Q,連接BQ,如圖7.判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系,并說明理由.

圖7

問題7 通過折疊,自己制作一副三角尺.

師生活動 學生自主思考,獨立完成,然后同桌交流,解答過程略.

設計意圖 問題6 重點考查學生用折疊性質解決新情境問題的遷移能力.問題7 是一個開放性的問題,在考查學生遷移能力的同時,考查學生動手操作能力,同時讓學生感受數學美,發揮了數學學科的育人功能.

問題8 通過這一節課的學習,你有哪些收獲?

師生活動 學生自己總結,不全面的由其他學生補充完善,教師重點關注不同層次學生對本節知識的理解和掌握程度.

設計意圖 從知識、能力、思想方法上進行歸納,使學生對折疊的數學本質有一個深刻的認識,在知識結構化、系統化的同時,提升學生解決問題的能力.

3 深度學習理論下的教學啟示

數學活動課是學生學完某章節或知識模塊后安排的內容,要求學生綜合應用知識解決問題,是知識模塊結構化、系統化的重要載體.同時,也為培養學生解決問題的能力提供重要機會.深度學習理論的知識觀為挖掘內容深度提供了理論指引,深度學習理論的U 型學習實現了學生的深度參與,并且具有可操作性.上述課例在深度學習理論的指引下,實現了學習內容和學習過程的“雙深度”,學生在發展核心素養的同時,感受到了數學美,實現了數學學科的育人功能.另外,在進行教學設計時,需注意以下兩點:

3.1 基于學情 搭建“腳手架”

活動課綜合性強,教學時要遵循“低起點,高終點”,為難點搭建適當的“腳手架”.本節課學生已經學習過軸對稱變換,三角形的全等、矩形等知識.如果一開始就讓學生用矩形折等邊三角形,難度大,學生可能會無從下手.而問題1、任務1 的設計, 讓學生先獲得一些必要的操作經驗, 降低操作難度.問題2 和任務2 的設計讓學生經歷了多種折疊等腰三角形的方法,在探索中總結出折疊性質,不但繼續積累了折疊的經驗,而且完成了知識的結構化和系統化,為接下來折等邊三角形提供了知識儲備.

3.2 問題導引 任務驅動

活動課對解決問題的能力要求較高, 教學時要充分考慮知識產生的過程和學生思維過程設計逐層深入的問題鏈,并通過任務驅動, 把學生的思維逐步導向深入.如本節課基于動手操作—直觀感知—思辨證明和折疊等腰直角三角形—等腰三角形—等邊三角形設計問題鏈和任務群.